全国高中数学联赛试题及解析 苏教版42.doc

2005年全国高中数学联赛试卷
(2005年10月16日上午8∶00－9∶40)
一、选择题：
1．使关于x的不等式+≥k有解的实数k的最大值是 ( )
A．－ B． C．+ D．
2．空间四点A、B、C、D满足||＝3，||＝7，||＝11，||＝9．则·的取值( )
A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个
3．△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，则的值为 ( )
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，ABCD－A¢B¢C¢D¢为正方体，任作平面α与对角线AC¢垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则 ( )
A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值
C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值
5．方程+＝1表示的曲线是 ( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
6．记集合T＝{0，1，2，3，4，5，6}，M＝{+++| ai∈T，i＝1，2，3，4}，将M中的元素按从大到小排列，则第2005个数是 ( )
A．+++ B．+++ C．+++ D．+++
二、填空题：
7．将关于x 的多项式f(x)＝1－x+x2－x3+…－x19 +x20表为关于y的多项式g(y)＝a0+a1y+a2y2+…+a19y19+a20y20，其中y＝x－4，则a0+a1+…+a20＝ ；
8．已知f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，若f(2a2+a+1)＜f(3a2－4a+1)成立，则a的取值范围是 ；
9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对于任意x∈R，cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)＝0，则γ－α＝ ；
10．如图，四面体DABC的体积为，且满足∠ACB＝45°，AD+BC+＝3，则CD＝ ；
11．若正方形ABCD的一条边在直线y＝2x－17上，另外两个顶点在抛物线y＝x2上，则该正方形面积的最小值为 ；
12．如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2005，则a5n＝ ．
三、解答题：
13．数列{an}满足a0＝1，an+1＝，n∈N，
证明：⑴ 对任意n∈N，an为正整数；
⑵ 对任意n∈N，anan+1－1为完全平方数．
14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S，求使S达到最小值的放法的概率．(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法)
15．过抛物线y＝x2上一点A(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足＝λ1；点F在线段BC上，满足＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD与EF交于点P，当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．
加试卷
一、如图，在△ABC中，设AB＞AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于点D；交直线l于点E、F．
证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心．
二、设正数a、b、c、x、y、z满足cy+bz＝a，az+cx＝b，bx+ay＝c．求函数f(x，y，z)＝++的最小值．
三、对每个正整数n，定义函数f(n)＝(其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}＝x－[x])．试求f(k)的值．
呜呼！不怕繁死人，就怕繁不成！
2005年全国高中数学联赛试卷
(2005年10月16日上午8∶00－9∶40)
一、选择题：
1．使关于x的不等式+≥k有解的实数k的最大值是 ( )
A．－ B． C．+ D．
选D．
解：3≤x≤6，令＝sinα(0≤α≤)，则x＝3+3sin2α，＝cosα．
故≥(sinα+cosα)≥．故选D．
2．空间四点A、B、C、D满足||＝3，||＝7，||＝11，||＝9．则·的取值( )
A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个
选A．
解：+++＝．
DA2＝2＝(++)2＝AB2+BC2+CD2+2(·+·+·)
＝AB2+BC2+CD2+2(·+·－2)，(其中+＝，＝－)
＝AB2+BC2+CD2－2BC2+2(·)．
故2·＝DA2+BC2－AB2－CD2＝92+72－32－112＝0Þ·＝0．选A．
3．△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，则的值为 ( )
A．2 B．4 C．6 D．8
选A．
解：AA1·cos＝2sin(B+)cos＝sin(A+B)+sinB＝sinC+sinB．
AA1·cos+BB1·cos+CC1·cos＝2(sinA+sinB+sinC)．故原式＝2．选A．
4．如图，ABCD－A¢B¢C¢D¢为正方体，任作平面α与对角线AC¢垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则 ( )
A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值
C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值
选B．
解：设截面在底面内的射影为EFBGHD，设AB＝1，AE＝x(0≤x≤)，则
l＝3[x+(1－x)]＝3为定值；
而S＝[1－x2－(1－x)2]secθ＝(－x－x2)secθ(θ为平面α与底面的所成角)不为定值．故选B．
5．方程+＝1表示的曲线是 ( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
选C．
解：由于+＞πÞ＞－＞－＞0Þcos(－)＜cos(－)Þsin－sin＞0；
又，0＜＜c＜πÞcos－cos＞0，Þ曲线为椭圆．
sin－sin－(cos－cos)＝[sin(－)－sin(－)]．而0＜－＜－＜Þ
sin－sin＜cos－cosÞ焦点在y轴上．故选C．
6．记集合T＝{0，1，2，3，4，5，6}，M＝{+++| ai∈T，i＝1，2，3，4}，将M中的元素按从大到小排列，则第2005个数是 ( )
A．+++ B．+++ C．+++ D．+++
选C．
解：M＝{(a1×73+a2×72+a3×7+a4)| ai∈T，i＝1，2，3，4}，a1×73+a2×72+a3×7+a4可以看成是7进制数，(a1a2a3a4)7，其最大的数为(6666)7＝74－1＝2400．
从而从大到小排列的第2005个数是2400－2004＝396，即从1起从小到大排的第396个数，
396＝73+72+4Þ(1104)7，故原数为+++．故选C．
二、填空题：
7．将关于x 的多项式f(x)＝1－x+x2－x3+…－x19 +x20表为关于y的多项式g(y)＝a0+a1y+a2y2+…+a19y19+a20y20，其中y＝x－4，则a0+a1+…+a20＝ ；
填
解：f(x)＝a0+a1(x－4)2+a2(x－4)2+…+a20(x－4)20．令x＝5得f(5)＝1－5+52－53+…－519+520＝＝＝a0+a1+…+a20．
8．已知f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，若f(2a2+a+1)＜f(3a2－4a+1)成立，则a的取值范围是 ；
填(0，)∪(1，5)．
解：Þa∈(－∞，)∪(1，+∞)．
2a2+a+1＞3a2－4a+1Þa2－5a＜0Þ0＜a＜5．
故所求取值范围为(0，)∪(1，5)．
9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对于任意x∈R，cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)＝0，则γ－α＝ ；
填π．
解：由f(x)≡0，得f(－α)＝f(－β)＝f(－γ)＝0：
cos (β－α)+cos(γ－α)＝cos(β－α)+cos(γ－β)＝cos(γ－α)+cos(γ－β)＝－1．
故cos(β－α)＝cos(γ－β)＝cos(γ－α)＝－，
由于0＜α＜β＜γ＜2π，故β－α，γ－β，γ－α∈{π，π}．从而γ－α＝π．
10．如图，四面体DABC的体积为，且满足∠ACB＝45°，AD+BC+＝3，则CD＝ ；
填．
解：V＝×AC×BCsin45°×h≤AC×BC×ADsin45°．
即AC×BC×ADsin45°≥1Þ×BC×AD≥1．
而3＝AD+BC+≥3＝3，等号当且仅当AD＝BC＝＝1时成立，
故AC＝，且AD＝BC＝1，AD⊥面ABC．ÞCD＝．
11．若正方形ABCD的一条边在直线y＝2x－17上，另外两个顶点在抛物线y＝x2上，则该正方形面积的最小值为 ；
填80．
解：设正方形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在直线上．
设直线AB方程为y＝2x+b，
⑴ 求AB交抛物线y＝x2的弦长：以y＝2x+b代入y＝x2，得
x2－2x－b＝0．
△＝4+4bÞl＝2．
⑵ 两直线的距离＝．
⑶ 由ABCD为正方形得，2＝Þ100(b+1)＝b2+34b+289Þb2－66b+189＝0．
解得b＝3，b＝63．
正方形边长＝4或16Þ正方形面积最小值＝80．
12．如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2005，则a5n＝ ．
填52000．
解：一位的吉祥数有7，共1个；
二位的吉祥数有16，25，34，43，52，61，70，共7个；
三位的吉祥数为x1+x2+x3＝7的满足x1≥1的非负整数解数，有C＝28个(也可枚举计数)．
一般的，k位的吉祥数为x1+x2+…+xk＝7的满足x1≥1的非负整数解数，令xi¢＝xi+1(i＝2，3，…，k)，有x1+x2¢+…+xk¢＝7+k－1．共有解C＝C组．
4位吉祥数中首位为1的有28个，2005是4位吉祥数中的第29个．故n＝1+7+28+28+1＝65．5n＝325．
C+C+C+C+C＝1+7+28+84+210＝330．即是5位吉祥数的倒数第6个：
5位吉祥数从大到小排列：70000，61000，60100，60010，60001，52000，…．
三、解答题：
13．数列{an}满足a0＝1，an+1＝，n∈N，
证明：⑴ 对任意n∈N，an为正整数；
⑵ 对任意n∈N，anan+1－1为完全平方数．
证明：⑴ a1＝5，且an单调递增．
所给式即 (2an+1－7an)2＝45a－36Þa－7an+1an+a+9＝0． ①
下标加1： a－7an+2an+1+a+9＝0． ②
相减得： (an+2－an)(an+2－7an+1+an)＝0．
由an单调增，故an+2－7an+1+an＝0Þan+2＝7an+1－an． ③
因a0、a1为正整数，且a1＞a0，故a2为正整数，由数学归纳法，可知，对任意n∈N，an为正整数．
⑵ 由①：a+2an+1an+a＝9(an+1an－1)Þan+1an－1＝()2 ④
由于an为正整数，故an+1an－1为正整数，从而()2为正整数．但an、an+1均为正整数，于是必为有理数，而有理数的平方为整数时，该有理数必为整数，从而是整数．即an+1an－1是整数的平方，即为完全平方数．故证．
原解答上有一段似无必要：记f(n)＝an+1an－()2，
则f(n)－f(n－1)＝(an+1an－anan－1)－(2an+an+1+an－1)(an+1－an－1)＝(an－1－an+1)(an+1－7an+an－1)＝0．即
f(n)＝f(n－1)＝…＝f(0)＝1，故④式成立．
故anan+1－1为完全平方数．
又证：由上证，得③式后：an+2－7an+1+an＝0．
特征方程为 x2－7x+1＝0．
解得： x＝＝＝．
令 an＝α+β．由a0＝1，a1＝5解得
α＝，β＝；
得 an＝[+] ⑤
注意到·＝1，+＝．
有， anan+1－1＝[+]·[+]－1
＝[+++－5]
＝[+]2
由二项式定理或数学归纳法知+为k型数(k∈N*)，故anan+1－1为完全平方数．
(用数学归纳法证明：n＝0时，+＝2．
设当n≤m(m∈N*)时，+＝kn(kn∈N*)，且k1＜k2＜…＜km．
+＝[+]·[+]－[+]．
＝7km－km－1＝(7km－km－1)．由归纳假设知km+1＝7km－km－1∈N*，且km＜km+1成立．
得证．
14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S，求使S达到最小值的放法的概率．(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法)
解：9个有编号的小球放在圆周的九个九等分点上，考虑镜面反射的因素，共有种放法；
为使S取得最小值，从1到9之间应按增序排列：
设从1到9之间放了k个球，其上的数字为x1，x2，…，xk，则|1－x1|+|x1－x2|+…+|xk－9|≥|1－x1+x1－x2+…+xk－9|＝8．当且仅当1－x1、x1－x2、…、xk－9全部同号时其和取得最小值，即1，x1，x2，…，xk，9递增排列时其和最小．故S≥2×8＝16．
当S取得最小值时，把除1、9外的7个元素分成两个子集，各有k及7－k个元素，分放1到9的两段弧上，分法总数为C+C+…+C种，考虑镜面因素，共有64种方法．
所求概率P＝＝．
15．过抛物线y＝x2上一点A(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足＝λ1；点F在线段BC上，满足＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD与EF交于点P，当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．
解：过点A的切线方程为y＝2x－1．交y轴于点B(0，－1)．AB与x轴交于点D(，0)．设点C坐标为C(x0，y0)，＝λ，点P坐标为(x，y)．
由＝λ1Þ＝1+λ1，同理，＝1+λ2；
而、、成等差数列(过A、B作CD的平行线可证)．
得2λ＝1+λ1+1+λ2＝3，即λ＝．从而点P为△ABC的重心．
x＝，y＝．y0＝x．
解得x0＝3x－1，y0＝3y，代入y0＝x得，y＝(3x－1)2．
由于x0≠1，故x≠．所求轨迹方程为y＝(3x－1)2(x≠)．
又解：过点A的切线方程为y＝2x－1．交y轴于点B(0，－1)．AB与x轴交于点D(，0)．设点C坐标为C(t，t2)，
CD方程为＝，即y＝(2x－1)．
点E、F坐标为E(，)；F(，)．从而得EF的方程为：
＝．
化简得：[(λ2－λ1)t－(1+λ2)]y＝[(λ2－λ1)t2－3]x+1+t－λ2t2． ①
当t≠时，直线CD方程为： y＝ ②
联立①、②解得消去t，得点P的轨迹方程为y＝(3x－1)2．
当t＝时，EF方程为：－y＝(λ2－λ1－3)x+－λ2，CD方程为：x＝，联立解得点(，)，此点在上述点P的轨迹上，
因C与A不能重合，故t≠1，x≠．
故所求轨迹为 y＝(3x－1)2 (x≠)．
加试卷
一、如图，在△ABC中，设AB＞AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于点D；交直线l于点E、F．
证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心．
证明：连DC、DE，作∠BAC的平分线交DE于点I，交CD于G．
由AD＝AC，∠DAI＝∠CAI，AI＝AIÞ△ADI≌△ACI．
故∠ADI＝∠ACI，
但∠FAD＝∠ACB(弦切角)；∠FAD＝2∠ADE(等腰三角形顶角的外角)
所以∠FAD＝2∠ACIÞ∠ACB＝2∠ACI，即CI是∠ACB的平分线．
故点I是△ABC的内心．
连FD并延长交AI延长线于点I¢，连CI¢．
由于AD＝AE＝AFÞ∠EDF＝90°Þ∠IDI¢＝90°．
而由△ADI≌△ACI知，∠AID＝∠AICÞ∠DII¢＝∠CII¢，又ID＝IC，II¢为公共边．故△IDI¢≌△ICI¢，Þ∠ICI¢＝90°．由于CI是∠ACB的平分线，故CI¢是其外角的平分线，从而I¢为△ABC的一个旁心．
又证：⑴ 连DE、DC，作∠BAC的平分线分别交DE于I，DC于G，连IC，则由AD＝AC，得AG⊥DC，ID＝IC．
又D、C、E在⊙A上，故∠IAC＝∠DAC＝∠IEC．故A、I、C、E四点共圆．
所以∠CIE＝∠CAE＝∠ABC，而∠CIE＝2∠ICD，故∠ICD＝∠ABC．
所以，∠AIC＝∠IGC+∠ICG＝90°+∠ABC，所以∠ACI＝∠ACB．故I为△ABC的内心．
⑵ 连FD并延长交∠ABC的外角平分线于I1，连II1，BI1、BI，则由⑴知，I为△ABC的内心，故∠IBI1＝90°＝∠EDI1．故D、B、I1、I四点共圆．
故∠BII1＝∠BDI1＝90°－∠ADI＝(∠BAC+∠ADG)－∠ADI＝∠BAC+∠IDG，故A、I、I1共线．所以，I1是△ABC的BC边外的旁心．
二、设正数a、b、c、x、y、z满足cy+bz＝a，az+cx＝b，bx+ay＝c．求函数f(x，y，z)＝++的最小值．
解：解方程组：得，由于x、y、z为正数，故Þ即以a、b、c为边可以构成锐角三角形．记边a、b、c的对角分别为∠A、∠B、∠C．
则cosA＝x，cosB＝y，cosC＝z．(A、B、C为锐角)
f(x，y，z)＝f(cosA，cosB，cosC)＝++．
令u＝cotA，v＝cotB，w＝cotC，则u，v，w∈R+，且uv+vw+wu＝1．
于是，(u+v)(u+w)＝u2+uv+uw+vw＝u2+1．同理，v2+1＝(v+u)(v+w)，w2+1＝(w+u)(w+v)．
cos2A＝sin2Acot2A＝＝，所以，＝＝＝
＝u2－＝u2－≥u2－(+)．
同理≥v2－(+)，≥w2－(+)．
于是f≥u2+v2+w2－(++)
＝u2+v2+w2－(u2－uv+v2+v2－vw+w2+w2－wu+u2)
＝(uv+vw+wu)＝(等号当且仅当u＝v＝w，即a＝b＝c，x＝y＝z＝时成立．)
故知[f(x，y，z)]min＝．
又证：由约束条件可知
故
得，f(x，y，z)＝． ⑴
显然有a+b－c＞0，a－b+c＞0，－a+b+c＞0．由Cauchy不等式有，
·[bc(b+c－a)+ca(c+a－b)+ab(a+b－c)]≥(a2+b2+c2)2．
故f(x，y，z)≥
＝·．
下面证明≥1．即证
a4+b4+c4≥a3b+a3c+b3c+b3a+c3a+c3b－(a+b+c)abc． ⑵
由于，a4－a3b－a3c+a2bc＝a2(a2－ab－ac－bc)＝a2(a－b)(a－c)．故⑵式即
a2(a－b)(a－c)+b2(b－a)(b－c)+c2(c－a)(c－b)≥0．
不妨设a≥b≥c．则
a2(a－b)(a－c)+b2(b－a)(b－c)≥a2(a－b)(b－c)－b2(a－b)(b－c)＝(a2－b2)(a－b)(b－c)≥0，
又，c2(c－a)(c－b)≥0
于是a2(a－b)(a－c)+b2(b－a)(b－c)+ c2(c－a)(c－b)≥0成立．等号当且仅当a＝b＝c时成立．
所以，f(x，y，z)≥，且f(，，)＝．
又证：令p＝(a+b+c)，⑴式即f(x，y，z)＝(由Cauchy不等式)
≥·＝·．
而a2+b2+c2＝2(p2－4Rr－r2)，ab+bc+ca＝p2+4Rr+r2，abc＝4Rrp．(*)
故，f(x，y，z)≥·＝·．
而≥p2Ûp4+16R2r2+r4－8p2Rr－2p2r2+8Rr3≥p4－8p2Rr+p2r2
Û16R2+8Rr+r2≥3p2Û4R+r≥p． (**)
最后一式成立．故得结论．
关于(*)式：由△＝rp，得 r2＝＝＝
＝＝； ①
又由△＝，得4Rr＝．故4Rr+r2＝－p2+(ab+bc+ca)．
就是 ab+bc+ca＝p2+4Rr+r2；
a2+b2+c2＝(a+b+c)2－2(ab+bc+ca)＝4p2－2p2－8Rr－2r2＝2(p2－4Rr－r2)；
abc＝4R△＝4Rrp．
关于(**)式：由r＝4Rsinsinsin，故
4R+r＝4R+4Rsinsinsin＝4R+4R(cosA+cosB+cosC－1)＝R(3+ cosA+cosB+cosC)
＝2R(cos2+cos2+cos2)．
而p=RsinA+RsinB+RsinC＝4R coscoscos．
故4R+r≥pÛcos2+cos2+cos2≥2coscoscos．
又cos2+cos2+cos2≥3，而3≥2coscoscos
Û≤Û coscoscos≥Û sinA+sinB+sinC≤3sin．(由琴生不等式可证)
三、对每个正整数n，定义函数f(n)＝(其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}＝x－[x])．试求f(k)的值．
解：对于任意n(n不是完全平方数)，存在k，满足k2＜n＜(k+1)2，则1≤n－k2≤2k．此时＝k+{}．
＝＝＝．
由于2k＜2k+{}＜2k+1．故＜＜．从而在与之间没有整数．即=．若记n－k2＝i(i＝1，2，…，2k)，又240＝152+15．
于是，f(k)＝+．由于k＜i≤2k时＝1故＝k．于是
f(k)＝+k＝(2+6+11+16+22+29+34+42+49+56+63+72+78+87+96)+105＝768．
即所求值为768．
又解：为计算，画一2k×2k的表格，在第i行中，凡i的倍数处填写*号，则这行的*号共有个，全表共有个．另一方面，第j列中的*号个数等于j的约数的个数T(j)，从而全表中的*号个数等于T(j)．故＝T(j)．以2k＝6为例：
j i
1
2
3
4
5
6
1
*
*
*
*
*
*
2

*

*

*
3

*

*
4

*

5

*

6

*
故f(a)＝T(j)＝n[T(1)+T(2)]+(n－1)[T(3)+T(4)]+…+[T(2n－1)+T(2n)]． ③
由此，f(k)＝(16－k)[T(2k－1)+T(2k)] ④
记an＝T(2k－1)+T(2k)．可得ak的取值如下表(k＝1，2，…15)：
k
1
2
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f(k)＝(16－k)ak＝783． ⑤
又当k∈{241，242，…，255}时，设k＝152+r(r＝16，17，…30)．则
－15＝－15＝，从而＜＜，于是1≤＜＜＜2．
故，＝1，k∈{241，242，…，255}，又f(256)＝0，
所以f(k)＝783－15＝