全国高中数学联赛江西省预赛试题解答.doc

2013年全国高中数学联赛江西省预赛
试题解答
一、填空题（每题分）
、若的每个质因子都是某个正整数等差数列中的项，则的最大值是 ．
答案：．
解：，若皆是某正整数等差数列中的项，则公差应是
与的公因数，为使取得最大，则其首项和公差都应取尽可能大的数，于是，所以的最大值是．
、若，，则的最小值为　 ．
答案：．
解：据柯西不等式，．
、若，则 ．
答案：．
解：因，则

所以，，故．
、如果一个正方体与一个正四面体的表面面积（各面面积之和）相等，则其体积之比 ．
答案：．
解：记表面面积为（平方单位），则正方体每个面的面积为，其边长为，所以
；正四面体每个面的面积为，设其边长为，则由，得；
于是，因此．
、若椭圆中心到焦点，到长、短轴端点，以及到准线距离皆为正整数，则这四个距离之和的最小值是 ．
答案：．
解：设椭圆方程为，，椭圆中心到长、短轴端点距离为，
到焦点距离满足：，到准线距离满足：，由于组成勾股数，
满足的勾股数组有
以及，其中只有与，而使得
的值为最小，这时有．
、函数的值域是　 ．
答案：．
解：的定义域为，故可设，
则，
而，这时，因此．
、设合数满足：，而的数字和为质数，就称合数为“山寨质数”，
则这种“山寨质数”的个数是 ．
答案：个．
解：用表示的数字和；而表示山寨为质数的合数的集合．当时，，不大于的质数共有个，它们是：，山寨为的合数有
，而；
，，；
共得个山寨质数．
、将集合中的元素作全排列，使得除了最左端的一个数之外，对于其余的每个数，在的左边某个位置上总有一个数与之差的绝对值为，那么，满足条件的排列个数为 ．
答案：．（即个）．
解：设对于适合条件的某一排列，排在左边的第一个元素为，，则在其余个数中，大于的个数，必定按递增的顺序排列；而小于的个数，必定按递降的顺序排列（位置不一定相邻）
事实上，对于任一个大于的数，设，如果排在的左边，
则与相差的另一数就必须排在的左边；同样，与相差的另一数又必须排在的左边；…，那么，该排列的第二个数不可能与相差，矛盾！因此必定排在的右边．
用类似的说法可得，小于的个数，必定按递降的顺序排列；
由于当排在左边的第一个元素确定后，右边还有个空位，从中任选个位置填写大于的数，（其余个位置则填写小于的数），选法种数为；而当位置选定后，则填数方法随之唯一确定，因此所有排法种数为．
二、解答题
、（20分）设直线与抛物线交于点，若，求抛物线方程以及的面积．
解：设交点，由
与，得，
故有，
以及．
因，即，所以，即
，化简得，因此抛物线方程为
，从而交点坐标为：，
，
因此．
、（20分）如图，四边形中，分别是的中点，是对角线上的一点；直线分别交的延长线于．
证明：线段被直线所平分．
证：设交于，直线截，则；为证是线段的中点，只要证， … ①，
直线截，
得，即 … ②，
直线截，则有，
即 … ③，
②③相加得，即，也即，因此结论得证．
、（20分）在非钝角三角形中，证明：．
证一：

．
这里用到，在非钝角三角形中，任两个内角之和不小于，所以由，得，因此，同理
而，不能同时为．从而结论得证．
证二：

；
（这是由于，锐角三角形中，任两个内角之和大于，而任一个半角小于；）
所以 ．
证三：令，则，且
；
即要证　 … ①，因为 ，
，
故①式即　，也即，
即 … ②
而因 ，故，所以，
即 ．
此式即为 … ③
由③立知②式成立（③式强于②式），因此命题得证．
、（26分）试确定，是否存在这样的正整数数列，满足：，且对每个，皆有或；而其各项的值恰好构成的一个排列？证明你的结论．
解：存在．由于，而，（即有）；
我们注意到，“差”运算具有“平移性”，即是说，如果或，那么，对任何整数，也有或；
为此，先将集合中的数排成一个圈，使得圈上任何相邻两数之差皆为或，如图所示．
将此圈从任一间隙处剪开，铺成的线状排列，都满足或，
为将数列锁定，在前面添加一项，使数列也满足条件，我们可选择与数相邻的一个间隙剪开；例如从右侧间隙剪开，并按顺时针排列，就成为：
；，
；
若从左侧间隙剪开，并按逆时针排列，则成为：；；
这两种排列都满足或；
记分段数列，
，而分段数列
，，
将这些段作如下连接：，所得到的数列满足条件．
因为，；对其中任意两个邻项，若属于同一个分段，显然有或；若相邻项属于两个相邻段
与，则是的首项：即，而是的末项，即，这时有
，并且，
因此，数列满足条件．