2017年全国高中数学联赛模拟试题.doc

2017暑期培训课程-联赛模拟试卷
________班_______号 姓名________________
第一试
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分
1．不等式的解集是 ．
答案：
解：设，，则原不等式化为，
即．结合得，于是．
2．设为方程的一个虚根，则 ．
答案：
解：由题意知，
又为方程的一个虚根，故，
所以，即．
而
．
3．设，且，则的最小值为 ．
答案：
解：令，由，知，则方程可化为
，即，解得（舍去）．
从而，
所以，当且仅当，时取等号．

4．在中随机选取三个数，从小到大排列后能构成等差数列的概率是 ．
答案：
解：设选取的三个数为，由知
．对于给定的，可取，
共种选择．
因此，对所有满足条件的，三数从小到大排列后能构成等差数列的个数为
．
所以，三数从小到排列后能成等差数列的概率为．
5．已知某四面体的四个面都是边长为，，的三角形，则以该四面体六条棱的中点为顶点的八面体的体积是 ．
答案：
解：如图，矩形中，
，，，
容易验证四面体满足条件，此时，四面体
六条棱的中点为顶点的八面体是．
又

易得，所以．
6．锐角、、满足，则的值
是 ．
答案：
解：由已知得，
整理得，
即，
又、、为锐角，所以，，
从而，又，所以，
即．
7．已知椭圆的左右焦点分别为与，点在直线上．
当取最大值时，与的比值等于 ．
答案：
解：由平面几何知，要使最大，则过，，三点的圆必定与直线相切于点．
直线交轴于，则，即，
从而……①又由圆幂定理，……②，
而，，，从而有，．
代入①、②得，．
8．若形如的五位数满足：、、均能被37整除，则满足条件的五位数
的个数是 ．
答案：
解：注意到，．
设，，．则，，．
由于且，则若、、中有一个被整除，则其余两个也被整除．
因此，所有满足题意的的个数（即相应的的个数）为．
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．（本题满分16分）
证明：为直角三角形的充分必要条件是．
证明：（必要性）
不妨设，．则．
（充分性）
证法一：若，则正弦定理得．
故，即．
因此，．
同理，．
若、、均为正，则……①，
，．
由①得

．
因此，．矛盾．
又由、、均非负，知、、中有一个为．
证法二：

．
由、、均非负，知、、中有一个为，
其所对应的角为直角．
10．（本题满分20分）
求所有的函数，对于所有整数，满足
，……①
且．
解：将代入式①得．由此得或．
先考虑的情形．
将代入式①得，即．
所以，，，．
另一方面，将代入式①得．
此时，对于推出的情形不成立．
因此，不可能．
再考虑的情形．
用代替代入式①得对所有的成立．
取，得．故对任一整数有．
所以，此函数为偶函数．
如前所述，将代入式①得．
若为正整数，则由数学归纳法可证明，对所有的正整数，有是唯一的解
（唯一是因为每个函数值取决于先前的两个值）．
因为函数为偶函数，所以，对于任意的整数，有，且是满足式①的唯一函数．
11．（本题满分20分）
在抛物线的图像上内接一个梯形，其中，，．对角线与交于点，设点到底边、的中点的线段长分别为、．求梯形的面积．
解：如右图，由题意知．
设，．
则，．

从而，，，．
由、分另为边、的中点得
，．
而为梯形对角线的交点，易知、、三点共线（如可用塞瓦定理证明），即
，且轴．
令表示（或）与轴正向的夹角．于是，．
过点作．则．
所以，，，．
则
．
设．则，
．
故

，

．
则，
．
故．

加试
一、（本题满分40分）
设均为正实数，求的最小值．
解：由知，同理，，
所以；
又

（柯西不等式）

所以的最小值为，当且仅当时取等号．

二、（本题满分40分）
已知的内心为，三个内角的角平分线分别为、、，线段的中垂线分别与、交于点、．证明：、、、四点共圆．

证明：要证、、、四点共圆，只需证：．
如图，设线段的中点为，则

下面只需再证
设的外接圆与线段中垂线的交点为（位于不包含点的弧上）．
于是．从而，．
这表明，点位于的角平分线上。
因而，点与重合．所以，、、、四点位于同一圆周上．
故．
从而，、、、四点共圆．

三、（本题满分50分）组合
在座城市之间有两种方式的飞行航线被执行：任意一座城市至少和七座城市有直航；任意两座城市可以通过有限次直航来连接．求最小的整数，使得无论如何安排满足条件的航线，任意一座城市到任意其他城市最多可以经过次直航到达．
解：．
首先证明：．
若，不妨设有两座城市、间至少经过次到达．设城市到的一个最短连接路线为．
因为每一座城市至少和七座城市有直航连接，所以城市与与除以外至少六座城市有直航连接，与除以外至少五座城市有直航连接．
设，分别与城市、、、、、、、、、有直航连接，且不属于城市的所有城市组成的集合为．易知，
，，．
又，否则，城市、之间有更短连接路线．
故，矛盾．
所以，．
其次证明：．
对，取座城市与城市集合．当时，；当时，，且对，，中不包括城市．对，城市、、与集合中的所有城市有直航连接；城市、集合与中所有城市有直航连接；城市、与集合中所有城市有直航连接；集合中任意一座城市除与上述的城市有直航连接，与且仅与集合中其余城市有直航连接；城市与有直航连接．
这样，城市至少与七座城市有直航连接，集合中任意一座城市均只与七座城市有直航连接，且城市至少经过次直航来连接．因此，．

四、（本题满分50分）
求所有的实数，使得、均为完全平方数．
解：首先证明：为正整数．
由已知，设，．
则，．显然，不是解．
故．
设．则．
必有．所以，．
又，则，且为正整数．
当时，，．满足条件．
当时，
……①
．
再验证，
即．
事实上，．

故，即．
因此，只有当为奇数时，才可能有解．
代入①式有，
即．
两边同乘以并模得，即．
这与矛盾．
故当时，无解．
综上，只有满足题意．欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢！你的意见是我进步的动力，希望您提出您宝贵的意见！让我们共同学习共同进步！学无止境.更上一层楼。

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