2002年全国高中数学联赛考试及答案.doc

2002年全国高中数学联赛考试及答案 作者： 日期：个人收集整理，勿做商业用途2002年全国高中数学联赛试卷一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的请将正确答案的代表字母填在题后的括号内每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分1函数的单调递增区间是（A）（A）（B）（C）（D）2若实数满足，则的最小值为（B）（A）2（B）1（C）（D）3函数（A）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数又是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4直线与椭圆相交于、两点，该椭圆上点，使得的面积等于3这样的点共有（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个解：设（），即点在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形面积（此时）的最大值为，点不可能在直线的上方，显然在直线的下方有两个点5已知两个实数集合与，若从到的映射使得中每个元素都有原象，且，则这样的映射共有（A）（B）（C）（D）解：不妨设，将中元素按顺序分为非空的50组定义映射，使第组的元素在之下的象都是（）易知这样的映射满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射的个数与按足码顺序分为50组的分法数相等，而的分法数为，则这样的映射共有6由曲线，围成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为；满足，的点组成的图形轴旋转一周所得的旋转体的体积为，则（A）（B）（C）（D）解：如图，两图形绕轴旋转所得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间用任意一个与轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为，则所得截面面积，由祖暅原理知，两几何体体积相等，二、填空题（本题满分54分，每小题9分，本题共有6个小题，要求直接将答案写在横线上）7已知复数，满足，若它们所对应的向量的夹角为，则8将二项式的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中的幂指数是整数的项共有3个9已知点分别是四面体的顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（）有33个10已知是定义在上的函数，且对任意都有若，则解：由，得，所以即，即是周期为1的周期函数，又，故11若，则的最小值是解：由对称性只考虑，因为，所以只须求的最小值令公代入，有这是一个关于的二次方程显然有实根，故，当，时，故的最小值为12使不等式对一切恒成立的负数的取值范围是解：原不等式可化为，当时，函数有最大值，从而有，整理得或，又，三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13已知点和抛物线上两点使得，求点的纵坐标的取值范围解：设点坐标为，点坐标为显然，故由于，所以从而，消去，注意到得：由解得：或当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，均满足是题意故点的纵坐标的取值范围是或14如图，有一列曲线已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（）记为曲线所围成图形的面积（1）求数列的通项公式；（2）求解：（1）对进行操作，容易看出的每条边变成的4条边，故的边数为；同样，对进行操作，的每条边变成的4条边，故的边数为，从而不难得到的边数为已知的面积为，比较与容易看出在的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而有3条边，故再比较与，可知在的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而有条边，故类似地有：于是有以下用数学归纳法证明成立时，由上面已知等式成立假设时，有当时，易知第次操作后，比较与，在的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而有条边，故综上，由数学归纳法知成立（2）15设二次函数（）满足条件：（1）当时，且；（2）当时，；（3）在上的最小值为0求最大的（），使得存在，只要，就有解：，函数的图象关于对称，由（3）知，时，即，由（1）得，由（2）得，即，又0，假设存在，只要，就有取有即，解得对固定的，取，有，即，化简有，解得于是有当时，对任意的，恒有所以的最大值为92002年全国高中数学联赛加试试卷一、（本题满分50分）如图，在中，点是外心，两条高、交于点点、分别在线段、上，且满足求的值解：在上取，边接由三角形外心的性质知，由三角形垂心的性质知四点共圆，又，观察，则；又，故二、（本题满分50分）实数和正数使得有三个实根，且满足（1）；（2）求的最大值解：由于所以是方程的两个根，由（1）可得，即再由（2）可得，且易知由可得由，得记，则，且令，则，且由于 所以于是，由此得取，则有根，0，显然假设条件成立，且综上可知，的最大值为三、（本题满分50分）在世界杯足球赛前，国教练为了考察，这七名队员，准备让他们在三场训练比赛（每场90分钟）都上场假设在比赛的任何时刻，这些队员中有且仅有一人在场上，并且每人上场的总时间（以分钟为单位）均被7整除，每人上场的总时间（以分钟为单位）均被13整除如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况解：设第名队员上场的时间为分钟（），问题即求不定方程（1）在条件（）且（）下的正整数解的组数若是满足条件（1）的一组正整数解，则应有，于是是不定方程（2）在条件且下的一组正整数解由于令，有（3）所以，求（2）满足条件，的正整数解等价于求（3）的非负整数解易观察到于是有即是（3）的整数特解，从而（3）的整数通解为令，解得取，得到（3）满足条件的三组非负整数解： 从而得到（2）满足条件的三组正整数解： 在，时，显然仅有一种可能；又设（），于是由不定方程有组正整数解可知此时（1）有满足条件的组正整数解在，时，设（），（），由，有组正整数解；以及，有组正整数解可知此时（1）有满足条件的组正整数解在，时，仍设（），（），由与分别有与组正整数解可知此时（1）有满足条件的组正整数解综上，（1）满足条件的正整数解的组数为