2008年全国高中数学联赛贵州省预赛试题及答案.doc

声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。
更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》

2008年全国高中数学联赛贵州赛区初赛试卷

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。评分中只设5分和0分两档。）
1．已知集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
2．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的反函数是（ ）
A. B.
C. D.
4．在等差数列中，=（ ）
A．24 B．22 C．20 D．－8
5．给定两个向量=（1，2），=（x ，1），若，则x的值等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．若，且，则（ ）
A．既有最大值，也有最小值 B．有最大值，无最小值
C．有最小值，无最大值 D．既无最大值，也无最小值
7．在直三棱柱中，的中点，上，则直线PQ与直线AM所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．把函数的图象按向量平移，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式是（ ）
A. B.
C. D.
9．顶点在同一球面上的正四棱柱中，，则两点间的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线的焦点，点M在双曲线上且⊥x轴，则到直线的距离为（　　）
A. 　 B. 　　 C. D. 　　
11．对于任意的x∈R，不等式2x2－a＋3>0恒成立．则实数a的取值范围是 ( )
A．a≤3 B．a<3 C．a≤2 D． a<2
12. 已知（R），
且 则a的值有（ D ）.
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分评分中只设4分和0分两档。）
13．的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
14．设z = x — y , 式中变量x和y满足条件则z的最小值为 ．
15．若、，其中，，并且
，则实数对表示平面上不同点的个数为 .
16．函数的定义域为D．若对于任意,存在唯一,使成立，则称的“奥运数”．给出下列五个函数：①；　　②；③；④；⑤．其中具有“奥运数”性质的有________________（把你认为符合要求的函数的序号都填上）．

三、解答题（第17~21题，每小题12分，第22题14分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

20．求下列方程的实数解。

21．椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，焦点到相应的准线的距离以及离心率均为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且＝λ．
（1）求椭圆方程；
（2）若＋λ＝4，求m的取值范围．
22．对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。对正整数k，规定为的k阶差分数列，其中。
（1） 若数列首项，且满足，求数列的通项公式；
（2） 对（1）中的数列，是否存在等差数列，使得对一切正整数都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3） 令，设，若恒成立，求最小的正整数M的值。

参考答案
一、选择题
1． B 2． C 3． D 4． A 5． C 6． D
7． D 8． B 9． B 10．　A　11． B 12. D

二、填空题
13．15
14．1
15．90
16． _②、④__
三、解答题
20．求下列方程的实数解。
解：方程两边同除以，得

当且仅当，，┅，时，上式取等号，即
但时，不满足原方程。
故是原方程唯一的实数解。
21．解：（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，
由条件知－c＝＝，＝，
∴a＝1，b＝c＝，
故C的方程为：y2＋＝1　
（2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，
∴λ＋1＝4　　λ＝3　
设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）
x1＋x2＝， x1x2＝　
∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　
m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，
由（*）式得k2>2m2－2
因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1<m<－或<m<1
即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）　

22．解（1）而可得
，，
是首项为，公差为的等差数列，
， ()
（2）即：
而又
所以
=故可得
存在等差数列,使
对一切正整数都成立。
（3）由（2）知 ……… ①
……… ②
①-②得：

，递增 ，且。
满足条件的最小的正整数M的值为6.

5