2014年全国高中数学联合竞赛一模拟试题及答案.doc

2014年全国高中数学联合竞赛一试模拟试题

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
1．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}
若AÍB，则实数a的取值范围是 ．
2． 已知椭圆的左右焦点分别为与，点P在直线l：上. 当取最大值时，比的值为 .
3．设，则的值域是 。
4．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为________.
5．函数的值域为____________.
6．已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________.
7．用[x]表示不大于实数x的最大整数， 方程lg2x－[lgx]－2=0的实根个数是 ．
8．各项均为实数的等比数列{a n }前n项之和记为S n ,若S10 = 10, S30 = 70, 则S40等于__________.
二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9．（本题满分16分）如图，有一列曲线P0, P1, P2, ……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…)，记Sn为曲线Pk所围成图形面积。
①求数列{Sn}的通项公式；②求。
P0
P1
P2

10．（本题满分20分）如题10图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值．
[解] 设，不妨设．
直线的方程:，
化简得 ．
又圆心到的距离为1，
， …5分
故，
易知，上式化简得，
同理有． …10分
所以，，则．
因是抛物线上的点，有，则
，． …15分
所以．
当时，上式取等号，此时．
因此的最小值为8． …20分
11． （本题满分20分）设 . 记，，.
证明：.
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
1、【解】A=(1，3)；
又，a≤－21－x∈(－1，－)，当x∈(1，3)时，a≥ －7∈(－7，－4)．
∴ －4≤a≤－1．
2、【解】 由平面几何知，要使最大，则过，P三点的圆必定和直线l相切于P点。设直线l交x轴于A，则，即，即 （1），又由圆幂定理，（2），而，，A，从而有，。代入（1），（2）得。

3、【解】。令，则
。因此
。 即得。
4、【解】设球半径为R，其内接圆锥的底半径为r，高为h，作轴截面，则r2=h(2R－h)．
V锥=πr2h=h2(2R－h)=h·h(4R－2h)≤=·πR3．
∴ 所求比为8∶27．
5、【解】 等价于或．
即或．
此时或或．
∴解为x >4或0<x<1 或 1<x<．

6、 【解】首项为a为的连续k个正整数之和为
　　由Sk≤2000，可得60≤k≤62.
　　当k=60时，Sk=60a+30×59，由Sk≤2000，可得a≤3，故Sk=1830,1890,1950；
　　当k=61时，Sk=61a+30×61，由Sk≤2000，可得a≤2，故Sk=1891，1952；
　　当k=62时，Sk=62a+31×61，由Sk≤2000，可得a≤1，故Sk=1953.
　　于是，题中的n有6个.
7、 【解】令lgx=t，则得t2－2=[t]．作图象，知t=－1，t=2，及1<t<2内有一解．当1<t<2时，[t]=1，t=．故得：x=，x=100，x=10，即共有3个实根。
8、 【解】首先q≠1，于是，(q10－1)=10，(q30－1)=70，∴ q20+q10+1=7．Þq10=2．(－3舍)
∴ S40=10(q40－1)=150．
二、解答题：本大题共3小题，共56分
9、【解】①对P0进行操作，容易看出P0的每条边变成P1的4条边，故P1的边数为3×4；同样，对P1进行操作，P1的每条边变成P2的4条边，故P2的边数为3×42，从而不难得到Pn的边数为3×4n …………5分
已知P0的面积为S0=1，比较P1与P0，容易看出P1在P0的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而P0有3条边，故S1=S0+3×=1+
再比较P2与P1，容易看出P2在P1的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为×，而P1有3×4条边，故S2=S1+3×4×=1++
类似地有：S3=S2+3×42×=1+++ …………5分
∴Sn=
=1+
= (※) …………10分
下面用数学归纳法证明(※)式
当n=1时，由上面已知(※)式成立，
假设当n=k时，有Sk=
当n=k+1时，易知第k+1次操作后，比较Pk+1与Pk，Pk+1在Pk的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而Pk有3×4k条边。故
Sk+1=Sk+3×4k×=
综上所述，对任何n∈N，(※)式成立。
② …………16分

10、【解】 设，不妨设．
直线的方程:，
化简得 ．
又圆心到的距离为1，
， …5分
故，
易知，上式化简得，
同理有． …10分
所以，，则．
因是抛物线上的点，有，则
，． …15分
所以．
当时，上式取等号，此时．
因此的最小值为8． …20分
11、 【证明】（１）如果，则，。 ………………………（5分）
（２）如果，由题意 ，,. 则
① 当 时，（）. 事实上，当时，, 设时成立（为某整数），则对， .
② 当 时，（）.事实上，当时，, 设时成立（为某整数），则对，有.注意到 当时,总有，即 . 从而有.由归纳法，推出 。 ……………（15分）
（3）当时，记，则对于任意，且。对于任意，, 则。 所以，。当时，，即。因此。综合（１）（２）（３），我们有。 …………………………（20分）
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