高中数学新定义类型题.doc

同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）
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评卷人
得分

一、选择题（本题共22道小题，每小题5分，共110分）
1.定义，设实数满足约束条件，则
的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2.对于复数,若集合具有性质“对任意,必有”,则当
时,等于 ( )
A、1 B、-1 C、0 D、
3.
在实数集中定义一种运算“”，，为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意，； （2）对任意，．
关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数 为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中正确说法的序号为（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．②③
4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么称k是集合A的一个“好元素”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）
A．2个　 B．4个　 C．6个　 D．8个
5.对于集合N和集合，
若满足，则集合中的运算“”可以是
A． 加法 B．减法 C．乘法 D．除法
6.设函数的定义域为R，如果存在函数为常数），使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数. 已知对于任意，是函数的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（ ）
A. B. C.
D.
7.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义.
若，，且|A-B|=1，由a的所有可能值构成的集合为S，
那么C(S)等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8.对于集合M、N，定义M－N＝{x|x∈M且xN}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝{y|y＝3x， x∈R}，B＝{y|y＝－，x∈R}，则A⊕B等于(　　)
A．[0,2) B．(0,2]
C．(－∞，0]∪(2，＋∞) D．(－∞，0)∪[2，＋∞)
9.在实数集中定义一种运算“”，，为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意，；
（2）对任意，．
关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．
其中所有正确说法的个数为( )
A． B． C． D．
10.给出定义:若 （其中为整数）,则叫做与实数“亲密的整数”, 记作,在此基础上给出下列关于函数的四个命题:①函数在上是增函数;②函数的图象关于直线对称;③函数是周期函数,最小正周期为1;④当时，函数有两个零点. 其中正确命题的序号是____________.
A．②③④ B．①③ C．①② D．②④
11.定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
12.对于函数，若，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
13.对于集合，如果定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足下列4个条件：
（ⅰ），都有；
（ⅱ），使得对，都有；
（ⅲ），，使得；
（ⅳ），都有，
则称集合对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”：
①，运算“”为普通加法；②，运算“”为普通减法；
③，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有( )
A①② B①③ C②③ D①②③
14.设与是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是( )
A. B．[－1,0] C．(－∞，－2] D.
15.设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一的，使得
成立（其中为常数），则称函数在上的均值为， 现在给出下列4个函数： ① ② ③ ④ ，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的 （ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①③
16.对任意实数定义运算如下，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
17.设是非空集合，定义，已知，，则等于（ ）

18.设集合A⊆R，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合A的一个聚点．则在下列集合中：
（1）Z+∪Z﹣； （2）R+∪R﹣；
（3）{x|x=，n∈N*}； （4）{x|x=，n∈N*}．
其中以0为聚点的集合有（　　）
　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
19.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，
例如解析式为y＝2x2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：
（1）y＝2x2＋1，； （2）y＝2x2＋1，； （3）y＝2x2＋1，。
那么函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{1，5}的“孪生函数”共有 ( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
20.已知若，称排列为好排列，则好排列的个数为

21.若，则称A是“伙伴关系集合”，在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为
A． B． C． D．
22.在数学拓展课上，老师定义了一种运算“”：对于，满足以下运算性质：
①；②。则的数值为 （ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分

二、解答题（本题共15道小题，每小题5分，共75分）
23.在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量，“”当且仅当“”或“”。按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则对于任意；
④对于任意向量，若，则。
其中真命题的序号为__________
24.给定数集,对于任意，有且，则称集合为闭集合．
①集合为闭集合；
②集合为闭集合；
③若集合,为闭集合，则为闭集合；
④若集合,为闭集合，且，，则存在,使得．
其中，全部正确结论的序号是________．
25.定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．例如y=| x |是上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：
① 函数是上的“平均值函数”．
② 若是上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥．
③ 若函数是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是．
④ 若是区间[a，b] (b>a≥1)上的“平均值函数”，是它的一个均值点，则．
其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）
26.
下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点，如图①：将线段围成一个圆，使两端点恰好重合，如图②：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图③，图③中直线与轴交于点，则的象就是，记作．

下列说法中正确命题的序号是 （填出所有正确命题的序号）
①
②是奇函数
③在定义域上单调递增
④是图像关于点对称．
27.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=为两点之间的“折线距离”，则坐标原点O与直线上任意一点的“折线距离”的最小值是_________.
28.设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足；
(i)；(ii)对任意，当时,恒有．
那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合：
①；
②；
③；
④
其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是_________(写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号)．
29.若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称是函数的一个“伙伴点组”（点组与看作同一个“伙伴点组”）．已知函数有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是__ ▲ _．
30.已知有限集.如果中元素满足，就称为“复活集”，给出下列结论：
①集合是“复活集”；②是“复活集”，则；③不可能是“复活集”；④若，则“复活集”有且只有一个，且.
其中正确的结论是___________________．（填上你认为所有正确的结论序号）
31.对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道.给出下列函数：
①；②；③；④
其中在区间上通道宽度可以为的函数有 (写出所有正确的序号).
32.设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：
①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.
其中真命题是____________. （写出所有真命题的序号）
33.已知函数的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为的保值区间．若的保值区间是，则的值为_______________．
34.存在区间（），使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数：①；②；③ ； ④其中存在“稳定区间”的函数有____________.（把所有正确的序号都填上）
35.若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y=f（x）在I 上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为________．
36.
定义一个对应法则．现有点与，点是线段上一动点，按定义的对应法则．当点在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点所经过的路线长度为 ．
37.已知数列满足，若正整数满足为整数，则称为“马数”，那么，在区间内所有的“马数”之和为 ．
评卷人
得分

三、解答题（本题共3道小题，每小题10分，共30分）
38.（本小题满分12分）在R上定义运算（b、c为实常数）.记.令
（I）如果函数在处有极值，试确定b、c的值；
（II）求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
（III）记的最大值为M. 若对任意的b、c恒成立，试求k的最大值.
39. 己知集合A={l,2,3,…,2n},，对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整
数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P。
(1)当n=10时，试判断集合和是否一定具有性质P ?并说明理由。
(2)当n=2014时
①若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P ?说明理由，
②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．

40.对于函数，若图象上存在2个点关于原点对称，则称为“局部中心对称函数”．
（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部中心对称函数”？并说明理由；

（Ⅱ）若为定义域上的“局部中心对称函数”，求实数m的取值范围．
试卷答案
1.B

2.B

3.B

知识点：命题的真假判断与应用
解析：∵ =（ex）•+（ex）*0+*0=1+ex+，
对于①，∵1+ex+≥1+=3（当且仅当x=0时取“=”），∴f（x）min=3，故①正确；
对于②，∵f（x）=1+ex+=1+ex+e﹣x，∴f（﹣x）=1+ex+e﹣x=1+ex+e﹣x=f（x），
∴函数f（x）为偶函数，故②正确；
对于③，∵f′（x）=ex﹣e﹣x=，∴当x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）的单调递增区间为[0，﹣∞），故③错误；∴正确说法的序号为①②，故选：B．
【思路点拨】依题意，可得f（x）=1+ex+e﹣x，对于①，可由基本不等式1+ex+≥1+=3判断其正误；对于②，利用偶函数的定义可判断其正误；
对于③，由f′（x）≥0，求得其单调递增区间，可判断其正误．

4.C
略
5.C

6.C
略
7.A
略
8.C
略
9.C
略
10.A
略
11.D

12.D
略
13.B
略
14.A
略
15.D
略
16.B

17.A

18.B
略
19.C

20.C
略
21.A

22.C

23.①②③
略
24.②

25.

【知识点】新定义型函数 B10
【答案解析】①③④ 解析：解：①容易证明正确．
②不正确．反例：在区间[0，6]上．
③正确．由定义：得，
又所以实数的取值范围是．
④正确．理由如下：由题知．
要证明，即证明： ，
令，原式等价于．
令，则，
所以得证．
【思路点拨】根据新函数的定义可分析每一个选项的正误情况.
26.③④

试题分析：解：如图，因为在以为圆心，为半径的圆上运动，对于①当时，的坐标为，直线的方程，所以点的坐标为，故，即①错；对于②，因为实数所在的区间不关于原点对称，所以不存在奇偶性，故②错；对于③，当实数越来越大时，如图直线与轴的交点也越来越往右，即越来越大，所以在定义域上单调递增，即③对；对于④当实数时，对应的点在点的正下方，此时点，所以，再由图形可知的图象关于点对称，即④对，故答案为③④．

考点：在新定义下解决函数问题．
27.
略
28.②③④
略
29.

【知识点】一元二次方程根的分布，对称问题
【答案解析】解析：解：设(m，n)为函数当x≥0时图象上任意一点，若点
(m，n)是函数的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m，－n)必在该函数图象上，得，消去n得，若函数有两个“伙伴点组”，则该方程有2个不等的正实数根，得，解得.
【思路点拨】对于新定义题，读懂题意是解题的关键，本题通过条件最终转化为一元二次方程根的分布问题进行解答.
30.①③④
略
31.

32.①②
略
33.
略
34.② ③
略
35.1
略
36.

37.

38.

39.(1)略(2)2685解析：解：（1）当n=10时，A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}；
∵对于任意不大于10的正整数m，都可以找到集合B中两个元素b1=10，b2=10+m，使得|b1﹣b2|=m成立；∴集合B不具有性质P；集合C={x∈A|x=3k﹣1，k∈N*}具有性质P；
∵可取m=1＜10，对于集合C中任意一对元；
都有|c1﹣c2|=3|k1﹣k2|≠1；即集合C具有性质P；
（2）当n=2014时，A={1，2，3，…，4027，4028}；①若集合S具有性质P，则集合T={4029﹣x|x∈S}一定具有性质P：任取t=4029﹣∈T，∈S；∵S⊆A，∴∈{1，2，3，…，4028}；
∴1≤4029﹣≤4028，即t∈A，∴T⊆A；由S具有性质P知，存在不大于2014的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m；对于上述正整数m，从集合T中任取一对元素t1=4029﹣x1，t2=4029﹣x2，x1，x2∈S，都有|t1﹣t2|=|x1﹣x2|≠m；∴集合T具有性质P；②设集合S有k个元素，由①知，若集合S具有性质P，那么集合T={4029﹣x|x∈S}一定具有性质P；任给x∈S，1≤x≤4028，则x与4029﹣x中必有一个不超过2014；
∴集合S与T中必有一个集合中至少存在一个元素不超过2014；
不妨设S中有t（t）个元素b1，b2，…，bt不超过2014；
由集合S具有性质P知，存在正整数m≤2014，使得S中任意两个元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m；
∴一定有b1+m，b2+m，…，bt+m∉S；
又bt+m≤2014+2014=4028，故b1+m，b2+m，…，bt+m∈A；
即集合A中至少有t个元素不在子集S中，∴，所以，解得k≤2685；当S={1，2，…，1342，1343，2687，…，4027，4028}时：
取m=1343，则易知对集合S中任意两个元素y1，y2，都有|y1﹣y2|≠1343；即集合S具有性质P，而此时集合S中有2685个元素；∴集合S元素个数的最大值是2685

略
40.（Ⅰ）当时，若图象上存在2个点关于原点对称
则方程
即，
时，方程有实数根， 时，方程无实数根．
∴时，是“局部中心对称函数”， 时，不是“局部中心对称函数” ．

（Ⅱ）当时，可化为
．
令，则，
即有解，即可保证为“局部中心对称函数”．
令，
1° 当时，在有解，
由，即，解得；
2° 当时，在有解等价于
解得．
综上，所求实数m的取值范围为．
略