高中数学新定义类型题.doc

同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）
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评卷人
得分

一、选择题（本题共22道小题，每小题5分，共110分）
1.定义，设实数满足约束条件，则
的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2.对于复数,若集合具有性质“对任意,必有”,则当
时,等于 ( )
A、1 B、-1 C、0 D、
3.

在实数集中定义一种运算“”，，为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意，； （2）对任意，．
关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数 为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中正确说法的序号为（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．②③
4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么称k是集合A的一个“好元素”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）
A．2个　 B．4个　 C．6个　 D．8个
5.对于集合N和集合，
若满足，则集合中的运算“”可以是
A． 加法 B．减法 C．乘法 D．除法
6.设函数的定义域为R，如果存在函数为常数），使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数. 已知对于任意，是函数的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（ ）
A. B. C.
D.
7.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义.
若，，且|A-B|=1，由a的所有可能值构成的集合为S，
那么C(S)等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8.对于集合M、N，定义M－N＝{x|x∈M且xN}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝{y|y＝3x， x∈R}，B＝{y|y＝－，x∈R}，则A⊕B等于(　　)
A．[0,2) B．(0,2]
C．(－∞，0]∪(2，＋∞) D．(－∞，0)∪[2，＋∞)
9.在实数集中定义一种运算“”，，为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意，；
（2）对任意，．
关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．
其中所有正确说法的个数为( )
A． B． C． D．
10.给出定义:若 （其中为整数）,则叫做与实数“亲密的整数”, 记作,在此基础上给出下列关于函数的四个命题:①函数在上是增函数;②函数的图象关于直线对称;③函数是周期函数,最小正周期为1;④当时，函数有两个零点. 其中正确命题的序号是____________.
A．②③④ B．①③ C．①② D．②④
11.定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
12.对于函数，若，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
13.对于集合，如果定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足下列4个条件：
（ⅰ），都有；
（ⅱ），使得对，都有；
（ⅲ），，使得；
（ⅳ），都有，
则称集合对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”：
①，运算“”为普通加法；②，运算“”为普通减法；
③，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有( )
A①② B①③ C②③ D①②③
14.设与是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是( )
A. B．[－1,0] C．(－∞，－2] D.
15.设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一的，使得
成立（其中为常数），则称函数在上的均值为， 现在给出下列4个函数： ① ② ③ ④ ，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的 （ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①③
16.对任意实数定义运算如下，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
17.设是非空集合，定义，已知，，则等于（ ）

18.设集合A⊆R，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合A的一个聚点．则在下列集合中：
（1）Z+∪Z﹣； （2）R+∪R﹣；
（3）{x|x=，n∈N*}； （4）{x|x=，n∈N*}．
其中以0为聚点的集合有（　　）
　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
19.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，
例如解析式为y＝2x2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：
（1）y＝2x2＋1，； （2）y＝2x2＋1，； （3）y＝2x2＋1，。
那么函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{1，5}的“孪生函数”共有 ( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
20.已知若，称排列为好排列，则好排列的个数为

21.若，则称A是“伙伴关系集合”，在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为
A． B． C． D．
22.在数学拓展课上，老师定义了一种运算“”：对于，满足以下运算性质：
①；②。则的数值为 （ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分

二、解答题（本题共15道小题，每小题5分，共75分）
23.在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量，“”当且仅当“”或“”。按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则对于任意；
④对于任意向量，若，则。
其中真命题的序号为__________
24.给定数集,对于任意，有且，则称集合为闭集合．
①集合为闭集合；
②集合为闭集合；
③若集合,为闭集合，则为闭集合；
④若集合,为闭集合，且，，则存在,使得．
其中，全部正确结论的序号是________．
25.定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．例如y=| x |是上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：
① 函数是上的“平均值函数”．
② 若是上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥．
③ 若函数是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是．
④ 若是区间[a，b] (b>a≥1)上的“平均值函数”，是它的一个均值点，则．
其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）
26.
下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点，如图①：将线段围成一个圆，使两端点恰好重合，如图②：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图③，图③中直线与轴交于点，则的象就是，记作．

下列说法中正确命题的序号是 （填出所有正确命题的序号）
①
②是奇函数
③在定义域上单调递增
④是图像关于点对称．
27.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=为两点之间的“折线距离”，则坐标原点O与直线上任意一点的“折线距离的最小值是_________.
28.设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足；
(i)；(ii)对任意，当时,恒有．
那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合：
①；
②；
③；
④
其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是_________(写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号)．
29.若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称是函数的一个“伙伴点组”（点组与看作同一个“伙伴点组”）．已知函数有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是__ ▲ _．
30.已知有限集.如果中元素满足，就称为“复活集”，给出下列结论：
①集合是“复活集”；②是“复活集”，则；③不可能是“复活集”；④若，则“复活集”有且只有一个，且.
其中正确的结论是___________________．（填上你认为所有正确的结论序号）
31.对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道.给出下列函数：
①；②；③；④
其中在区间上通道宽度可以为的函数有 (写出所有正确的序号).
32.设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：
①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.
其中真命题是____________. （写出所有真命题的序号）
33.已知函数的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为的保值区间．若的保值区间是，则的值为_______________．
34.存在区间（），使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数：①；②；③ ； ④其中存在“稳定区间”的函数有____________.（把所有正确的序号都填上）
35.若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y=f（x）在I 上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为________．
36.
定义一个对应法则．现有点与，点是线段上一动点，按定义的对应法则．当点在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点所经过的路线长度为 ．
37.已知数列满足，若正整数满足为整数，则称为“马数”，那么，在区间内所有的“马数”之和为 ．
评卷人
得分

三、解答题（本题共3道小题，每小题10分，共30分）
38.（本小题满分12分）在R上定义运算（b、c为实常数）.记.令
（I）如果函数在处有极值，试确定b、c的值；
（II）求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
（III）记的最大值为M. 若对任意的b、c恒成立，试求k的最大值.
39. 己知集合A={l,2,3,…,2n},，对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整
数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P。
(1)当n=10时，试判断集合和是否一定具有性质P ?并说明理由。
(2)当n=2014时
①若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P ?说明理由，
②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．

40.对于函数，若图象上存在2个点关于原点对称，则称为“局部中心对称函数”．
（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部中心对称函数”？并说明理由；

（Ⅱ）若为定义域上的“局部中心对称函数”，求实数m的取值范围．
试卷答案
1.B

2.B

3.B

知识点：命题的真假判断与应用
解析：∵ =（ex）•+（ex）*0+*0=1+ex+，
对于①，∵1+ex+≥1+=3（当且仅当x=0时取“=”），∴f（x）min=3，故①正确；
对于②，∵f（x）=1+ex+=1+ex+e﹣x，∴f（﹣x）=1+ex+e﹣x=1+ex+e﹣x=f（x），
∴函数f（x）为偶函数，故②正确；
对于③，∵f′（x）=ex﹣e﹣x=，∴当x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）的单调递增区间为[0，﹣∞），故③错误；∴正确说法的序号为①②，故选：B．
【思路点拨】依题意，可得f（x）=1+ex+e﹣x，对于①，可由基本不等式1+ex+≥1+=3判断其正误；对于②，利用偶函数的定义可判断其正误；
对于③，由f′（x）≥0，求得其单调递增区间，可判断其正误．

4.C
略
5.C

6.C
略
7.A
略
8.C
略
9.C
略
10.A
略
11.D

12.D
略
13.B
略
14.A
略
15.D
略
16.B

17.A

18.B
略
19.C

20.C
略
21.A

22.C

23.①②③
略
24.②

25.

【知识点】新定义型函数 B10
【答案解析】①③④ 解析：解：①容易证明正确．
②不正确．反例：在区间[0，6]上．
③正确．由定义：得，
又所以实数的取值范围是．
④正确．理由如下：由题知．
要证明，即证明： ，
令，原式等价于．
令，则，
所以得证．
【思路点拨】根据新函数的定义可分析每一个选项的正误情况.
26.③④

试题分析：解：如图，因为在以为圆心，为半径的圆上运动，对于①当时，的坐标为，直线的方程，所以点的坐标为，故，即①错；对于②，因为实数所在的区间不关于原点对称，所以不存在奇偶性，故②错；对于③，当实数越来越大时，如图直线与轴的交点也越来越往右，即越来越大，所以在定义域上单调递增，即③对；对于④当实数时，对应的点在点的正下方，此时点，所以，再由图形可知的图象关于点对称，即④对，故答案为③④．

考点：在新定义下解决函数问题．
27.
略
28.②③④
略
29.

【知识点】一元二次方程根的分布，对称问题
【答案解析】解析：解：设(m，n)为函数当x≥0时图象上任意一点，若点
(m，n)是函数的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m，－n)必在该函数图象上，得，消去n得，若函数有两个“伙伴点组”，则该方程有2个不等的正实数根，得，解得.
【思路点拨】对于新定义题，读懂题意是解题的关键本题通过条件最终转化为一元二次方程根的分布问题进行解答.
30.①③④
略
31.

32.①②
略
33.
略
34.② ③
略
35.1
略
36.

37.

38.

39.(1)略(2)2685解析：解：（1）当n=10时，A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}；
∵对于任意不大于10的正整数m，都可以找到集合B中两个元素b1=10，b2=10+m，使得|b1﹣b2|=m成立；∴集合B不具有性质P；集合C={x∈A|x=3k﹣1，k∈N*}具有性质P；
∵可取m=1＜10，对于集合C中任意一对元；
都有|c1﹣c2|=3|k1﹣k2|≠1；即集合C具有性质P；
（2）当n=2014时，A={1，2，3，…，4027，4028}；①若集合S具有性质P，则集合T={4029﹣x|x∈S}一定具有性质P：任取t=4029﹣∈T，∈S；∵S⊆A，∴∈{1，2，3，…，4028}；
∴1≤4029﹣≤4028，即t∈A，∴T⊆A；由S具有性质P知，存在不大于2014的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m；对于上述正整数m，从集合T中任取一对元素t1=4029﹣x1，t2=4029﹣x2，x1，x2∈S，都有|t1﹣t2|=|x1﹣x2|≠m；∴集合T具有性质P；②设集合S有k个元素，由①知，若集合S具有性质P，那么集合T={4029﹣x|x∈S}一定具有性质P；任给x∈S，1≤x≤4028，则x与4029﹣x中必有一个不超过2014；
∴集合S与T中必有一个集合中至少存在一个元素不超过2014；
不妨设S中有t（t）个元素b1，b2，…，bt不超过2014；
由集合S具有性质P知，存在正整数m≤2014，使得S中任意两个元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m；
∴一定有b1+m，b2+m，…，bt+m∉S；
又bt+m≤2014+2014=4028，故b1+m，b2+m，…，bt+m∈A；
即集合A中至少有t个元素不在子集S中，∴，所以，解得k≤2685；当S={1，2，…，1342，1343，2687，…，4027，4028}时：
取m=1343，则易知对集合S中任意两个元素y1，y2，都有|y1﹣y2|≠1343；即集合S具有性质P，而此时集合S中有2685个元素；∴集合S元素个数的最大值是2685

略
40.（Ⅰ）当时，若图象上存在2个点关于原点对称
则方程
即，
时，方程有实数根， 时，方程无实数根．
∴时，是“局部中心对称函数”， 时，不是“局部中心对称函数” ．

（Ⅱ）当时，可化为
．
令，则，
即有解，即可保证为“局部中心对称函数”．
令，
1° 当时，在有解，
由，即，解得；
2° 当时，在有解等价于
解得．
综上，所求实数m的取值范围为．
略