高等数学教案.doc

高等数学教案
第 1 次课
学科
高等数学（一）
课题
函 数
周次
5
时数
2
授课班级
1202114
主要教学内容：
1、集合与区间
2、函数概念
3、函数的几种特性
4、反函数
5、复合函数·初等函数
教学目的和要求：
1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、理解函数的性质，掌握函数的四则运算。
3、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：
1、 函数的概念
2、 函数的特性
3、 复合函数
教学难点：
1、函数的概念
2、函数的特性
教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合
使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体
教学内容及教学过程
教 学 过 程
§1 函数
一、 集合与区间
1. 集合概念
集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示.
元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为aÎM.
集合的表示:
列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.
例如A={a, b, c, d, e, f, g}.
描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
A={a1, a2, × × ×, an},
M={x | x具有性质P }.
例如M={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.
几个数集:
N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.
N={0, 1, 2, × × ×, n, × × ×}. N+={1, 2, × × ×, n, × × ×}.
R表示所有实数构成的集合, 称为实数集.
Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集.
Z={× × ×, -n, × × ×, -2, -1, 0, 1, 2, × × ×, n, × × ×}.
Q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.

子集: 若xÎA, 则必有xÎB, 则称A是B的子集, 记为AÌB(读作A包含于B)或BÉA .
如果集合A与集合B互为子集, AÌB且BÌA, 则称集合A与集合B相等, 记作A=B.
若AÌB且A¹B, 则称A是B的真子集, 记作AB . 例如, NZQR .
不含任何元素的集合称为空集, 记作Æ. 规定空集是任何集合的子集.
2. 集合的运算
设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并), 记作AÈB, 即
AÈB={x|xÎA或xÎB}.
设A、B是两个集合, 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作AÇB, 即
AÇB={x|xÎA且xÎB}.
设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作A\B, 即
A\B={x|xÎA且xÏB}.
如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称I\A为A的余集或补集, 记作AC.
集合运算的法则:
设A、B、C为任意三个集合, 则
(1)交换律AÈB=BÈA, AÇB=BÇA;
(2)结合律 (AÈB)ÈC=AÈ(BÈC), (AÇB)ÇC=AÇ(BÇC);
(3)分配律 (AÈB)ÇC=(AÇC)È(BÇC), (AÇB)ÈC=(AÈC)Ç(BÈC);
(4)对偶律 (AÈB)C=AC ÇBC, (AÇB)C=AC ÈBC.
(AÈB)C=AC ÇBC的证明:
xÎ(AÈB)CÛxÏAÈBÛxÏA且xÏBÛxÎA C且xÎBC ÛxÎAC ÇBC, 所以(AÈB)C=AC ÇBC.
直积(笛卡儿乘积):
设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为A´B, 即
A´B={(x, y)|xÎA且yÎB}.
例如, R´R={(x, y)| xÎR且yÎR }即为xOy面上全体点的集合, R´R常记作R2.
3. 区间和邻域
有限区间:
设a<b, 称数集{x|a<x<b}为开区间, 记为(a, b), 即
(a, b)={x|a<x<b}.
类似地有
[a, b] = {x | a £x£b }称为闭区间,
[a, b) = {x | a£x<b }、(a, b] = {x | a<x£b }称为半开区间.
其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a称为区间的长度.
无限区间:
[a, +¥) = {x | a£x }, (-¥, b] = {x | x < b } , (-¥, +¥)={x | | x | < +¥}.
区间在数轴上的表示:
邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a).
设d是一正数, 则称开区间(a-d, a+d)为点a的d邻域, 记作U(a, d), 即
U(a, d)={x | a-d< x < a+d}
={x | | x-a|<d}.
其中点a称为邻域的中心, d 称为邻域的半径.
去心邻域(a, d):
(a, d)={x |0<| x-a |<d}
二、 函数概念
1. 函数概念
定义 设数集DÌR, 则称映射f : D ®R为定义在D上的函数, 通常简记为
y=f(x), xÎD,
其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作D f, 即D f=D.
应注意的问题:
记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f(x), xÎD”或“y=f(x), xÎD”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .
函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“F”, “j”等. 此时函数就记作y=j (x), y=F(x).
函数的两要素:
函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R内, 因此构成函数的要素是定义域D f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.
函数的定义域:
函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.

求定义域举例:
求函数的定义域.
要使函数有意义, 必须x¹0, 且x2 - 4³0.
解不等式得| x |³2.
所以函数的定义域为D={x | | x |³2}, 或D=(-¥, 2]È[2, +¥]).

单值函数与多值函数:
在函数的定义中，对每个xÎD, 对应的函数值y总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xÎD, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 设变量x和y之间的对应法则由方程x2+y2=r2 给出. 显然, 对每个xÎ[-r, r]，由方程x2+y2=r2,可确定出对应的y值, 当x=r或x=-r时, 对应y=0一个值; 当x取(-r, r)内任一个值时, 对应的y有两个值. 所以这方程确定了一个多值函数.
对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程x2+y2=r2给出的对应法则中, 附加“y³0”的条件, 即以“x2+y2=r2且y³0”作为对应法则, 就可得到一个单值分支; 附加“y£0”的条件, 即以“x2+y2=r2且y£0”作为对应法则, 就可得到另一个单值分支.
表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集
{P(x, y)|y=f(x), xÎD}
称为函数y=f(x), xÎD的图形. 图中的R f 表示函数y=f(x)的值域.
函数的例子:
例. 函数.
称为绝对值函数. 其定义域为D=(-¥, +¥), 值域为R f =[0, +¥).
例. 函数.
称为符号函数. 其定义域为D=(-¥, +¥), 值域为R f ={-1, 0, 1}.
例 设x为任上实数. 不超过x的最大整数称为x的整数部分, 记作[ x ].
函数
y = [ x ]
称为取整函数. 其定义域为D=(-¥, +¥), 值域为R f =Z .
, , [p]=3, [-1]=-1, [-3. 5]=-4.
分段函数:
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.
例。 函数.
这是一个分段函数, 其定义域为D=[0, 1]È(0, +¥)= [0, +¥).
当0£x£1时, ; 当x>1时, y=1+x.
例如; ; f(3)=1+3=4.
三、 函数的几种特性
(1)函数的有界性
设函数f(x)的定义域为D, 数集XÌD. 如果存在数K1, 使对任一xÎX, 有f(x)£K1, 则称函数f(x)在X上有上界, 而称K1为函数f(x)在X上的一个上界. 图形特点是y=f(x)的图形在直线y=K1的下方.
如果存在数K2, 使对任一xÎX, 有f(x)³ K2, 则称函数f(x)在X上有下界, 而称K2为函数f(x)在X上的一个下界. 图形特点是, 函数y=f(x)的图形在直线y=K2的上方.
如果存在正数M, 使对任一xÎX, 有| f(x) |£M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界. 图形特点是, 函数y=f(x)的图形在直线y= - M和y = M的之间.
函数f(x)无界, 就是说对任何M, 总存在x1ÎX, 使| f(x) | > M.
例如
(1)f(x)=sin x在(-¥, +¥)上是有界的: |sin x|£1.
(2)函数在开区间(0, 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界.
这是因为, 对于任一M>1, 总有x1: , 使
,
所以函数无上界.
函数在(1, 2)内是有界的.
(2)函数的单调性
设函数y = f(x)的定义域为D, 区间I ÌD. 如果对于区间I上任意两点x1及x2, 当x1<x2时, 恒有
f(x1)< f(x2),
则称函数f(x)在区间I上是单调增加的.
如果对于区间I上任意两点x1及x2, 当x1<x2时, 恒有
f(x1)> f(x2),
则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.
函数单调性举例:
函数y = x2在区间(-¥, 0]上是单调增加的, 在区间[0, +¥)上是单调减少的, 在（-¥, +¥）上不是单调的.
(3)函数的奇偶性
设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若xÎD, 则-xÎD). 如果对于任一xÎD, 有
f(-x) = f(x),
则称f(x)为偶函数.
如果对于任一xÎD, 有
f(-x) = -f(x),
则称f(x)为奇函数.
偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称,
奇偶函数举例:
y=x2, y=cos x 都是偶函数. y=x3, y=sin x都是奇函数, y=sin x+cos x是非奇非偶函数.
(4)函数的周期性
设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个正数l , 使得对于任一xÎD有(x±l)ÎD, 且
f(x+l) = f(x)
则称f(x)为周期函数, l 称为f(x)的周期.
周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l 的区间上, 函数的图形有相同的形状.
四、 反函数
定义:
设函数f : D®f(D)是单射, 则它存在逆映射f -1: f(D)®D, 称此映射f -1为函数f的反函数.
按此定义, 对每个yÎf(D), 有唯一的xÎD, 使得f(x)=y, 于是有
f -1(y)=x.
这就是说, 反函数f -1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的.
一般地, y=f(x), xÎD的反函数记成y=f -1(x), xÎf(D).
若f是定义在D上的单调函数, 则f : D®f(D)是单射, 于是f的反函数f -1必定存在, 而且容易证明f -1也是f(D)上的单调函数.
相对于反函数y=f -1(x)来说, 原来的函数y=f(x)称为直接函数. 把函数y=f(x)和它的反函数
y=f -1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线y=x是对称的. 这是因为如果P(a, b)是y=f(x)图形上的点, 则有b=f(a). 按反函数的定义, 有a=f -1(b), 故Q(b, a)是y=f -1(x)图形上的点; 反之, 若Q(b, a)是y=f -1(x)图形上的点, 则P(a, b)是y=f(x)图形上的点. 而P(a, b)与Q(b, a)是关于直线y=x对称的.
五、 复合函数·初等函数
1. 复合函数:
复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述.
设函数y=f(u)的定义域为D 1, 函数u=g(x)在D上有定义且g(D)Ì D 1, 则由下式确定的函数
y=f[g(x)], xÎD
称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量.
函数g与函数f构成的复合函数通常记为, 即
()=f[g(x)].
与复合映射一样, g与f构成的复合函数的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f的定义域D f内, 即g(D)ÌD f. 否则, 不能构成复合函数.
例如, y=f(u)=arcsin u, 的定义域为[-1, 1], 在上有定义, 且g(D)Ì[-1, 1], 则g与f可构成复合函数
, xÎD;
但函数y=arcsin u和函数u=2+x2不能构成复合函数, 这是因为对任xÎR, u=2+x2均不在y=arcsin u的定义域[-1, 1]内.
多个函数的复合:
2. 基本初等函数:
幂函数: y=x m (mÎR是常数);
指数函数: y=a x(a>0且a¹1);
对数函数: y=loga x (a>0且a¹1, 特别当a=e时, 记为y=ln x);
三角函数: y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y=csc x;
反三角函数: y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x .

课后作业
（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）
第18页第15题
课后小结
（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）
注：从第二页开始以课时或单元为单位编制，每节课或每个单元都要有教案。
第 2次课
学科
高等数学（一）
课题
函数的极限
周次
5
时数
2
授课班级
1202114
主要教学内容：
1、 自变量趋于有限值时函数的极限
2、 自变量趋于无穷大时的函数的极限
教学目的和要求：
1、会计算自变量趋于有限值时和自变量趋于无穷大时函数的极限。
教学重点：
1、 极限的概念、极限的性质及四则运算法则。
教学难点：
1、 极限的概念
教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合
使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体
教学内容及教学过程
教 学 过 程
§3 函数的极限
一、函数的极限
1．自变量趋于有限值时函数的极限
定义:如果当x无限接近于xo , 函数f(x)的值无限接近于常数A, 则称当x趋于x0 时, f(x)以A为极限. 记作 f(x)=A或f(x)®A(当x®).
定义的简单表述:
Û"e>0, $d>0, 当0<|x-x0|<d时, |f(x)-A|<e .
2. 单侧极限:
若当x®x0- 时, f(x)无限接近于某常数A, 则常数A叫做函数f(x)当x®x0时的左极限, 记为或f(-)=A ;
y
y=x-1
-1
1
y=x+1
x
O
若当x®x0+ 时, f(x)无限接近于某常数A, 则常数A叫做函数f(x)当x®x0时的右极限, 记为 或f(+)=A .

3．自变量趋于无穷大时函数的极限
设f(x)当|x|大于某一正数时有定义. 如果存在常数A, 对于任意给定的正数e , 总存在着正数X, 使得当x满足不等式|x|>X时, 对应的函数数值f(x)都满足不等式
|f(x)-A|<e,
则常数A叫做函数f(x)当x®¥时的极限, 记为

或f(x)®A(x®¥).
Û"e >0, $X>0, 当|x|>X时, 有|f(x)-A|<e .
类似地可定义
和.
结论: Û且.

课后作业
（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）
第36页第2、5题
课后小结
（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）

第 3次课
学科
高等数学（一）
课题
无穷大与无穷小
周次
7
时数
2
授课班级
1202114
主要教学内容：
无穷大
无穷小
教学目的和要求：
理解无穷小、无穷大的概念
教学重点：
无穷小及无穷小的比较。
教学难点：
无穷大与无穷小
教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合
使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体
教学内容及教学过程
教 学 过 程
§4 无穷大与无穷小
.无穷大与无穷小
1. 无穷小
定义：如果函数f(x)当x®x0(或x®¥)时的极限为零, 那么称函数f(x)为当x®x0(或x®¥)时的无穷小.
特别地, 以零为极限的数列{xn}称为n®¥时的无穷小.
例如,
因为, 所以函数为当x®¥时的无穷小.
因为, 所以函数为x-1当x®1时的无穷小.
因为, 所以数列{}为当n®¥时的无穷小.
讨论: 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？
提示: 无穷小是这样的函数, 在x®x0(或x®¥)的过程中, 极限为零. 很小很小的数只要它不是零, 作为常数函数在自变量的任何变化过程中, 其极限就是这个常数本身, 不会为零.
无穷小与函数极限的关系:
定理1 在自变量的同一变化过程x®x0(或x®¥)中, 函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+a, 其中a是无穷小.
证明: 设, "e >0 , $ d >0, 使当0<|x-x0|<d 时, 有
|f(x)-A|<e .
令a=f(x)-A, 则a是x®x0时的无穷小, 且
f(x)=A+a .
这就证明了f(x)等于它的极限A与一个无穷小a之和.
反之, 设f(x)=A+a , 其中A 是常数, a是x®x0时的无穷小, 于是
|f(x)-A|=|a|.
因a是x®x0时的无穷小, "e >0 , $ d >0, 使当0<|x-x0|<d , 有
|a|<e 或|f(x)-A|<e
这就证明了A 是f(x) 当 x®x0时的极限.
简要证明: 令a=f(x)-A, 则|f(x)-A|=|a|.
如果"e >0 , $ d >0, 使当0<|x-x0|<d , 有f(x)-A|<e , 就有|a|<e ;
反之如果"e >0 , $ d >0, 使当0<|x-x0|<d , 有|a|<e , 就有f(x)-A|<e .
这就证明了如果A 是f(x) 当 x®x0时的极限, 则a是x®x0时的无穷小; 如果a是x®x0时的无穷小, 则A 是f(x) 当 x®x0时的极限.

类似地可证明x®¥时的情形.
例如, 因为, 而, 所以.
定理2 有限个无穷小的和也是无穷小
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
2. 无穷大
定义：如果当x®x0(或x®¥)时, 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大, 就称函数 f(x)为当x®x0(或x®¥)时的无穷大. 记为

(或).
应注意的问题: 当x®x0(或x®¥)时为无穷大的函数f(x), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作
(或).
定理2 (无穷大与无穷小之间的关系)：在自变量的同一变化过程中, 如果f(x)为无穷大, 则为无穷小; 反之, 如果f(x)为无穷小, 且f(x)¹0, 则为无穷大.
简要证明:
如果, 且f(x)¹0, 那么对于, $d >0, 当0<|x-|<d 时,
有, 由于当0<|x-|<d 时, f(x)¹0, 从而
,
所以为x®x0时的无穷大.
如果, 那么对于, $d >0,当0<|x-|<d 时,
有, 即, 所以为x®x时的无穷小.
简要证明:
如果f(x)®0(x®x0)且f(x)¹0, 则"e >0, $d >0,
当0<|x- x0|<d 时, 有|f(x)|<e , 即, 所以f(x)®¥(x®x0).
如果f(x)®¥(x®x0), 则"M>0, $d >0,当0<|x- x0|<d 时,
有|f(x)|>M, 即, 所以f(x)®0(x®x0).

课后作业
（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）
第43页第2题

课后小结
（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）

第 4次课
学科
高等数学（一）
课题
函数运算法则
周次
7
时数
2
授课班级
1202114
主要教学内容：
极限运算法则
教学目的和要求：
掌握极限运算法则。
教学重点：
极限运算法则
教学难点：
两个重要极限
教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合
使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体
教学内容及教学过程
教 学 过 程
§5 极限运算法则
一、极限运算法则
定理1 如果lim f (x)=A, lim g (x)=B, 那么
(1) lim [f (x)±g(x)] = lim f (x) ±lim g (x) =A ± B ;
(2) lim f (x)×g(x) = lim f (x) × lim g (x) =A×B ;
(3)(B¹0).
证明(1): 因为lim f (x)=A, lim g (x)=B , 根据极限与无穷小的关系, 有
f (x)=A+a, g (x)=B+b,
其中a及b 为无穷小. 于是
f (x) ± g (x)=(A + a) ± (B + b) = (A ± B) + (a ± b),
即f (x) ± g (x)可表示为常数(A ± B)与无穷小(a ± b)之和. 因此
lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) = A ± B .
定理2 如果j(x)³f(x), 而lim j(x)=a , lim y(x)=b , 那么a³b .
推论1 如果lim f (x)存在, 而c为常数, 则
lim [c f (x)]=c lim f (x).
推论2 如果lim f (x)存在, 而n是正整数, 则
lim [f (x)]n =[lim f (x)]n.
例3. 求.
解: .
例4. 求.
解: ,
根据无穷大与无穷小的关系得=¥.
例5．求.
解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限:

例6．求.
解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限:
.
例7. 求.
解: 因为, 所以
.
例8. 求.
解: 当x®¥时, 分子及分母的极限都不存在, 故关于商的极限的运算法则不能应用.
因为, 是无穷小与有界函数的乘积,
所以 .

课后作业
（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）
第50页第2题
课后小结
（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）

第 5 次课
学科
高等数学（一）
课题
极限存在准则·两个重要极限
周次
8
时数
2
授课班级
1202114
主要教学内容：
夹逼准则
单调有界收敛准则
教学目的和要求：
了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
教学重点：
两个重要极限
教学难点：
两个重要极限
教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合
使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体
教学内容及教学过程
教 学 过 程
§6 极限存在准则·两个重要极限
极限存在准则·两个重要极限
1. 夹逼准则
准则I 如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件:
(1)yn£xn£zn(n=1, 2, 3, × × ×),
(2), ,
那么数列{xn }的极限存在, 且.
证明:因为, , 以根据数列极限的定义, "e >0, $N 1>0, 当n>N 1时, 有
|y n-a|<e ; 又$N 2>0, 当n>N 2时, 有|z n-a|<e . 现取N=max{N 1, N 2}, 则当 n>N 时, 有
|y n-a|<e , |z n-a|<e
同时成立, 即
a-e<yn<a+e , a-e<z n<a+e ,
同时成立. 又因yn£xn£zn , 所以当 n>N 时, 有
a-e<yn£x n£z n<a+e ,
即 |x n-a|<e .
这就证明了.
简要证明: 由条件(2), "e >0, $N >0, 当n>N 时，有
|y n-a|<e 及|z n-a|<e ,
即有 a-e<yn<a+e , a-e<z n<a+e ,
由条件(1), 有
a-e<y n£x n£z n<a+e ,
即 |x n-a|<e .
这就证明了.
准则I¢
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件:
O
C
A
D
B
1
x
(1) g(x)£f(x)£h(x);
(2) lim g(x)=A, lim h(x)=A;
那么lim f(x)存在, 且lim f(x)=A.
第一重要极限：

证明 首先注意到, 函数对于一切x¹0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆, BC^OA, DA^OA. 圆心角ÐAOB=x (0<x<). 显然 sin x=CB, x=, tan x=AD. 因为
SDAOB<S扇形AOB<SDAOD ,
所以
sin x<x<tan x,
即 sin x<x<tan x.
不等号各边都除以sin x, 就有
,
或 .
注意此不等式当-<x<0时也成立. 而, 根据准则I¢, .

简要证明: 参看附图, 设圆心角ÐAOB=x ().
显然 BC< AB <AD, 因此 sin x< x < tan x,
从而 (此不等式当x<0时也成立).
O
C
A
D
B
1
x
因为, 根据准则I¢, .
应注意的问题:
在极限中, 只要a(x)是无穷小, 就有.
这是因为, 令u=a(x), 则u ®0, 于是.
, (a(x)®0).
2. 单调有界收敛准则
准则II 单调有界数列必有极限.
如果数列{x n}满足条件
x 1£x 2£x 3£ × × × £x n£x n+1£ × × ×,
就称数列{x n}是单调增加的; 如果数列{x n}满足条件
x 1³x 2³x 3³ × × × ³x n³x n+1³ × × ×,
就称数列{x n}是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列.
如果数列{x n}满足条件x n£x n+1, nÎN+,
在第三节中曾证明: 收敛的数列一定有界. 但那时也曾指出: 有界的数列不一定收敛. 现在准则II表明: 如果数列不仅有界, 并且是单调的, 那么这数列的极限必定存在, 也就是这数列一定收敛.
准则II的几何解释:
单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A, 而对有界数列只可能后者情况发生.
根据准则II, 可以证明极限存在.
设, 现证明数列{xn}是单调有界的.
按牛顿二项公式, 有

,

.
比较x n , x n+1的展开式, 可以看出除前两项外, x n的每一项都小于x n+1的对应项, 并且x n+1还多了最后一项, 其值大于0, 因此
x n < x n+1 ,
这就是说数列{xn}是单调有界的.
这个数列同时还是有界的. 因为xn的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得

第二重要极限：根据准则II, 数列{xn}必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即
.
我们还可以证明. e是个无理数, 它的值是
e=2. 718281828459045× × ×.
指数函数y=e x 以及对数函数y=ln x 中的底e 就是这个常数.
在极限中, 只要a(x)是无穷小, 就有
.
这是因为, 令, 则u ®¥, 于是.
, (a(x)®0).
例3. 求.
解: 令t=-x, 则x ®¥时, t ®¥. 于是
.
或 .

课后作业
（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）
第60页第1题
课后小结
（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）

第 6 次课
学科
高等数学（一）
课题
无穷小的比较
周次
8
时数
2
授课班级
1202114
主要教学内容：
无穷小的比较
教学目的和要求：
掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
教学重点：
用等价无穷小求极限
教学难点：
用等价无穷小求极限
教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合
使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体
教学内容及教学过程
教 学 过 程
§7 无穷小的比较
无穷小的比较
1．定义：
（1）如果，就说是比高阶的无穷小，记作；
（2）如果，就说是比低阶的无穷小，
（3）如果，就说是比同阶的无穷小，
（4）如果，就说是关于