同济版高等数学教案第五章-定积分.pdf

高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室1 第五章第五章 定积分定积分 教学目的：教学目的：1、理解定积分的概念。2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。3、牛顿莱布尼茨公式。教学难点：教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。4、变上限函数的导数。5 1 定积分概念与性质定积分概念与性质 一、定积分问题举例一、定积分问题举例 1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形 设函数 yf(x)在区间a b上非负、连续 由直线 xa、xb、y0 及曲线 yf(x)所围成高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室2的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间a b中任意插入若干个分点ax0 x1 x2 xn1 xn b 把a b分成 n 个小区间x0 x1 x1 x2 x2 x3 xn1 xn 它们的长度依次为x1 x1x0 x2 x2x1 xn xn xn1 经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段 把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形 在每个小区间xi1 xi 上任取一点i 以xi1 xi 为底、f(i)为高的窄矩形近似替代第 i 个窄曲边梯形(i1 2 n)把这样得到的 n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积 A 的近似值 即Af(1)x1 f(2)x2 f(n)xn niiixf1)(求曲边梯形的面积的精确值 显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积 A 的近似值就越接近曲边梯形面积 A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积 A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记maxx1 x2 xn 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为 niiixfA10)(lim 2 变速直线运动的路程变速直线运动的路程高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室3 设物体作直线运动 已知速度 vv(t)是时间间隔T 1 T 2上 t 的连续函数 且 v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S 求近似路程 我们把时间间隔T 1 T 2分成 n 个小的时间间隔ti 在每个小的时间间隔ti内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度 v(i)物体在时间间隔ti内 运动的距离近似为Si v(i)ti 把物体在每一小的时间间隔ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1 T 2内所经过的路程 S 的近似值 具体做法是 在时间间隔T 1 T 2内任意插入若干个分点T 1t 0 t 1 t 2 t n1 t nT 2 把T 1 T 2分成 n 个小段t 0 t 1 t 1 t 2 t n1 t n 各小段时间的长依次为t 1t 1t 0 t 2t 2t 1 t n t n t n1 相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为S 1 S 2 S n 在时间间隔t i1 t i上任取一个时刻 i(t i1 i t i)以 i时刻的速度 v(i)来代替t i1 t i上各个时刻的速度 得到部分路程S i的近似值 即 S i v(i)t i (i1 2 n)于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程 S 的近似值 即 niiitvS1)(求精确值 记 maxt 1 t 2 t n 当0 时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室4 niiitvS10)(lim 设函数 yf(x)在区间a b上非负、连续 求直线 xa、xb、y0及曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积 (1)用分点 ax0 x1x2 xn1xn b 把区间a b分成 n 个小区间 x0 x1 x1 x2 x2 x3 xn1 xn 记xixixi1(i1 2 n)(2)任取ixi1 xi 以xi1 xi为底的小曲边梯形的面积可近似为(i1 2 n)所求曲边梯形面积 A 的近似值为iixf)(niiixfA1)(3)记maxx1 x2 xn 所以曲边梯形面积的精确值为 niiixfA10)(lim 设物体作直线运动 已知速度 vv(t)是时间间隔T 1 T 2上 t 的连续函数 且 v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S (1)用分点 T1t0t1t2 t n1tnT2把时间间隔T 1 T 2分成 n 个小时间段 t0 t1 t1 t2 tn1 tn 记ti titi1(i1 2 n)(2)任取iti1 ti 在时间段ti1 ti内物体所经过的路程可近似为 v(i)ti(i1 2 n)所求路程 S 的近似值为高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室5 niiitvS1)(3)记maxt1 t2 tn 所求路程的精确值为 niiitvS10)(lim 二、定积分定义二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义 定义 设函数 f(x)在a b上有界 在a b中任意插入若干个分点a x0 x1 x2 xn1 xnb 把区间a b分成 n 个小区间x0 x1 x1 x2 xn1 xn 各小段区间的长依次为x1x1x0 x2x2x1 xn xn xn1 在每个小区间xi1 xi上任取一个点 i(xi1 i xi)作函数值 f(i)与小区间长度xi的乘积f(i)xi(i1 2 n)并作出和 niiixfS1)(高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室6记 maxx1 x2 xn 如果不论对a b怎样分法 也不论在小区间xi1 xi上点 i 怎样取法 只要当0 时 和 S 总趋于确定的极限 I 这时我们称这个极限 I 为函数 f(x)在区间a b上的定积分 记作 badxxf)(即 niiibaxfdxxf10)(lim)(其中 f(x)叫做被积函数 f(x)dx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b叫做积分区间 定义 设函数 f(x)在a b上有界 用分点 ax0 x1x2 xn1xnb 把a b分成 n 个小区间 x0 x1 x1 x2 xn1 xn 记xixixi1(i1 2 n)任 ixi1 xi(i1 2 n)作和 niiixfS1)(记maxx1 x2 xn 如果当0 时 上述和式的极限存在 且极限值与区间a b的分法和 i的取法无关 则称这个极限为函数 f(x)在区间a b上的定积分 记作 badxxf)(即 niiibaxfdxxf10)(lim)(根据定积分的定义 曲边梯形的面积为 badxxfA)(变速直线运动的路程为 dttvSTT)(21 说明 高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室7 (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即 bababaduufdttfdxxf)()()(2)和通常称为 f(x)的积分和 niiixf1)(3)如果函数 f(x)在a b上的定积分存在 我们就说 f(x)在区间a b上可积 函数 f(x)在a b上满足什么条件时 f(x)在a b上可积呢？定理定理 1 设 f(x)在区间a b上连续 则 f(x)在a b上可积 定理定理 2 设 f(x)在区间a b上有界 且只有有限个间断点 则 f(x)在a b上可积 定积分的几何意义 在区间a b上 当 f(x)0 时 积分在几何上表示由曲线 yf(x)、两条直线badxxf)(xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积 当 f(x)0 时 由曲线 y f(x)、两条直线 xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值 baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010 当 f(x)既取得正值又取得负值时 函数 f(x)的图形某些部分在 x 轴的上方 而其它部分在 x轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在 x 轴上方的图形面积赋以正号 在 x 轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分的几何意义为 它是介于 x 轴、函数 f(x)的图形badxxf)(及两条直线 xa、xb 之间的各部分面积的代数和 用定积分的定义计算定积分 高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室8 例 1.利用定义计算定积分 dxx210 解 把区间0 1分成 n 等份分点为和小区间长度为 (i1 2 n1)(i1 2 n)nixinxi1 取(i1 2 n)作积分和nii niiniiiniinnixxf121211)()()12)(1(61113123nnnninni)12)(11(61nn 因为 当0 时 n 所以n1 31)12)(11(61lim)(lim10210nnxfdxxnniii 利定积分的几何意义求积分:例 2用定积分的几何意义求10)1(dxx 解:函数 y1x 在区间0 1上的定积分是以 y1x 为曲边以区间0 1为底的曲边梯形的面积 因为以 y1x 为曲边以区间0 1为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为 1 所以 211121)1(10dxx 三、定积分的性质三、定积分的性质高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室9 两点规定 (1)当 ab 时 0)(badxxf (2)当 ab 时 abbadxxfdxxf)()(性质性质 1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(证明:badxxgxf)()(niiiixgf10)()(lim niiiniiixgxf1010)(lim)(lim babadxxgdxxf)()(性质性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即 babadxxfkdxxkf)()(这是因为niiibaxkfdxxkf10)(lim)(baniiidxxfkxfk)()(lim10性质性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室10 值得注意的是不论 a b c 的相对位置如何总有等式 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(成立 例如 当 abc 时 由于 cbbacadxxfdxxfdxxf)()()(于是有 cbcabadxxfdxxfdxxf)()()(bccadxxfdxxf)()(性质性质 4 如果在区间a b上 f(x)1 则 abdxdxbaba1 性质性质 5 如果在区间ab上 f(x)0 则 (ab)badxxf0)(推论推论 1 如果在区间ab上 f(x)g(x)则 (ab)babadxxgdxxf)()(这是因为 g(x)f(x)0 从而 bababadxxfxgdxxfdxxg0)()()()(所以 babadxxgdxxf)()(高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室11 推论推论 2(ab)babadxxfdxxf|)(|)(|这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|所以 bababadxxfdxxfdxxf|)(|)(|)(|即|babadxxfdxxf|)(|)(|性质性质 6 设 M 及 m 分别是函数 f(x)在区间ab上的最大值及最小值 则 (ab)baabMdxxfabm)()()(证明 因为 m f(x)M 所以 bababaMdxdxxfmdx)(从而 baabMdxxfabm)()()(性质性质 7 (定积分中值定理定积分中值定理)如果函数 f(x)在闭区间ab上连续 则在积分区间ab上至少存在一个点 使下式成立 baabfdxxf)()(这个公式叫做积分中值公式 证明 由性质 6 baabMdxxfabm)()()(各项除以 ba 得高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室12 baMdxxfabm)(1再由连续函数的介值定理 在ab上至少存在一点 使 badxxfabf)(1)(于是两端乘以 ba 得中值公式 baabfdxxf)()(积分中值公式的几何解释 应注意 不论 ab 积分中值公式都成立 高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室13 5 2 微积分基本公式微积分基本公式 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动 在 t 时刻所经过的路程为 S(t)速度为 vv(t)S(t)(v(t)0)则在时间间隔T1 T2内物体所经过的路程 S 可表示为高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室14 及)()(12TSTSdttvTT)(21即 )()()(1221TSTSdttvTT 上式表明 速度函数 v(t)在区间T1 T2上的定积分等于 v(t)的原函数 S(t)在区间T1 T2上的增量 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数 设函数 f(x)在区间a b上连续 并且设 x 为a b上的一点我们把函数 f(x)在部分区间a x上的定积分 dxxfxa)(称为积分上限的函数 它是区间a b上的函数 记为(x)或(x)dxxfxa)(dttfxa)(定理定理 1 如果函数 f(x)在区间a b上连续 则函数 (x)dxxfxa)(在a b上具有导数 并且它的导数为 (x)(ax0 则同理可证(x)f(a)若 xb 取x0 证明函数xxdttfdtttfxF00)()()(在(0)内为单调增加函数 证明 故)()(0 xxfdtttfdxdx)()(0 xfdttfdxdx2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF200)()()()(xxdttfdttftxxf按假设 当 0tx 时 f(t)0(xt)f(t)0 所以 0)(0dttfx0)()(0dttftxx从而 F(x)0(x0)这就证明了 F(x)在(0)内为单调增加函数 例 7.求 21cos02limxdtextx 解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则 exxexdtexdtexxxtxxtx212sinlimlimlim222cos02cos1021cos0高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室19提示 设 则 xtdtex12)(xtdtexcos12)(cos xuxtexxedxduududxdxddtedxd222coscos1sin)sin()()(cos高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室20 5 3 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 一、换元积分法一、换元积分法 定理定理 假设函数 f(x)在区间a b上连续 函数 x(t)满足条件 (1)()a ()b (2)(t)在(或)上具有连续导数 且其值域不越出a b 则有 dtttfdxxfba)()()(这个公式叫做定积分的换元公式 证明 由假设知 f(x)在区间a b上是连续 因而是可积的 f(t)(t)在区间(或)上也是连续的 因而是可积的 假设 F(x)是 f(x)的一个原函数 则F(b)F(a)dxxfba)(高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室21 另一方面 因为F(t)F(t)(t)f(t)(t)所以 F(t)是 f(t)(t)的一个原函数 从而F()F()F(b)F(a)dtttf)()(因此 dtttfdxxfba)()()(例 1 计算(a0)adxxa022 解 20sin022coscos tdtatadxxataxa令 2022022)2cos1(2cosdttatdta 2202412sin212atta提示 dxa cos t 当 x0 时 t0 当 xa 时 tataaxacossin222222t 例 2 计算 xdxxsincos520 解 令 tcos x 则 xxdxdxxcoscossincos520520 6161 106105015costdttdtttx令提示 当 x0 时 t1 当时 t0 2x或 xxdxdxxcoscossincos520520高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室22 610cos612cos61cos6166206x 例 3 计算 053sinsindxxx 解 dxxxdxxx|cos|sinsinsin230053 2232023cossincossinxdxxxdxx 2232023sinsinsinsinxxdxxd 54)52(52sin52sin522252025xx提示|cos|sin)sin1(sinsinsin232353xxxxxx 在上|cos x|cos x 在上|cos x|cos x 2,0 ,2 例 4 计算 dxxx40122 解 3123121240)3(21221 122dtttdtttdxxxtx令 322)331()9327(2133121313tt提示 dxtdt 当 x0 时 t1 当 x4 时 t3 212tx 例 5 证明 若 f(x)在a a上连续且为偶函数 则 aaadxxfdxxf0)(2)(高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室23 证明 因为dxxfdxxfdxxfaaaa)()()(00而 aaatxadxxfdttfdttfdxxf0000)()()()(令所以 aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(aaaadxxfdxxfdxxfxf00)(2)(2)()(讨论 若 f(x)在a a上连续且为奇函数 问？aadxxf)(提示 若 f(x)为奇函数 则 f(x)f(x)0 从而 0)()()(0aaadxxfxfdxxf 例 6 若 f(x)在0 1上连续 证明 (1)2020)(cos)(sindxxfdxxf (2)00)(sin2)(sindxxfdxxxf 证明(1)令 则tx2 dttfdxxf)2sin()(sin0220 2020)(cos)2sin(dxxfdttf高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室24 (2)令 xt 则 00)sin()()(sindttftdxxxf 00)(sin)()sin()(dttftdttft 00)(sin)(sindtttfdttf 00)(sin)(sindxxxfdxxf所以 00)(sin2)(sindxxfdxxxf 例 7 设函数 计算01 cos110 )(2xxxxexfx41)2(dxxf 解 设 x2t 则 200121412cos11)()2(dttedttdttfdxxft 212121tan212tan420012eett提示 设 x2t 则 dxdt 当 x1 时 t1 当 x4 时 t2 二、分部积分法二、分部积分法 设函数 u(x)、v(x)在区间a b上具有连续导数 u(x)、v(x)由(uv)uv u v得 u vu vuv 式两端在区间a b上积分得 或vdxuuvdxvubababavduuvudvbababa高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室25这就是定积分的分部积分公式分部积分过程 vdxuuvvduuvudvdxvubabababababa 例 1 计算 xdxarcsin210 解 xdxarcsin210 xxdxxarcsinarcsin210210 dxxx22101621 )1(11211222210 xdx 2102112x12312 例 2 计算 10dxex 解 令 则tx 10102tdtedxetx 102ttde 101 0 2 2dtetett 2 221 0 tee高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室26 例 3 设 证明20sinxdxInn (1)当 n 为正偶数时 22143231 nnnnIn (2)当 n 为大于 1 的正奇数时 3254231 nnnnIn 证明 20sinxdxInn201cossinxxdn 2012 0 1sincossincosxxdxxnn 2022sincos)1(xdxxnn202)sin(sin)1(dxxxnnn 20202sin)1(sin)1(xdxnxdxnnn (n1)I n 2(n1)I n 由此得 21nnInnI 02214342522232212ImmmmmmIm 112325432421222122ImmmmmmIm 而 2200dxI1sin201xdxI因此 22143425222322122 mmmmmmIm高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室27 32543242122212212 mmmmmmIm 例 3 设(n 为正整数)证明20sinxdxInn 22143425222322122 mmmmmmIm 32543242122212212 mmmmmmIm 证明 20sinxdxInn201cossinxxdn 20222 0 1sincos)1(sincosxdxxnxxnn 202)sin(sin)1(dxxxnnn 20202sin)1(sin)1(xdxnxdxnnn (n1)I n 2(n1)I n 由此得 21nnInnI 02214342522232212ImmmmmmIm 112325432421222122ImmmmmmIm 特别地 2200dxI1sin201xdxI高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室28因此 22143425222322122 mmmmmmIm 32543242122212212 mmmmmmIm高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室29 5 4 反常积分反常积分 一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分 定义定义 1 设函数 f(x)在区间a)上连续 取 ba 如果极限 dxxfbab)(lim存在 则称此极限为函数 f(x)在无穷区间a)上的反常积分 记作 即dxxfa)(dxxfdxxfbaba)(lim)(高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室30这时也称反常积分收敛dxxfa)(如果上述极限不存在 函数 f(x)在无穷区间a)上的反常积分就没有意义 此时dxxfa)(称反常积分发散 dxxfa)(类似地 设函数 f(x)在区间(b 上连续 如果极限(a0)0dttept 解 0001ptptpttdepdttedtte 011dteptepptpt 0211ptpteptep 2221111limppeptepptptt提示 01limlimlimpttpttpttpeette 例 3 讨论反常积分(a0)的敛散性 dxxpa1 解 当 p1 时 dxxpa1dxxa1 lnax 当 p1 时 11111 1paxpdxxpappa高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室33 因此 当 p1 时 此反常积分收敛 其值为 当 p1 时 此反常积分发散 11pap 二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分 定义定义 2 设函数 f(x)在区间(a b上连续 而在点 a 的右邻域内无界 取0 如果极限dxxfbtat)(lim存在 则称此极限为函数 f(x)在(a b上的反常积分 仍然记作 即dxxfba)(dxxfdxxfbtatba)(lim)(这时也称反常积分收敛 dxxfba)(如果上述极限不存在 就称反常积分发散 dxxfba)(类似地 设函数 f(x)在区间a b)上连续 而在点 b 的左邻域内无界 取0 如果极限dxxftabt)(lim存在 则称此极限为函数 f(x)在a b)上的反常积分 仍然记作 即dxxfba)(dxxfdxxftabtba)(lim)(这时也称反常积分收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分发散 dxxfba)(dxxfba)(设函数 f(x)在区间a b上除点 c(acb)外连续 而在点 c 的邻域内无界 如果两个反常积分与dxxfca)(dxxfbc)(高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室34都收敛 则定义 dxxfdxxfdxxfbccaba)()()(否则 就称反常积分发散 dxxfba)(瑕点 如果函数 f(x)在点 a 的任一邻域内都无界 那么点 a 称为函数 f(x)的瑕点 也称为无界 定义定义 2 设函数 f(x)在区间(a b上连续 点 a 为 f(x)的瑕点 函数 f(x)在(a b上的反常积分定义为 dxxfdxxfbtatba)(lim)(在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散 类似地函数 f(x)在a b)(b 为瑕点)上的反常积分定义为 dxxfdxxftabtba)(lim)(函数 f(x)在a c)(c b(c 为瑕点)上的反常积分定义为 dxxfdxxfdxxfbtcttactba)(lim)(lim)(反常积分的计算 如果 F(x)为 f(x)的原函数 则有 btatbtatbaxFdxxfdxxf)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(xFbFtFbFaxat高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室35可采用如下简记形式 )(lim)()()(xFbFxFdxxfaxbaba类似地 有 )()(lim)()(aFxFxFdxxfbxbaba当 a 为瑕点时)(lim)()()(xFbFxFdxxfaxbaba当 b 为瑕点时)()(lim)()(aFxFxFdxxfbxbaba当 c(acb)为瑕点时 )(lim)()()(lim)()()(xFbFaFxFdxxfdxxfdxxfcxcxbccaba 例 4 计算反常积分 adxxa0221 解 因为 所以点 a 为被积函数的瑕点 221limxaax aaaxdxxa 0 022arcsin120arcsinlimaxax 例 5 讨论反常积分的收敛性 1121dxx 解 函数在区间1 1上除 x0 外连续 且 21x201limxx 由于 1)1(lim1100 1012xxdxxx高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室36即反常积分发散 所以反常积分发散 0121dxx1121dxx 例 6 讨论反常积分的敛散性 baqaxdx)(解 当 q1 时 bababaqaxaxdxaxdx )ln()(当 q1 时 baqbaqaxqaxdx 1)(11)(当 q1 时 qbaqbaqabqaxqaxdx1 1)(11)(11)(因此 当 q1 时 此反常积分收敛 其值为 当 q1 时 此反常积分发散 qabq1)(11高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室37高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室38高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室39高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室40高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室41