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第四章 常微分方程41 基本概念和一阶微分方程甲 内容要点 一基本概念 1常微分方程 含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。 2微分方程的阶 微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3微分方程的解、通解和特解 满足微分方程的函数称为微分方程的解； 通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解； 通解有时也称为一般解但不一定是全部解； 不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。 4微分方程的初始条件 要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。 5积分曲线和积分曲线族 微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 6线性微分方程 如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。 二变量可分离方程及其推广 1变量可分离的方程 （1）方程形式： 通解 （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式： 通解 2变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 令， 则 （2） 令， 则 （3） 当情形，先求出的解 令， 则属于齐次方程情形 当情形， 令 则 令， 则 属于变量可分离方程情形。 三一阶线性方程及其推广 1一阶线性齐次方程 它也是变量可分离方程，通解公式，（为任意常数） 2一阶线性非齐次方程 用常数变易法可求出通解公式 令 代入方程求出 则得 3贝努利方程 令 把原方程化为 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4方程： 可化为 以为自变量，为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 四全微分方程及其推广（数学一） 1全微分方程 ，满足 通解：， 其中满足 求的常用方法。 第一种：凑全微分法 把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）； 第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关） 第三种：不定积分法 由得 对求导， 得， 求出积分后求出 2全微分方程的推广（约当因子法） 设不是全微分方程。 不满足 但是存在 使得为全微分方程， 也即满足 则称为约当因子， 按全微分方程解法仍可求出 通解。 这种情形，求约当因子是关键。乙 典型例题5432考研论坛（）友情提供下载 一变量可分离方程及其推广 例1求下列微分方程的通解。 （1） （2） 例2求下列微分方程的通解。 （1） （2） （3） （4） 解：（1）令，则，原方程化为 ， （注：） （2）； 令，则 ， （3），令，则 ， （4）令，则， 例3求微分方程的通解。 例4求微分方程 例5求微分方程的通解。 例6求微分方程的通解。 例7求微分方程 例8求微分方程的通解 二一阶线性方程及其推广 例求下列微分方程的通解 （1） （2） （3） （4） 解：（1）直接用常数变易法 对应的齐次线性方程为，通解 令非齐次线性方程的通解为 代入方程得 ， 故所求方程的通解为 （2）直接用通解公式（先化标准形式） ， 通解 （3）此题不是一阶线性方程，但把看作未知函数，看作自变量， 所得微分方程 即 是一阶线性方程 ， （4）此题把看作未知函数，看作自变量所得微分方程为 ， 42 特殊的高阶微分方程（数学四不要）甲 内容要点 一可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式通解令，则，原方程一阶方程，设其解为，即，则原方程的通解为。令，把看作的函数，则把，的表达式代入原方程，得一阶方程，设其解为即，则原方程的通解为。 二线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。 二阶齐次线性方程 （1） 二阶非齐次线性方程 （2） 1若，为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合（，为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当（为常数），也即与线性无关时，则方程的通解为 2若，为二阶非齐次线性方程的两个特解，则为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。 3若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则为此二阶非齐次线性方程的一个特解。 4若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的通解（，为独立的任意常数）则是此二阶非齐次线性方程的通解。 5设与分别是与 的特解，则是 的特解。 三二阶和某些高阶常系数齐次线性方程 1二阶常系数齐次线性方程 其中，为常数， 特征方程 特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式 （1）当，特征方程有两个不同的实根， 则方程的通解为 （2）当，特征方程有二重根 则方程的通解为 （3）当，特征方程有共轭复根， 则方程的通解为 2阶常系数齐次线性方程 其中为常数。 相应的特征方程 特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。 （1）若特征方程有个不同的实根 则方程通解 （2）若为特征方程的重实根 则方程通解中含有 （3）若为特征方程的重共轭复根 则方程通解中含有 由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。 四二阶常系数非齐次线性方程 方程： 其中为常数 通解： 其中为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求？ 我们根据的形式，先确定特解的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解，常见的的形式和相对应地的形式如下： 1，其中为次多项式 （1）若不是特征根，则令 其中为待定系数。 （2）若是特征方程的单根，则令 （3）若是特征方程的重根，则令 2其中为次多项式，为实常数 （1）若不是特征根，则令 （2）若是特征方程单根，则令 （3）若是特征方程的重根，则令 3 或 其中为次多项式，皆为实常数 （1）若不是特征根，则令 其中 为待定系数 为待定系数 （2）若是特征根，则令 五欧拉方程（数学一） ，其中为常数称为阶欧拉方程。令代入方程，变为是自变量，是未知函数的微分方程，一定是常系数齐次线性微分方程。 注意下面变换公式： ， ， ， ， 。乙 典型例题 一可降阶的高阶微分方程 例1求下列微分方程的通解 （1） （2） 解：（1）令，则，原方程化为 属于贝努里方程 再令 则有 通解： （2）令，则，原方程化为 属于一阶线性方程 例2求下列微分方程的通解 （1） （2） 二常系数齐次线性微分方程 例1求下列微分方程的通解。 （1） （2） （3） （4） 解：（1）特征方程 ，即 特征根 ， 微分方程通解 （2）特征方程 ，即 特征根 二重根 微分方程通解 （3）特征方程 特征根 微分方程通解 （4） 特征方程 即 特征根 二重根， 微分方程通解 例2设方程，求满足，的特解。 三二阶常系数非齐次线性微分方程 例1求微分方程的一个特解。 解：这是二阶线性常系数非齐次方程，其自由项呈的形状，其中，。而该微分方程的特征方程是： 特征根是，。由于不是特征根，故设特解为 为了确定和，把代入原方程，经化简，可得 令此式两端同次幂系数相等，有 由此解得，因此特解为 例2求微分方程的通解。 答案：最后得原方程通解为 例3求的通解。 答案：因此原方程的通解为 例4求方程的通解。 答案：原方程的通解为 例5求的通解。 答案：原方程的通解为 例6求方程的通解。 答案：原方程的通解为 例7求微分方程的通解。 答案：原方程的通解为：。第五章 向量代数与空间解析几何（数学一）51 向量代数甲 内容要点 一空间直角坐标系 从空间某定点作三条互相垂直的数轴，都以为原点，有相同的长度单位，分别称为轴，轴，轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称为坐标原点。 1两点间距离 设点，为空间两点，则这两点间的距离可以表示为 2中点公式 设为，联线的中点，则 二向量的概念 1向量 既有大小又有方向的量称为向量。方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点到另一点的顺序关系，而两点间又有一个距离。常用有向线段表示向量。点叫起点，点叫终点，向量的长度叫做模，记为。 模为的向量称为单位向量。 2向量的坐标表示 若将向量的始点放在坐标原点，记其终点，且点在给定坐标系中的坐标为。记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为，则向量可以表示为 称之为向量的坐标表达式，也可以表示为 称分别为向量在轴，轴，轴上的分量。称分别为向量在轴，轴，轴上的投影。 记与轴、轴、轴正向的夹角分别为，则 方向余弦间满足关系 描述了向量的方向，常称它们为向量的方向角。的模可以表示为 与向量同方向的单位向量可以表示为。与向量平行的单位向量可以表示为。 向量同方向上的单位向量常记为。 三向量的运算 1加法。 减法。 2数乘。（是常数） 向量的加、减和数乘运算统称线性运算。 3数量积。 其中为向量间夹角 为数量也称点乘。 表示向量在向量上的投影，即 4向量积也称为叉乘。 的方向按右手法则垂直于所在平面，且 是向量，。等于以为邻边的平行四边形的面积。 5混合积：定义，坐标公式 几何意义表示以为棱的平行大面体的体积。 四两向量间的关系 设 关系向量表示向量坐标表示间夹角与垂直与平行乙 典型例题 例设为两个非零向量，为非零常数，若向量垂直于向量，则等于（ ）。 （A） （B） （C） （D） 分析：所给向量为抽象向量，宜用向量运算公式。如果垂直于向量，因此应有 即 由于为非零向量，因而应有，故应选（B）。52 平面与直线甲 内容要点 一空间解析几何 1空间解析几何研究的基本问题 （1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程。 （2）已知坐标和间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。 2距离公式 空间两点与间的距离为 3定比分点公式 是的分点：，点的坐标为，则 当为中点时， 二平面及其方程 1法（线）向量，法（线）方向数。 与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成。法向量的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。 2点法式方程 已知平面过点，其法向量，则平面的方程为 或 其中 3一般式方程 其中不全为零。前的系数表示的法线方向数，是的法向量。 特别情形： ，表示通过原点的平面。 ，平行于轴的平面。 ，平行平面的平面。 表示平面。 4三点式方程 设，三点不在一条直线上，则通过的平面方程为 5平面束 设直线的一般式方程为，则通过的所有平面方程为，其中。 6有关平面的问题 两平面为 与间夹角垂直条件平行条件重合条件 设平面的方程为，而点为平面外的一点，则到平面的距离： 三直线及其方程 1方向向量、方向数 与直线平行的非零向量，称为直线的方向向量，方向向量的坐标称为方向数。 2直线的标准方程（对称式方程）。 其中为直线上的点，为直线的方向数。 3参数式方程 为参变量。 4两点式 设，为不同的两点，则通过和的直线方程为 5一般式方程（作为两平面的交线）： ，方向向量 6有关直线的问题 两直线为 与间夹角垂直条件平行条件 四平面与直线相互关系 平面的方程为： 直线的方程为：与间夹角（）与垂直条件与平行条件与重合条件上有一点在上乙 典型例题5432考研论坛（）友情提供下载 例1已知直线，若平面过点且与垂直，求平面的方程。 分析：由题意可知，直线的方向向量必定平行于所求平面的法线向量，因此可取 利用平面的点法式方程可知 即 为所求平面方程。 或写为一般式方程。 例2设平面过点且与平面平行，则平面的方程为_。 例3通过点且与直线：， 垂直的平面方程为_。 例4求点到平面的距离。 例5试确定过，及三点的平面方程。 例6求通过坐标原点且垂直于直线的平面方程。 例7求通过点且垂直于两平面：和的平面方程。 53 曲面与空间曲线甲 内容要点 一曲面方程 1一般方程 2参数方程 （平面区域） 二空间曲线方程 1一般方程 2参数方程 三常见的曲面方程 1球面方程 设是球心，是半径，是球面上任意一点，则，即 2旋转曲面的方程 （1）设是平面上一条曲线，其方程是绕轴旋转得到旋转曲面，设是旋转面上任一点，由点旋转而来（点是圆心）。 由得旋转面方程是 或 由参数方程，得旋转面的参数方程 ， （2）求空间曲线绕轴一周得旋转曲面的方程 第一步：从上面联立方程解出， 第二步：旋转曲面方程为 绕轴一周或绕轴一周的旋转曲面方程类似地处理。 5二次曲面曲面名称方程曲面名称方程椭球面旋转抛物面椭圆抛物面双曲抛物面单叶双曲面双叶双曲面二次锥面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面 四空间曲线在坐标平面上的投影 1曲线的方程 曲线在平面上的投影 先从曲线的方程中消去得到，它表示曲线为准线，母线平行于轴的柱面方程，那么 就是在平面上的投影曲线方程。 曲线在平面上投影或在平面上投影类似地处理 2曲线的方程 则曲线在平面上的投影曲线方程为 曲线在平面上投影曲线方程为 曲线在平面上投影曲线方程为第六章 多元函数微分学61 多元函数的概念、极限与连续性甲 内容要点 一多元函数的概念 1二元函数的定义及其几何意义 设是平面上的一个点集，如果对每个点，按照某一对应规则，变量都有一个值与之对应，则称是变量，的二元函数，记以，称为定义域。 二元函数的图形为空间一卦曲面，它在平面上的投影区域就是定义域。 例如 ， 二元函数的图形为以原点为球心，半径为的上半球面，其定义域就是平面上以原点为圆心，半径为的闭圆。 2三元函数与元函数 空间一个点集称为三元函数 称为元函数 它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。 二二元函数的极限 设在点的邻域内有定义，如果对任意，存在，只要，就有 则记以或 称当趋于时，的极限存在，极限值为，否则，称为极限不存在。 值得注意：这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。 三二元函数的连续性 1二元函数连续的概念 若 则称在点处连续。 若在区域内每一点皆连续，则称在内连续。 2闭区域上连续函数的性质 定理1（有界性定理）设在闭区域上连续，则在上一定有界. 定理2（最大值最小值定理）设在闭区域上连续，则在上一定有最大值和最小值 （最大值），（最小值） 定理3（介值定理）设在闭区域上连续，为最大值，为最小值。若，则存在，使得乙 典型例题 一求二元函数的定义域 例1求函数的定义域 解：要求 即； 又要求 即 或 综合上述要求得定义域 或 例2求函数的定义域 二有关二元复合函数 例1设，求 解：设，解出， 代入所给函数化简 故 例2设，求 例3设，当时，求函数和 例4设，当时，求函数和。 三有关二元函数的极限 例1讨论 （常数） 解：原式 而 又 原式 例2讨论 例3讨论 例4讨论 62 多元函数的偏导数与全微分甲 内容要点 一偏导数 1定义 设二元函数 若存在，则记以，或 或称为在点处关于的偏导数。 同理，若存在，则记以，或 或称为在点处关于的偏导数。 类似地，设 即 即 即 2二元函数偏导数的几何意义 表示曲面与平面的截线在点处的切线关于轴的斜率；表示曲面与平面的截线在点处的切线关于轴的斜率 3高阶偏导数 设的偏导数和仍是二元函数，那么它们的偏导数就称为的二阶偏导数，共有四种。 当，在处为连续则 也就是说在这种情况下混合偏导数与求导的次序无关。 类似地可以讨论二元函数的三阶及阶偏导数。 也可以讨论元函数的高阶偏导数。 二全微分 1二元函数的可微性与全微分的定义 设在点处有全增量 若 其中不依赖于只与有关， 则称在处可微，而称为在处的全微分，记以或 2二元函数的全微分公式 当在处可微时 则 这里规定自变量微分， 一般地 3二元函数全微分的几何意义 二元函数在点处的全微分在几何上表示曲面在点处切平面上的点的竖坐标的增量。 4元函数的全微分公式 类似地可以讨论三元函数和元函数的可微和全微分概念，在可微情况下 三偏导数的连续性、函数的可微性，偏导数的存在性与函数的连续性之间的关系5432考研论坛（）友情提供下载 设，则连续存在 四方向导数与梯度（数学一） 1平面情形 在平面上过点沿方向的方向导数 在点处的梯度为 而方向导数与梯度的关系为 由此可见，当的方向与的方向一致时，为最大，这时等于又方向导数与偏导数的关系为 这相当用两向量的点乘的坐标公式 2空间情形（略）63 多元函数微分法甲 内容要点一复合函数微分法锁链公式 模型 1， ； 模型2， 模型3， 模型4， 还有其它模型可以类似处理二隐函数微分法 设 （1）确定则； （2）确定则； （3）确定则；乙 典型例题 例1设有连续的一阶偏导数，又函数及分别由下列两式确定 和，求 答案： 例2设，是由和所确定的函数，其中具有一阶连续导数，具有一阶连续偏导数，求 答案：64 多元函数的极值和最值甲 内容要点 一求的极值 第一步 求出驻点 第二步 令 若 则不是极值 若 则不能确定（需从极值定义出发讨论） 若 则是极值 进一步 若 则为极小值 若 则为极大值 二求多元函数条件极值的拉格朗日乘子法 求的极值 约束条件 作 求出是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性。这种方法的关键是解方程组的有关技巧。 三多元函数的最值问题乙 曲型例题 一普通极值问题 例1求函数的极值 解：， 要求，得 故知，由此解得三个驻点 ， 又， 在点处 ， 又， 是极小值点 极小值 在点处 ，。 ，也是极小值点 极小值 在点处 ，。 不能判定。 这时取，（其中为充分小的正数）则而取时，由此可见不是极值点。 例2求函数的极值 二条件极值问题（在强化班再讨论）第七章 多元函数积分学71 二重积分甲 内容要点一二重积分的概念与性质 1定义 设是定义在有界闭区域上的有界函数，如果对任意分割为个小区域对小区域上任意取一点都有 存在，（其中又表示为小区域的面积，为小区域的直径，而） 则称这个极限值为在区域上的二重积分 记以，这时就称在上可积。 如果在上是有限片上的连续函数，则在上是可积的。 2几何意义 当为闭区域上的连续函数，且，则二重积分表示以曲面为顶，侧面以的边界曲线为准线，母线平行于轴的曲顶柱体的体积。 当封闭曲面它在平面上的投影区域为，上半曲面方程为，下半曲面方程为，则封闭曲面围成空间区域的体积为 3基本性质 （1）（为常数） （2） （3） 其中，除公共边界外，与不重叠。 （4）若，则 （5）若，则 其中为区域的面积。 （6） （7）积分中值定理 设在有界闭区域上连续，为的面积，则存在，使得 我们也把称为在上的积分平均值。 4对称区域上奇偶函数的积分性质 定理1设在有界闭区域上连续，若关于轴对称，则 其中为在轴的上半平面部分。 定理2设在有界闭区域上连续，若关于轴对称，则 其中为在轴的右半平面部分。 定理3设在有界闭区域上连续，若关于原点对称，则 其中为的上半平面或右半平面。 定理4设在有界闭区域上连续，若关于直线对称，则 若，分别为在的上方与下方部分，则 二在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题 模型：设有界闭区域 其中，在上连续，在上连续。 则 模型：设有界闭区域 其中，在上连续，在上连续。 则 关于二重积分的计算主要根据模型或模型把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域，如果既不符合模型中关于的要求，又不符合模型中关于的要求，那么就需要把分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型或模型中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。 在直角坐标系中，两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域，然后根据再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。三在极坐标系中化二重积分为累次积分 在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定对进行积分，然后再对进行积分，由于区域的不同类型，也有几种常用的模型。 模型：设有界闭区域 其中，在上连续，在上连续，则 模型：设有界闭区域 其中在上连续，在上连续，则 模型：设有界闭区域 其中在上连续，在上连续，则 模型：设有界闭区域 其中在上连续，在上连续，则 四二重积分在几何上的应用 1空间物体的体积 其中为闭曲面在平面上投影区域为上半曲面，为下半曲面。 2空间曲面的面积 其中为曲面在平面上投影，曲面的方程乙 典型例题一直角坐标系中二重积分的计算 例1计算，其中是由曲线，所围区域。 解： 例2计算其中是以，和为边的平行四边形区域。 例3计算其中是由摆线，的第一拱和轴所围区域。 例4计算 例5计算 例6计算，其中由，和轴所围区域。 例7计算其中由和所围区域。二极坐标系中二重积分的计算 例1计算其中由与轴围成上半圆区域。 解：在极坐标系里， 三交换积分顺序 例1交换的积分顺序 解：原式 其中由，和所围的区域。 按另一积分顺序把二重积分化累次积分 原式 例2交换的积分顺序 例3交换的积分顺序 例4交换的积分顺序 例5交换的积分顺序 四二重积分在几何上的应用 1求空间物体的体积 例1求两个底半径为的正交圆柱面所围立体的体积 答案： 例2求球面和圆柱面所围（包含原点那一部分）的体积 解：根据对称性可知 其中为平面上与轴所围平面区域用极坐标系进行计算 例3求曲面，所围立体的体积。 72 三重积分（数学一）甲 内容要点一三重积分的概念与性质 1定义 设是定义在空间有界闭区域上的有界函数，如果对任意分割为个小区域且对小区域上任意取一点都有存在（其中又表示为小区域的体积，为小区域的直径，而）则称这个极限值为在空间区域上的三重积分，记以。这时就称函数在上是可积的。 上的连续函数一定是可积的。 2基本性质 （1）（为常数） （2） （3） 其中，除公共边界外，与不重叠 （4）若，则 （5）若，则 其中V为区域的体积 （6） （7）积分中值定理 设在空间有界闭区域上连续，为的体积，则存在，使得 我们也把称为在上的积分平均值。 3对称区域上奇偶函数的积