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写在教学前面话——高等数学学习建议
1、一方面，要花点时间全面浏览一下教材，理解一下高等数学这门课程重要有哪几块内容构成，每一块重要讲些什么东西。你们不是初学者，相信对高等数学不会十分陌生，即便是有些内容没有学过
2、其二，要听好课，最佳不要缺课，你自学能力再强，我看还是听教师讲一遍效果好，有经验教师会告诉你事情来龙去脉，重点在哪，难点如何解决等等。断断续续听课，高兴就来，不高兴就不来，听课内容不持续，麻烦和问题会越积越多；
3、环绕重点多做习题。数学练习真太多太多，要环绕重点多做些习题，重点内容所配备习题往往包括了几种知识点，技巧性也比较高，这些习题要多做些，力求达到熟能生巧目；
4、对某些暂时搞不清问题，不要急于求成一次就把它弄明白，少数问题搞不懂，少量题目不会做，摆一摆放一放，不要紧，学到背面了回过头来，你会什么都明白了；
5、尚有一点，你要善于总结（思维导图），一种章节、一种单元学完了，你要用自己习惯方式做好总结，重要内容有哪些？重要公式定理？重要计算办法等等。
微积分章节授课顺序：
1、 第一章 函数、极限与持续
2、 第九章 无穷级数
3、 第二章 导数与微分
4、 第三章 导数应用
5、 第六章 多元函数微分学
6、 第四章 不定积分
7、 第八章 微分方程
8、 第五章 定积分及其应用
9、 第七章 二重积分
第一章 函数、极限和持续
第一节 函数
一、 函数概念
1、函数概念：
（1）函数两要素：和
（2）判断两个函数与否为同一种函数办法：只要两个函数定义域相似，相应法则也相似，那么这两个函数就是同一种函数。
2、单值函数和多值函数
单值函数特点：一一相应
3、显函数和隐函数
（1）形如函数称为显函数。
（2）由方程所拟定函数称为一种隐函数。有些微分方程通解就是隐函数。
（3）隐函数有可以显化，如（多值函数）
而有些隐函数不能显化，如
4、分段函数：在自变量不同取值范畴内，函数不能用一种表达式表达，而是要用两个或者两个以上表达式表达。这样函数称为分段函数。
5、函数定义域普通是指使函数表达式故意义自变量取值范畴。求函数定义域时，普通要注意：
（1）如果，规定
（2）如果（为正整数），规定
（3）如果，规定
（4）如果，规定
（5）分段函数定义域：是将分段函数所有取值区间做并集。
6、函数表达法：表达函数通惯用公式法辅之以图示法（数形结合）。
例题精讲(P4-P5)
1、求下列函数定义域：
（1）（历年真题）
（2）（历年真题）
（3）
（4）
二、 函数几种常用性态（有界性、单调性、奇偶性、周期性）
1、有界性
（1）有上界：满足（存在常数M）上不去
（2）有下界：满足（存在常数m）下不来
（3）有界：满足（存在正常数M）
事实上：，有界即既有上界又有下界。从图像上观测，有界函数图形会被两条平行于x轴直线夹在中间。
（4）无界
（5）惯用有界函数： ， ， ，
，
2、单调性
（1）概念
（2）讨论函数单调性和有界性都不能离开函数定义区间。
3、奇偶性
（1）概念：注意奇偶函数定义域须关于原点对称
（2）判断奇函数办法：或者
（3）奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇+偶=非奇非偶
奇*奇=偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇
（4）非奇非偶函数，即对于函数，存在，有且
4、周期性
（1）概念
（2）最小正周期都是，最小正周期都是。
、最小正周期都是
例题精讲
2、函数区间在（ ）有界（历年真题）
A．（0,1） B.（0，） C. （1，） D．（1,2）
3、判断下列函数奇偶性：
（1） （2）
（3） （4）
4、讨论下列函数周期性，如果是周期函数，求出其周期。
（1） （2） （3）
三、反函数
（1）概念
（2）单调函数一定存在反函数，且原函数和反函数单调性一致。
（3）原函数和反函数图形关于直线对称。
（4）反函数求法。
例题精讲
5、求函数 反函数并指出其定义域。
四、基本初等函数
（1）规定纯熟掌握基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）表达式、定义域、值域、图像（要记忆）及4种性态。（P9-P11）
（2）常用幂函数图形：、、、、、。
（3）掌握指数函数、对数函数、四类三角函数、图形。
（4）掌握反三角函数定义域，主值区间和图形。依照图形记忆：
（5）掌握三角函数惯用公式。
五、复合函数
（1）概念
（2）会求复合函数
（2）能对的分析复合函数复合过程（前提：纯熟掌握各基本初等函数表达式）
六、初等函数
（1）概念
（2）普通说来，分段函数不是初等函数。
例题精讲
6、已知函数定义域是，求下列函数定义域：
（1） （2） （3） （4）
7、填空题：
（1）设定义域为，则函数定义域为_____（历年真题）
（2）设定义域为，则定义域是_________
（3）设定义域为，则定义域是_________
（4）设，则定义域是_________
（5）设，则_________
8、已知，试求
9、引入恰当中间变量，将下列函数分解为几种简朴函数复合：
（1） （2） （3）
10、设函数
（1）做函数图形，并写出其定义域；
（2）求复合函数。
11、设函数 ， ，求。
12、设，，
求。
第二节 极限概念与运算
一、 数列极限
1、如果数列满足，则称数列收敛。否则称数列发散。
2、如果数列有一种子列极限不存在，或者有两个子列极限存在但不相等，则数列发散。如数列
二、函数极限
1、
2、
3、极限值与函数值与否存在无关。
例题精讲（P21）
1、函数在处（ ）．
A.有定义且有极限 B.无定义但有极限
C.有定义但无极限 D.无定义且无极限
2、，则 ___________， ___________。
3、设函数 当为什么值时，在点处极限存在？
4、若存在，且，求。
5、设，求与值。
三、无穷小和无穷大
1、无穷小:极限为0（绝对值无限变小）变量。记作：（鉴定无穷小办法）.
特例：常数0是无穷小。
2、无穷大：绝对值无限变大变量。记作：.
3、无穷小性质
在自变量同一变化过程中，
（1） 有限个无穷小和、差、积以及常数和无穷小积仍为无穷小。
（2） 有界函数和无穷小积仍为无穷小。
（3）若是无穷大，则是无穷小；若是无穷小，则是无穷大。（鉴定无穷大办法）
4、无穷小比较
设和都是在自变量同一变化过程中无穷小，且
（1） 如果，则称是比高阶无穷小，记作
（2） 如果，则称是比低阶无穷小。
（3）如果，则称与是同阶无穷小。
（4）如果，则称是与是等价无穷小，记作～。
5、常用等价无穷小（记忆）：当时，
～～～～～～
～ ， ～
例题精讲（P30）
6、当时，是（ ）（历年真题）
A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小 D.等价无穷小
7、当时，下列与是等价无穷小量是（ ）（历年真题）
A． B. C. D.
8、当时，下列结论不对的是（ ）（历年真题）
A．～ B. ～ C. ～ D. ～
9、下列函数在指定变化过程中，（ ）是无穷小量。
A. B. C. D.
10、当时，与等价无穷小是（ ）
A. B. C. D.
11、当时，与是等价无穷小，则_________。
四、极限计算办法
1、函数极限计算公式和法则同样合用于数列极限计算。
2、基本成果：
（1） （2）
（3） （4）
3、初等函数持续性：如果初等函数在点有定义，则。
4、极限四则运算法则（略）
基本题型I：求，且在点有定义，则。
基本题型Ⅱ：求，而在点无定义，通过因式分解、有理化或者通分等恒等变换化简后，回到基本题型I。
基本题型Ⅲ：求，分子分母同步除以最高次方。
可以记忆公式：当,为非负整数时，有
5、两个重要极限
重要极限Ⅰ ：
普通形式：（须满足）
重要极限Ⅱ ：
普通形式：（须满足）
（须满足）
可以记忆公式：
6、有界函数与无穷小之积仍为无穷小
（1）记忆几种有界函数： ， ， ，
，
（2）举例：求
解：，又， 原式。
（3）注意如下四个极限：
7、等价无穷小替代原理
（1）记忆常用等价无穷小
当时， ～～～～～～
～ ， ～
（2）注意等价无穷小普通形式
（3）在自变量同一变化过程中，都是无穷小，且～，～，如果存在，那么 =
注意：相乘除无穷小可以用各自等价无穷小替代，
相加减无穷小不能用各自等价无穷小替代
8、极限存在准则
（1）夹逼准则
（2）单调有界收敛准则
9、洛比达法则
（1）型未定式
设函数和满足：①，②在某个去心领域内和均可导，且③（A可为有限常数也可为）
则有
（2）型未定式
设函数和满足：①，②在某个去心领域内和均可导，且③（A可为有限常数也可为）
则有
（3）如果题目须不止一次使用洛必达法则，那么每次使用法则之前都需要判断与否为型或型
（4）注意洛必达法则与其她极限运算法则结合起来使用
（5）其她可以化为型或型未定式
①未定式型可以化为型或型
②未定式型可通过通分等恒等变换化为型或型
③未定式型可以运用先化为型，最后化为型或型
例题精讲
12、（ ）
A． B. C. D.
13、（ ）
A．-1 B. C. 1 D.
14、，则（ ）
A． B. C. D.
15、如果都不存在，则（ ）
A．一定存在 B. 一定不存在 C. 0 D. 不能拟定
16、如果，则_________
17、_________
18、_________（历年真题）
19、_________（历年真题）
计算题：
20、 21、 22、
23、 24、 25、
26、 27、
28、 29、 39、
31、 32、
33、 34、 35、
36、 37、 38、
39、 40、 41、
42、 43、
44、 45、 46、
47、 48、 49、
50、 51、 52、
53、 54、
55、（历年真题） 56、 57、
58、 59、 60、
61、（历年真题） 62、 63、
64、 65、 66、
67、运用夹逼准则证明：。
68、运用夹逼准则求：。
第三节 函数持续性
一、函数持续概念和间断点分类
1、函数在点处持续：()
2、函数在点处持续直观意义：当自变量变化量很微小时，函数值变化量也很微小。
3、函数在点处持续必要同步满足三个条件（判断持续办法1）：
（1）函数在点（某一邻域内）有定义；
（2）存在；
（3）。
如果上述条件有一种不满足，则函数在点处间断，点称为函数间断点。
4、左、右持续
（1）在点处左持续 ：
（2）在点处右持续 ：
在点处持续在点处既左持续也右持续。（判断持续办法2）
5、间断点分类：设点为函数间断点，
（1）第一类间断点： 都存在，
①可去间断点：
② 跳跃间断点：
（2）第二类间断点：不存在。
特别，当 ，则点称为无穷间断点
（3） 初等函数间断点往往是无定义点
（4） 分段函数间断点往往是分段点，这些分段点与否为间断点要从持续性三个条件判断。（常考题型）
（5） 间断点分类核心在于对的计算函数左右极限
二、持续函数运算法则和初等函数持续性。
1、持续函数四则运算法则
2、复合函数持续性
设点为间断点，存在，且在点处持续，则
3、反函数持续性
4、初等函数持续性
（1）一切初等函数在其定义区间内都是持续。即如果初等函数在点有定义，一定有
（2）求初等函数持续区间就等同于求其定义区间。
三、闭区间上持续函数性质。
1、最大值最小值定理：如果函数在上持续，则在上一定有最大值和最小值。
2、介值定理：如果函数在上持续，且其最大值和最小值分别为和，则对于在和之间任意常数（）,则至少存在一点，使得 。
3、零点定理：如果函数在上持续，且，则至少存在一点，使得。
4、运用零点定理证明方程根存在性环节：
（1）构造一种函数，阐明在上持续；
（2）计算和，阐明；
（3）由以上条件依照零点定理可得结论。
例题精讲
1、函数，自变量有增量时，函数相应增量=（ ）
A. B. C. D.
2、函数在点处有定义是在点处持续（ ）
A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件
3、函数持续区间是（ ）
A. B. C. D.
4、设，则是（ ）
A.持续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.无穷间断点
5、设函数，则是（ ）（历年真题）
A．可去间断点 B. 跳跃间断点 C.无穷间断点 D.持续点
6、函数持续区间是_________。
7、如果函数 在点处持续，则_________。
8、设函数 是上持续函数，则_________。
9、函数在点处为第_________类间断点。
10、研究下列函数持续性，如果有间断点，指出其间断点类型
（1） （2）
（3） （4）
11、拟定值，使得函数 在处持续。
12、拟定值，使得函数 在处持续。
13、设分段函数
（1）取什么值时，是持续点；
（2）取什么值时，是间断点；
（3）当时，求函数持续区间。
14、=_________。
15、证明：方程至少有一种根介于1和2之间。
16、证明：方程至少有一种不大于1正根。
17、设函数在上持续，并且，证明至少存在一点，使得。
18、设函数和在上持续，且，试证：在内至少存在一点，使得。
19、设函数在内持续，且，则在上必有一点，使得
第九章 无穷级数
第一节 常数项级数概念和性质
一、 常数项级数概念
1、
称为级数通项，称为级数前n项(某些)和
2、如果，则称级数收敛于S；
如果不存在，则称级数发散。
3、由级数定义得出鉴定敛散性环节：（该办法仅合用于易求级数）
（1）先求；（2）再求
二、惯用级数公式
1、发散。
2、记忆几何级数
三、级数基本性质
1、如果和分别收敛于s和w,则级数也收敛，收敛于
如果收敛，发散，则级数一定发散
如果和均发散，则级数敛散性不拟定
2、和敛散性相似。
3、去掉、添加或者变化级数有限项后得到新级数与本来级数敛散性相似。
4、如果收敛，则
逆否命题：如果，则发散。
第二节 常数项级数概念和性质
一、正项级数审敛法（正项级数满足）
（一）比较审敛法
1、设正项级数和满足：
（1）如果收敛，则也收敛；（2）如果发散，则也发散。
2、大收敛则小收敛，。
3、使用比较审敛法判断级数敛散性办法
（1）预判：观测，依照记忆级数公式预判其敛散性；
（2）如果预判收敛，则，且收敛，依照大收敛则小收敛。
如果预判发散，则，且发散，依照小发散则大发散。
4、记忆惯用级数公式：P-级数
5、比较审敛法极限形式：设正项级数和，令
则当时，和同步收敛或者同步发散。
例题精讲
1、鉴定下列级数敛散性
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
（9）
（二）比值审敛法
1、设正项级数，令，则
（1）当时，收敛；（2）当或时，发散；
（3）当时，级数敛散性无法拟定。
2、当级数通项中普通具有之类表达式时，普通用比值鉴别法鉴定敛散性；当级数通项形如P-级数时，用比值鉴别法往往会得出，无法鉴定。
例题精讲
2、鉴定下列级数敛散性
（1） （2） （3） （4）
二、交错级数审敛法
1、交错级数形如：或者
2、莱布尼兹鉴别法
如果交错级数满足：（1） （2）
则级数收敛，且其和。
例题精讲
3、鉴定敛散性
三、 任意项级数审敛法
1、任意项级数中为任意实数。
2、鉴定定理1：如果级数收敛，则级数也收敛。
3、对于任意项级数，有
（1）如果级数收敛，则级数也收敛，此时称绝对收敛。
（2）如果级数发散，而级数收敛，此时称条件收敛。
4、鉴定定理2:设任意项级数，令，则
（1）当时，绝对收敛；（2）当或时， 发散。
从以上定理可知：对于任意项级数，如果用比值鉴别法鉴定发散，则一定发散。
5、任意项级数鉴定环节。
例题精讲
4、鉴定下列级数敛散性，如果收敛是绝对收敛还是条件收敛？
（1） （2） （2）
（4） （5）
5、P251历年真题
第三节 幂级数收敛半径和收敛域
一、 函数项级数概念
1、 （1）
任取带入（1），得到一种常数项级数：
（2）
① 如果收敛，则成为收敛点，所有收敛点集合成为收敛域；
② 如果发散，则成为发散点，所有发散点集合成为发散域；
③ 显然，收敛域U发散域=
2、举例 ：几何级数是定义在上函数项级数，当
收敛，当时发散。那么收敛域就是，在内，，称为和函数。
二、 幂级数
（一）幂级数概念
1、或者称为关于幂级数，事实上，
2、或者称为关于幂级数，事实上，
（二）幂级数收敛域和收敛半径
1、分析：对于幂级数，用比值审敛法讨论敛散性，使得收敛取值区间就是收敛区间，也就是收敛区间。
（1）当时，，因此是收敛点；
（2）当时，令，由比值审敛法
①如果，无论取何值均有，则收敛，此时收敛域为
②如果，无论取何值均有，则收敛，此时收敛
域仅为。
③如果，收敛必要有，即，得，此时收敛开区间为。而时敛散性须单独讨论，从而拟定收敛域开闭。
由以上分析可知，幂级数收敛域是一种以原点为中心，从到区间。定义，称为幂级数收敛半径。
2、求幂级数收敛半径和收敛域办法：
（1）计算
（2）①当时，，收敛域为
②当时，，收敛域为。
③当时，，此时收敛开区间为。而时敛散性须单独讨论，从而拟定收敛域开闭。
例题精讲
1、求幂级数收敛半径和收敛域
2、求幂级数收敛半径和收敛域
3、P256历年真题
第二章 导数与微分
第一节 导数概念
一、导数概念
1、函数在点导数： = ①
（1）表达函数相对于自变量在上平均变化率，
导数=表达函数在点处瞬时变化率。
（2）还可记作：，，
（3）导数定义不同形式： ①
② ③=
（4）函数在点左、右导数：
左导数： =
右导数： =
①函数在点可导左导数和右导数都存在且相等。
②左、右导数重要用于计算分段函数分界点导数。
2、设函数在内可导，则函数在内导（函）数：
= ②
（1）在内导数可记作：，，，
（2）在点导数就是它导函数在点处函数值：
（3）运用②式可以求某些简朴函数导数。
二、导数几何意义
1、导数几何意义：在点导数在几何上表达曲线在点
处切线斜率： ；
2、曲线在点处切线方程：
曲线在点处法线方程：
3、特别，①如果在点导数，那么曲线在点处切线方程为，曲线在点处法线方程为。
②如果在点导数，那么曲线在点处切线方程为，曲线在点处法线方程为。
三、函数可导性和持续性之间关系。
1、如果在点处可导，那么在点处持续。
反之，如果在点处持续，在点处却不一定可导。
2、在点处可导在点处持续存在
例题精讲
一、选取题
1、函数 在点处（ ）．
A．无定义 B. 不持续 C. 可导 D. 持续但不可导
2、函数在点处导数为（ ）．
A．1 B. 0 C. -1 D.不存在
3、如果在点处可导，且曲线在点处切线方程平行于轴，则（ ）．
A．等于0 B. 不大于0 C. 不不大于0 D. 不存在
4、函数 在点处（ ）．
A．无定义 B. 不持续 C. 可导 D. 持续但不可导
5、在点处可导是在点处持续（ ）
A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 无关条件
6、P52历年真题
二、填空题
7、设函数在点处可导，则
8、设函数 ，则，。
9、设函数 ，则。
10、设曲线在点处切线斜率为3，则点坐标为
（历年真题）。
11、曲线和曲线在点处相切，则常数
12、设，则
三、解答题
13、运用导数定义求下列函数导数：
（1） （2）
14、设函数在点处可导，且，试求下列极限值：
（1） （2）
15、已知：当时，是高阶无穷小量，试求。
16、设，且，试求
17、设在点处可导，试证明：
（1）
（2）
18、设在处可导，试求：
19、求分段函数导数。
20、设函数 在点处可导，求。
21、设函数
（1）为使函数在点处可导，应取何值？
（2）写出函数在点处切线方程和法线方程。
22、在抛物线上取横坐标为两点，作过这两点割线，问过抛物线上哪一点切线平行于这条割线，写出这条切线方程。
23、设，已知曲线和曲线在点处相切，试求常数与点坐标。
24、证明：双曲线上任一点处切线与坐标轴构成三角形面积都等于。
25、设满足：，且，求。
第二、三、四节 导数运算法则
一、基本初等函数求导公式（16个）
二、导数四则运算法则
1、函数和、差、积求导法则都可推广到有限个函数情形。
2、求或导数，可先将原式化为几种函数和，再运用函数和、差求导法则求导。
三、复合函数求导法则
纯熟运用复合函数求导法则求导数，核心在于纯熟掌握复合函数分解。
四、隐函数求导法和由参数方程所拟定函数求导法，掌握对数求导法。
1、隐函数求导法：求由二元方程拟定函数导数，一方面在方程两边对求导，遇届时将其作为中间变量，运用复合函数求导法则，得到具有等式，解出即可。
2、由参数方程拟定函数导数。
五、对数求导法：
1、对数求导法就是在两边同步取对数，然后用隐函数求导法求导办法。重要解决:①幂指函数（形如函数）；②一系列函数乘、除、乘方、开方所构成函数（例如：）求导问题。
2、幂指函数求导，也可以先将函数变形为，再运用复合函数求导法则求出其导数。
四、高阶导数
1、高阶导数概念：二阶以及二阶以上导数称为高阶导数。
2、若函数阶导数存在，则称函数阶可导，此时意味着都存在。
3、高阶导数记号
一阶导数：，，，
二阶导数：，，，
三阶导数：，，，
阶导数（当时）：，，，
4、求阶导数办法：先求出、、、，依照前面几阶导数表达式归纳出。
例题精讲
一、填空题
1、设则（历年真题）
2、设则（历年真题）
3、设是由方程拟定隐函数，则（历年真题）
4、设则
5、设方程拟定了是隐函数，则
6、设方程拟定了是隐函数，则
7、设，则
二、解答题
8、求下列函数导数
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8）
9、求下列函数n阶导数
（1） （2） （3）
10、求下列隐函数导数
（1） （2） （3）
11、设可导，试求：和
12、设，求
13、设，试求则
14、求曲线上点处切线方程和法线方程。
15、设可导，且，又，求
第五节 微分
一、理解微分概念
1、微分实际意义：设函数，当自变量从变化届时，相应函数增量。在点处微分描述是：当很小时（），近似变化了多少，即：
（）
2、设函数在内可微，则微分为 ；
由于，因此有，，。
3、在点处可微在点处可导。
二、微分运算法则
1、微分基本运算式：设函数，则，。
2、基本初等函数微分公式（16个）和微分四则运算法则
注：要注意基本公式和四则运算法则逆运算（右边=左边）
3、复合函数微分法则：
设，，则复合函数微分为，
注：一阶微分形式不变性：
由于 ，，因此
由此可见，无论是自变量还是另一变量可微函数，微分形式始终保持不变。
三、微分在近似计算中应用。
1、如果在点处可微，那么
（1）求函数变化了多少： (很小)
（2）求函数变化到多少： (很小)
2、如果在点处可微，那么 (很小)
当很小时，，，， ， （这几种公式类似于等价无穷小）
例题精讲
一、填空题
1、设则
2、设则
3、设，可微，则（历年真题）
4、设当，时，则，
5、
6、
二、解答题
7、设是由方程拟定隐函数，求。
8、设，求。
第三章 导数应用
第一节 微分中值定理和洛必达法则
一、Rolle定理和Lagrange 中值定理
1、两个定理内容（条件+结论）须记忆，同步理解两个定理几何意义。
2、Rolle定理应用
（1）证明方程根存在性：Rolle定理结论为：函数在内至少存在一种，使得。也就是说方程在内至少存在一种根。
（2）证明等式：依照待证等式构造辅助函数，拟定一种闭区间，验证在闭区间上满足Rolle定理三个条件，从而依照定理结论得证。
（3）构造辅助函数办法（从欲证问题结论入手，逆向分析）：
①通过移项使得待证等式右边为0，等式左边即为
②通过移项使得待证等式右边为0，等式左边为或者一某些，再由推断出表达式。
3、Lagrange定理应用：证明等式或者不等式
（1）证明核心：选准满足定理条件和所讨论区间。
（2）证明（不）等式，可先分析待证（不）等式：使得待证（不）等式一边转化为，另一边转化为
二、洛比达法则（见第一章第二节）
例题精讲
1、例1、例3
2、例题2、例题3
3、历年例题2
4、设函数和在上持续，在内可导，且，。试证：至少存在一点，使得。
5、设常数满足式子：。
求证：方程在内至少有一种实根。
6、设函数在上持续，在内可导，试证：至少存在一点，使得。
7、求证：当时，
8、求证：
9、求证：当时，
10、证明：二次函数在区间上应用拉格朗日中值定理时，所求点总是区间中点，即。
11、设函数与在内可导，并对任何恒有，且。证明：（1）当时，；（2）当时，。
第二节 导数在研究函数上应用
一、函数单调性和极值
1、函数单调性鉴定办法
2、几种点
（1）驻点：使值称为函数驻点。
（2）不可导点：不存在值称为函数不可导点。。
（3）极值点：设点是函数极值点，则有或者不存在。
3、极值和最值区别：①局部和整体；②个数；③大小关系。
4、求函数极值和第一充分条件和第二充分条件。
5、求函数单调区间和极值普通环节：
①求出函数定义区间。
②求出，进而求出函数在定义区间内所有驻点和不可导点。
③所有驻点和不可导点将定义区间提成若干子区间。通过列表分析，运用函数单调性鉴别法鉴定每个子区间单调性，运用极值第一充分条件鉴定每个驻点和不可导点与否为极值点，如果是极值点，求出极值（极值点函数值）。
④如果运用极值第二充分条件求函数极值，请注意该办法局限性：只合用于二阶导数存在驻点，不合用于不可导点。
6、运用函数单调性证明不等式
二、函数最值
1、求函数在上最值办法
（1）持续函数在上一定有最大值和最小值，且最值只能在内驻点和不可导点或区间端点处达到，因而只须求出这些点函数值比较大小，即可求出最值。
（2）如果持续函数在上单调增长（减少），则最值必在区间端点处达到。
（3）如果持续函数在区间上有唯一驻点或不可导点，则当是极大（小）值时，也是在区间上最大（小）值。
2、简朴应用题最值问题
由实际问题自身性质可以断定目的函数确有最大（小）值，且一定在区间内部达到，又在区间内部目的函数仅有一种驻点，则在处目的函数一定取最大（小）值。
三、曲线凹凸性和拐点
1、曲线凹凸性和拐点定义。
拐点：持续曲线上凹弧和凸弧分界点，拐点须用坐标表达。
2、求曲线凹凸区间和拐点普通环节：
①求出函数定义区间
②求出，进而求出函数在定义区间内所有和不存在。
③所有和不存在将定义区间提成若干子区间。通过列表分析，运用曲线凹凸性鉴别法鉴定每个子区间凹凸性，求出拐点。
四、曲线渐近线
1、曲线水平渐近线
设曲线，如果或或，则称直线是曲线水平渐近线。
2、曲线铅直渐近线
设曲线在点间断，如果或或，则称直线是曲线铅直渐近线。
例题精讲
一、 填空题
1、函数在获得最小值，在获得最大值。
2、曲线在处有拐点，则应满足关系。
二、解答题
1、当时，
2、证明：如果，则函数没有极值。
3、设满足，求极值。
4、设曲线觉得拐点，求常数和值。
5、求函数单调区间和极值。
6、设函数在点处可导，且有极小值，求曲线上点处切线方程。
7、过平面上定点引一条直线，使它在两个坐标轴上截距都是正，且两个截距和最小，求此直线方程。
8、已知曲线上点处有水平切线，且原点为该曲线拐点，求常数值，并写出曲线方程。
9、曲线在处取极值，是拐点，求
10、造一种长方体无盖蓄水池，其容积为500立方米，底面为正方形，设底面与四壁所使用材料单位造价相似，问底边和高各为多少米时，才干使所使用材料最省。
第六章 多元函数微分学
第一节 多元函数基本概念
一、 二元函数定义
1、，
其中称为自变量，称为因变量，点集D称为定义域
2、二元函数几何意义
（1） 图像是空间直角坐标系内一张曲面，其定义域D几何上是曲面在平面上投影区域。
（2）设点，和点相应函数值为，于是在空间直角坐标系内拟定了一种点。当点定义域D内变动时，相应点全体就形成了一种曲面，这个曲面就是二元函数图像。
3、二元函数定义域求法与一元函数类似，其成果须用集合表达。
4、类似定义三元函数、四元函数等等。
二、二元函数极限和持续（略）
例题精讲
第二节 偏导数和全微分
一、 偏导数概念和求法
1、概念
（1）定义：偏导函数简称偏导数。
（2）记号：设二元函数，则
对偏导数记作：，，，
对偏导数记作：，，，
（3）求偏导数办法：二元函数求偏导数，只需在求对偏导数时，将看做常量；求对偏导数时，将看做常量。
二、 高阶偏导数
1、二阶偏导数：设二元函数在定义域D具备偏导数和，那么她们依然是二元函数，如何她们偏导数存在，就称其为二阶偏导数。二阶偏导数共有4个。分别记为：
= ， =
= ， =
其中和称为二阶混合偏导数，且普通有。
2、类似可以定义三阶、四阶……n阶偏导数，二阶和二阶以上偏导数称为高阶偏导数。三阶偏导数有8个，四阶偏导数有16个……
三、 全微分
1、设二元函数在点处可微，则在点处偏导数存在，且函数全微分为。
2、当题目条件中给出和值时，函数全微分为。
3、设三元函数在点处可微，则函数全微分为
例题精讲
解答题
1、例4和历年真题
2、历年真题
3、5、6（2）
4、设，求：，和
5、设，求：，和
6、设，求所有二阶偏导数和
7、设，求证：
10、设，求证：
第三节 复合函数微分法（略）
第四章 不定积分
第一、二节 不定积分概念和性质
1、原函数和不定积分概念
（1）
（2）全体原函数就是不定积分，这些原函数之间仅差一种常数。
2、不定积分性质
（1）
（2） （为非零常数）
（3） 微分运算与不定积分运算是互逆。
① 或
② 或
例题精讲
一、选取题
1、若都是函数原函数，则必有（ ）．
A B C D
2、（ ）．
A B C D
3、若，则（ ）成立.
A B
C D
4、如果，则下列各式中不对的是（ ）．
A B
C D
二、填空题
1、函数原函数是，函数是函数原函数。
2、
3、如果一种原函数是，则 （历年真题）
4、设一种原函数是，则
5、一曲线通过点，且在曲线上任意一点处切线斜率为，则此曲线方程为。
6、已知，则
7、若，则
8、设，则（历年真题）
第三、四节 不定积分计算
一、不定积分计算办法
1、基本积分法
运用基本积分公式（21个）及不定积分性质（1）和（2），通过恒等变换将被积函数化成几种简朴函数和，再逐项积分。
基本积分公式
（1）
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