高等数学电子教案：第5章-定积分.doc

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章节第五章定积分 §1 定积分的概念与性质课时 2 教学目的掌握定积分的概念，性质及中值定理教学重点及突出方法定积分的概念，性质及中值定理教学难点及突破方法定积分的概念，性质及中值定理相关参考资料《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社教学过程教学思路、主要环节、主要内容我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。为此我们产生了定积分的概念。定积分的概念：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0<x1<...<xn-1<xn=b 把区间[a,b]分成n个小区间[x0，x1]，...[xn-1,xn], 在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi并作出和，如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作。即：定理（1）：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。（2）：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。定积分的性质性质(1)：函数的和(差)得定积分等于它们的定积分的和(差). 即：性质(2)：被积函数的常数因子可以提到积分号外面. 即：性质(3)：如果在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则≤ （a<b）性质(4)：设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则 m(b-a)≤≤M(b-a) 性质(5)：如果f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点ξ，使下式成立： =f(ξ)(b-a) 注：此性质就是定积分中值定理。章节第五章定积分 §2微积分的基本公式课时 2 教学目的掌握微积分的基本公式教学重点及突出方法利用微积分的基本公式求定积分教学难点及突破方法变上限的积分求导公式相关参考资料《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，教学过程教学思路、主要环节、主要内容积分上限的函数及其导数设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.现在我们来考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分,我们知道f(x)在[a,x]上仍旧连续，因此此定积分存在。如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，记作φ(x): 注意：为了明确起见，我们改换了积分变量（定积分与积分变量的记法无关）定理(1)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数在[a,b]上具有导数，并且它的导数是（a≤x≤b）定理(2)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。注意：定理（2）即肯定了连续函数的原函数是存在的，又初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。牛顿－莱步尼兹公式定理　如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则　。　(1) 证　已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数，也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节），即 (2) ，在上式中令x = a，得。又由F (x)的定义式及上节定积分的补充规定知F (a) = 0，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的F (x)，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。为方便起见，以后把F(b) – F(a)记成。注意：公式(1)被称为牛顿-莱布尼兹(Leibniz)公式，它进一步揭示了定积分与原函数(不定积分)之间的联系。它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数再去见[a,b]上的增量。它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。章节第五章定积分 §3 定积分的换元法和分部积分法课时 2 教学目的掌握定积分的换元法及定积分的分部积分法教学重点及突出方法定积分的换元法及定积分的分部积分法教学难点及突破方法定积分的换元法及定积分的分部积分法相关参考资料《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社教学过程教学思路、主要环节、主要内容定积分的换元法我们知道求定积分可以转化为求原函数的增量，在前面我们又知道用换元法可以求出一些函数的原函数。因此，在一定条件下，可以用换元法来计算定积分。定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续；函数g(t)在区间[m,n]上是单值的且有连续导数；当t在区间[m,n]上变化时，x=g(t)的值在[a,b]上变化，且g(m)=a,g(n)=b；则有定积分的换元公式: 注意：在使用定积分的换元法时，当积分变量变换时，积分的上下限也要作相应的变换。定积分的换元法与分部积分法。例题:计算解答:设x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时，t=0；当x=a时，t=π/2.于是：定积分的分部积分法计算不定积分有分部积分法，相应地，计算定积分也有分部积分法。设u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数u'(x)、v'(x)，则有(uv)'=u'v+uv',分别求此等式两端在[a,b]上的定积分，并移向得：上式即为定积分的分部积分公式。计算解答：设，且当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.由前面的换元公式得：再用分部积分公式计算上式的右端的积分。设u=t,dv=etdt,则du=dt,v=et.于是：故：章节第五章定积分 §反常积分课时 2 教学目的掌握广义积分的概念教学重点及突出方法广义积分的计算教学难点及突破方法广义积分的计算相关参考资料《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，教学过程教学思路、主要环节、主要内容定积分的近似计算：定积分近似计算公式的原理：求定积分就是求面积，近似计算公式是对面积的近似求法。原理：实质上是用抛物线逼近曲线段，由此可推出。此公式称为辛卜生公式。近似计算方法很多，但实质上多是曲线逼近（见数值分析）。在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分，它们已不属于前面我们所学习的定积分了。为此我们对定积分加以推广，也就是———广义积分。无穷限的广义积分定义1　设函数f(x)在区间[a , +¥ ]上连续，取b>a，若极限存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a , +¥ ]上的广义积分，记作，即　(1)，这时也称广义积分收敛；若上述极限不存在，称为广义积分发散。类似地，若极限存在，则称广义积分收敛。设函数f(x)在区间(-¥ ,+¥ )上连续，如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-¥ , +¥ )上的广义积分，记作，也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。上述广义积分统称为无穷限的广义积分。无界函数的广义积分现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。定义2　设函数f(x)在(a,b]上连续，而在点a的右领域内无界，取，如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分，仍然记作，这时也称广义积分收敛。类似地，设函数f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外连续，而在点c的领域内无界，如果两个广义积分与都收敛，则定义；　　　(2) 否则，就称广义积分发散。章节第五章定积分习题课时 2 教学目的解决第五章的习题中存在的问题。教学重点及突出方法定积分的计算，变上限的积分求导公式，广义积分的计算。教学难点及突破方法补充一些习题及历届考研题及陈文登复习资料的习题，开阔思路。相关参考资料《数学复习指南》2004版（理工），陈文登，黄先开，世界图书出版社教学过程教学思路、主要环节、主要内容处理第五章习题中的各种问题，并补充历届考研题及陈文登复习资料的习题，开阔学生的解题思路。分类讲解习题，提供解题方法及思路。

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