高等数学电子教案：第2章-导数与微分.doc

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第二章 导数与微分
§1 导数的概念
课时
2
教
学
目
的
掌握导数的定义及几何意义
教学
重点
及
突出
方法
导数的定义
教学
难点
及
突破
方法
着重理解导数的几个等价的定义
相关
参考
资料
《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社

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过

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教学思路、主要环节、主要内容
2．1 导数的概念
通过物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题，以及切线问题引出导数的定义。
  2.1.1 导数的定义
   设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量                       ，如果与之比当市的极限存在，则称函数y=f(x)在x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数，记为，即，也可记作。函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。导数的定义是也可取不同的形式，如：，。导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。
若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函 数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。
    注：导数也就是差商的极限
左、右导数   前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。
   若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。
   若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。
   注：函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件
2.1.2 求导举例： ，，
2．1．3 导数的几何意义：由导数的定义可知，函数y=f(x)在点x0=的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))出的切线斜率，即，其中是切线的倾角。利用此性质可求曲线的切线方程和法线方程。
2．1．4 函数的可导性与连续性
定理：可导函数必连续。
一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。

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第二章 导数与微分
§2 函数的求导法则
课时
2
教
学
目
的
掌握函数的和、差、积、商的求导法则
掌握反函数的导数 复合函数的求导法则
掌握初等函数的求导问题，双曲函数反双曲函数的导数
教学
重点
及
突出
方法
掌握函数的和、差、积、商的求导法则
反函数的导数 复合函数的求导法则
初等函数的求导公式，双曲函数及反双曲函数的导数
教学
难点
及
突破
方法
函数积、商的求导法则
复合函数的求导法则，导数的计算
初等函数的求导问题
相关
参考
资料
《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，
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教学思路、主要环节、主要内容
函数的和与差的求导法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).
         用公式可写为：。其中u、v为可导函数。
  例题：已知，求
  常数与函数的积的求导法则
   法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 
   函数的积的求导法则
   法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成：
   例题：已知，求
   注：若是三个函数相乘，则先把其中的两个看成一项。
函数的商的求导法则
   法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。用公式可写成：
反函数的导数
根据反函数的定义，函数为单调连续函数，则它的反函数,它也是单调连续的.为此我们可给出反函数的求导法则，如下(我们以定理的形式给出)：
   定理：若是单调连续的，且，则它的反函数在点x可导，且有：

   注：通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数。
   注：这里的反函数是以y为自变量的，我们没有对它作记号变换。
即： 是对y求导，是对x求导
复合函数的求导规则
   规则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数。用公式表示为：
                           ，
   其中u为中间变量

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教学思路、主要环节、主要内容
下面我们用表格来把几个基本初等函数的导数公式列出来
导数公式

（cosx）/=-sinx

(secx)/=secxtanx

   函数和、差、积、商的求导法则
函数和、差、积、商的求导法则

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第二章 导数与微分
§3 高阶导数
课时
2
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掌握高阶导数的概念和计算。
教学
重点
及
突出
方法
高阶导数的计算。
教学
难点
及
突破
方法
高阶导数的计算，几个常用函数的n阶导数。
相关
参考
资料
《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，
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教学思路、主要环节、主要内容
我们知道，在物理学上变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即：
                              ，
   而加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数：
                              ，或
   这种导数的导数叫做s对t的二阶导数。下面我们给出它的数学定义：
定义：函数的导数仍然是x的函数.我们把

      的导数叫做函数的二阶导数，记作
                              或，即：
                              或.
   相应地，把的导数叫做函数的一阶导数.
   类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数，叫做四阶导数，…，一般地(n-1)阶导数的
   导数叫做n阶导数.
   分别记作：，，…，或，，…，
   二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。
   由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导，所以，在求高阶导数时可运用前面所学的求导方法。
例题：求对数函数的n阶导数。
   解答：，，，，
          一般地，可得

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第二章 导数与微分
§4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
课时
2
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目
的
掌握隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数求导方法
教学
重点
及
突出
方法
隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的高阶导数的求导问题。
教学
难点
及
突破
方法
隐函数及由参数方程所确定的函数的高阶导数的求导问题。
相关
参考
资料
《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，
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教学思路、主要环节、主要内容
我们知道用解析法表示函数，可以有不同的形式.
   若函数y可以用含自变量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数大多都是显函数.
   一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程的y值存在，则我们就说方程F(x,y)=0在该区间上确定了x的隐函数y.
   把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。
   注：有些隐函数并不是很容易化为显函数的，那么在求其导数时该如何呢？
   下面让我们来解决这个问题！
隐函数的求导：若已知F(x,y)=0，求时，一般按下列步骤进行求解：
   a)：若方程F(x,y)=0，能化为的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；
   b)：若方程F(x,y)=0，不能化为的形式，则是方程两边对x进行求导，并把y看成x的函数，
   用复合函数求导法则进行。
注：我们对隐函数两边对x进行求导时，一定要把变量y看成x的函数，然后对其利用复合函数求导法则进行求导。
有些函数在求导数时，若对其直接求导有时很不方便，像对某些幂函数进行求导时，有没有一种比较直观的方法呢？
   下面我们再来学习一种求导的方法：对数求导法
对数求导的法则
   根据隐函数求导的方法，对某一函数先取函数的自然对数，然后在求导。
   注：此方法特别适用于幂函数的求导问题。
参数方程求导：设x=φ(t) y=ψ(t)均可导，且φ/(t)≠0，则由参数方程确定的函数
y=ψ(φ-1(x))的导数为：dy/dx=ψ/(t)/φ/(t) 它是 t的函数。
若 x=φ(t) y=ψ(t)的二阶导存在且φ/(t)≠0，则二阶导数为：
d2y/dx2=[ψ//(t)φ/(t)-ψ/(t)φ//(t)]/φ/3(t)
相关变化率
  设 x=x(t), y=y(t)都是可导函数，而x与y之间存在某种联系；因而它们的变化率dx/dt与 dy/dt之间也存在着一定联系，这两个相互关联着的变化率称为相关变化率。相关变化率问题常先建立x与y的某个等式，然后对第三个变量t求导，以便从已知的一个变化率去求另一个变化率。

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第二章 导数与微分
§5 函数的微分
课时
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目
的
掌握函数微分的概念，及几何意义。
掌握微分在近似计算中的应用。
教学
重点
及
突出
方法
函数微分的概念。
教学
难点
及
突破
方法
函数微分的概念及几何意义。
相关
参考
资料
《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，
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教学思路、主要环节、主要内容
函数微分的定义
   设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为，其中A是不依赖于△x的常数，是△x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微的。叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：=
通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。
   于是我们又得出：当△x→0时，△y≈dy.
   导数的记号为：                ，
   现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为： 
   由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
微分形式不变性： 不论u是自变量还是中间变量，的微分dy总可以用与du的乘积来表示，   我们把这一性质称为微分形式不变性。
函数在任意点的微分，称为函数的微分,记作或,即
通常把自变量的增量称为自变量的微分,记作，即.于是函数的微分又可记作就是说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数.因此，导数也叫做”微商”.
微分的几何意义：设是曲线上的点的纵坐标的增量,是曲线的切线上的纵坐标的相应的增量,当很小时,比小得多,因此在点的邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段.
通过基本初等函数导数的公式可得出基本初等函数的微分公式和微分运算法则。
微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们用函数的微分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用.
函数的近似计算公式：
f(x)≈f(x0)+f/(x0)(x-x0)

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第二章 导数与微分
习题
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的
解决第二章的习题中存在的问题。
教学
重点
及
突出
方法
复合函数的求导，隐函数的求导，参数方程的求导，高阶导数，函数的微分，利用定义求导。
教学
难点
及
突破
方法
补充一些习题及历届考研题及陈文登复习资料的习题，开阔思路。分段函数的求导问题。
相关
参考
资料
《数学复习指南》2004版（理工），陈文登，黄先开，世界图书出版社
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教师授课思路、设问及讲解要点
处理第二章习题中的各种问题，并补充历届考研题及陈文登复习资料的习题，开阔学生的解题思路。
分类讲解习题，提供解题方法及思路。