2016年山东高考卷文科数学(原题+解析).doc

2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
文　数
本卷满分150分,考试时间120分钟.
　参考公式:
如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).

第Ⅰ卷(选择题,共50分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=(　　)
A.{2,6} B.{3,6} C.{1,3,4,5} D.{1,2,4,6}
2.若复数z=21-i,其中i为虚数单位,则z=(　　)
A.1+I B.1-i C.-1+i D.-1-i
3.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(　　)

A.56 B.60 C.120 D.140
4.若变量x,y满足x+y≤2,2x-3y≤9,x≥0,则x2+y2的最大值是(　　)
A.4 B.9 C.10 D.12
5.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为(　　)

A.13+23π B.13+23π C.13+26π D.1+26π
6.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
8.△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A=(　　)
A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6
9.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x>12时, f x+12=f x-12.则f(6)=(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.2
10.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　)
A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.执行下边的程序框图,若输入n的值为3,则输出的S的值为　　　　. 

12.观察下列等式:
sinπ3-2+sin2π3-2=43×1×2;
sinπ5-2+sin2π5-2+sin3π5-2+sin4π5-2=43×2×3;
sinπ7-2+sin2π7-2+sin3π7-2+…+sin6π7-2=43×3×4;
sinπ9-2+sin2π9-2+sin3π9-2+…+sin8π9-2=43×4×5;
……
照此规律,
sinπ2n+1-2+sin2π2n+1-2+sin3π2n+1-2+…+sin2nπ2n+1-2=　　　　. 
13.已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为　　　　. 
14.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是　　　　. 
15.已知函数f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m,其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是　　　　. 
三、解答题:本大题共6小题,共75分.
16.(本小题满分12分)
某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(Ⅰ)求小亮获得玩具的概率;
(Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.

17.(本小题满分12分)
设f(x)=23sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π3个单位,得到函数y=g(x)的图象,求gπ6的值.

18.(本小题满分12分)
在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.
(Ⅰ)已知AB=BC,AE=EC,求证:AC⊥FB;
(Ⅱ)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.

19.(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)令cn=(an+1)n+1(bn+2)n.求数列{cn}的前n项和Tn.

20.(本小题满分13分)
设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.
(Ⅰ)令g(x)=f '(x),求g(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.

21.(本小题满分14分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为22.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.
(i)设直线PM,QM的斜率分别为k,k',证明k'k为定值;
(ii)求直线AB的斜率的最小值.

2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
一、选择题
1.A　∵A∪B={1,3,4,5},∴∁U(A∪B)={2,6},故选A.
2.B　∵z=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i,
∴z=1-i,故选B.
方法总结　复数除法运算的关键是分母实数化,注意计算要准确.
3.D　由频率分布直方图知200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1-(0.02+0.10)×2.5=0.7,则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140,故选D.

4.C　作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界),

x2+y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)与原点的距离最大,所以x2+y2的最大值是10,故选C.
5.C　由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径为正四棱锥底面正方形的对角线,所以球的直径2R=2,即R=22,所以半球的体积为23πR3=26π,又正四棱锥的体积为13×12×1=13,所以该几何体的体积为13+26π.故选C.
易错警示　不能从俯视图中正确地得到球的半径,而错误地从正视图中得到球的半径R=12.
6.A　因为直线a和直线b相交,所以直线a与直线b有一个公共点,而直线a,b分别在平面α,β内,所以平面α与β必有公共点,从而平面α与β相交;反之,若平面α与β相交,则直线a与直线b可能相交、平行、异面.故选A.
解题思路　根据两平面相交的定义证明充分性.
7.B　由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为22,所以圆心M到直线x+y=0的距离d=|a|2=a2-2(a>0),解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=2,则R-r<2<R+r,所以两圆的位置关系为相交,故选B.
思路分析　利用直线被圆所截得的线段的长度构造关于a的方程,从而求出圆M的圆心及半径,根据两圆圆心距及两圆半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系.
8.C　在△ABC中,由b=c,得cos A=b2+c2-a22bc=2b2-a22b2,又a2=2b2(1-sin A),所以cos A=sin A,即tan A=1,又知A∈(0,π),所以A=π4,故选C.
9.D　当x>12时,由f x+12=f x-12可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),又由题意知f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=2,故选D.
10.A　设函数y=f(x)图象上两点的横坐标为x1,x2.由题意知只需函数y=f(x)满足f '(x1)·f '(x2)=-1(x1≠x2)即可.y=f(x)=sin x的导函数为f '(x)=cos x,f '(0)·f '(π)=-1,故A满足;y=f(x)=ln x的导函数为f '(x)=1x, f '(x1)·f '(x2)=1x1x2>0,故B不满足;y=f(x)=ex的导函数为f '(x)=ex, f '(x1)·f '(x2)=ex1+x2>0,故C不满足;y=f(x)=x3的导函数为f '(x)=3x2,f '(x1)·f '(x2)=9x12x22≥0,故D不满足.故选A.
疑难突破　将两点处的切线互相垂直等价转化为这两点处的切线的斜率之积为-1,即相应两点处的导数积为-1是解决此题的关键.
二、填空题
11.答案　1
解析　执行程序框图:i=1,S=2-1,1≥3不成立;i=2,S=3-1,2≥3不成立;i=3,S=4-1=1,此时3≥3成立,结束循环,输出S的值为1.
方法总结　依次执行程序框图,到满足条件为止.
12.答案　4n(n+1)3
解析　观察前4个等式,由归纳推理可知sinπ2n+1-2+sin2π2n+1-2+…+sin2nπ2n+1-2=43×n×(n+1)=4n(n+1)3.
13.答案　-5
解析　因为a⊥(ta+b),所以a·(ta+b)=0,即ta2+a·b=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=2,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.
方法总结　正确利用两向量垂直的充要条件是构造关于t的方程的前提.两非零向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)垂直的充要条件为x1x2+y1y2=0.
14.答案　2
解析　由已知得|AB|=|CD|=2b2a,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所以4b2a=6c,2b2=3ac,2b2a2=3e,2(e2-1)=3e,2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-12(舍去).
15.答案　(3,+∞)
解析　f(x)的图象如图所示,

若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,只需4m-m2<m,解之得m>3或m<0,又m>0,所以m>3.
方法总结　分段函数问题、函数零点个数问题或方程根的个数问题通常采用数形结合的思想方法来解决.
三、解答题
16.解析　用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.
因为S中元素的个数是4×4=16,
所以基本事件总数n=16.
(Ⅰ)记“xy≤3”为事件A,
则事件A包含的基本事件数共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).
所以P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为516.
(Ⅱ)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C,
则事件B包含的基本事件数共6个,
即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).
所以P(B)=616=38.
事件C包含的基本事件数共5个,
即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).
所以P(C)=516.因为38>516,
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
易错警示　本题出错的原因有两个:(1)理解不清题意,不能将基本事件列举出来;(2)列举基本事件有遗漏.
17.解析　(Ⅰ)f(x)=23sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2
=23sin2x-(1-2sin xcos x)
=3(1-cos 2x)+sin 2x-1
=sin 2x-3cos 2x+3-1
=2sin2x-π3+3-1.
由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z).
或kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2sin2x-π3+3-1.
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到y=2sinx-π3+3-1的图象,
再把得到的图象向左平移π3个单位,
得到y=2sin x+3-1的图象,
即g(x)=2sin x+3-1.
所以gπ6=2sinπ6+3-1=3.
方法总结　研究三角函数的单调性,首先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h(或y=Acos(ωx+φ)+h)的形式,要视“ωx+φ”为一个整体,另外注意A的正负.
18.证明　(Ⅰ)因为EF∥DB,
所以EF与DB确定平面BDEF.
连结DE.
因为AE=EC,D为AC的中点,
所以DE⊥AC.
同理可得BD⊥AC.
又BD∩DE=D,
所以AC⊥平面BDEF,
因为FB⊂平面BDEF,
所以AC⊥FB.

(Ⅱ)设FC的中点为I.连结GI,HI.
在△CEF中,因为G是CE的中点,
所以GI∥EF.又EF∥DB,
所以GI∥DB.
在△CFB中,因为H是FB的中点,
所以HI∥BC.
又HI∩GI=I,
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH⊂平面GHI,
所以GH∥平面ABC.

思路分析　第(Ⅰ)问连结DE,利用等腰三角形的性质得AC⊥DE,AC⊥DB,从而得线面垂直,利用线面垂直的性质得结论;第(Ⅱ)问取FC的中点I,连结GI,HI,利用三角形的中位线得线线平行,从而证面面平行,再利用面面平行的性质得出结论.
19.解析　(Ⅰ)由题意知当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,
当n=1时,a1=S1=11,符合上式,
所以an=6n+5.
设数列{bn}的公差为d.
由a1=b1+b2,a2=b2+b3,即11=2b1+d,17=2b1+3d,
可解得b1=4,d=3.
所以bn=3n+1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知cn=(6n+6)n+1(3n+3)n=3(n+1)·2n+1.
又Tn=c1+c2+…+cn,
得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],
2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],
两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]
=3×4+4(1-2n)1-2-(n+1)×2n+2
=-3n·2n+2.
所以Tn=3n·2n+2.
方法总结　若{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和,可采用错位相减法.注意计算要准确.
20.解析　(Ⅰ)由f '(x)=ln x-2ax+2a,
可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).
则g'(x)=1x-2a=1-2axx.
当a≤0时,x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;
当a>0时,x∈0,12a时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,
x∈12a,+∞时,函数g(x)单调递减.
所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);
当a>0时,g(x)的单调增区间为0,12a,单调减区间为12a,+∞.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f '(1)=0.
①当a≤0时, f '(x)单调递增,
所以当x∈(0,1)时, f '(x)<0, f(x)单调递减.
当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增.
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
②当0<a<12时,12a>1,由(Ⅰ)知f '(x)在0,12a内单调递增,可得当x∈(0,1)时, f '(x)<0,x∈1,12a时, f '(x)>0.
所以f(x)在(0,1)内单调递减,在1,12a内单调递增,
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
③当a=12时,12a=1, f '(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,
所以当x∈(0,+∞)时, f '(x)≤0, f(x)单调递减,不合题意.
④当a>12时,0<12a<1,
当x∈12a,1时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
所以f(x)在x=1处取极大值,合题意.
综上可知,实数a的取值范围为a>12.
思路分析　(Ⅰ)求出函数的导数,对a进行分类讨论;(Ⅱ)由第(Ⅰ)问知f '(1)=0,对a进行分类讨论,然后利用导数研究函数的单调性和极值来验证是否满足条件,从而求出a的取值范围.
21.解析　(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c.
由题意知2a=4,2c=22,
所以a=2,b=a2-c2=2.
所以椭圆C的方程为x24+y22=1.
(Ⅱ)(i)设P(x0,y0)(x0>0,y0>0).
由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,-2m).
所以直线PM的斜率k=2m-mx0=mx0,
直线QM的斜率k'=-2m-mx0=-3mx0.
此时k'k=-3.所以k'k为定值-3.
(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2).
直线PA的方程为y=kx+m,

直线QB的方程为y=-3kx+m.
联立y=kx+m,x24+y22=1,

整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0.
由x0x1=2m2-42k2+1,
可得x1=2(m2-2)(2k2+1)x0.
所以y1=kx1+m=2k(m2-2)(2k2+1)x0+m.
同理x2=2(m2-2)(18k2+1)x0,y2=-6k(m2-2)(18k2+1)x0+m.
所以x2-x1=2(m2-2)(18k2+1)x0-2(m2-2)(2k2+1)x0=-32k2(m2-2)(18k2+1)(2k2+1)x0,
y2-y1=-6k(m2-2)(18k2+1)x0+m-2k(m2-2)(2k2+1)x0-m=-8k(6k2+1)(m2-2)(18k2+1)(2k2+1)x0,
所以kAB=y2-y1x2-x1=6k2+14k=146k+1k.
由m>0,x0>0,可知k>0,
所以6k+1k≥26,等号当且仅当k=66时取得.
此时m4-8m2=66,即m=147,符合题意.
所以直线AB的斜率的最小值为62.