数理金融学第三章-组合投资理论.ppt

数理金融学 第三章资产组合理论5/12/20241.狭义的现代组合理论-马科维茨提出的资产组合理论（50年代，从单个投资者考虑问题，局部均衡分析）广义的现代组合理论-马科维茨提出的资产组合理论-马科维茨提出的有效组合决定模型的各种替代理论（60年代开始，其他求解资产有效组合的理论和方法，如指数化模型，简化的有效组合决策模型）和资本市场理论（从整体的资本市场的角度考虑问题，一般的均衡分析，包括：资本资产的价格理论（CAPM,APT），以及证券市场的效率理论(效率市场假设)）5/12/20242.3.1 资产组合的收益与风险一个岛国是旅游胜地，其有两家上市公司，一家为防晒品公司，一家为雨具公司。岛国每年天气或为雨季或为旱季，概率各为0.5，两家公司在不同天气下的收益分别如下，请问你的投资策略。防晒品公司防晒品公司雨具公司雨具公司雨季雨季旱季旱季0%20%20%0%5/12/20243.资产组合（Portfolio）的优点对冲（hedging），也称为套期保值。投资于补偿形式（收益负相关），使之相互抵消风险的作用。分散化（Diversification）：必要条件收益是不完全正相关，就能降低风险。组合使投资者选择余地扩大。5/12/20244.例如有A、B两种股票，每种股票的涨或跌的概率都为50%，若只买其中一种，则就只有两种可能，但是若买两种就形成一个组合，这个组合中收益的情况就至少有六种。涨，涨 涨，跌 涨 跌，涨 跌，跌 跌 涨 跌AB组合至少还包含非组合（即只选择一种股票），组合至少还包含非组合（即只选择一种股票），这表明投资者通过组合选择余地在扩大，从而使这表明投资者通过组合选择余地在扩大，从而使决策更加科学。决策更加科学。5/12/20245.组合的收益 假设组合的收益为rp，组合中包含n种证券，每种证券的收益为ri，它在组合中的权重是wi，则组合的投资收益为5/12/20246.组合的方差将平方项展开得到将平方项展开得到5/12/20247.5/12/20248.根据概率论，对于任意的两个随机变量，总有下列等式成立组合的风险变小5/12/20249.没有25/12/202410.5/12/202411.总结对于包含n个资产的组合p，其总收益的期望值和方差分别为5/12/202412.例 题例1：假设两个资产收益率的均值为0.12，0.15，其标准差为0.20和0.18，占组合的投资比例分别是0.25和0.75，两个资产协方差为0.01，则组合收益的期望值的方差为5/12/202413.例2：假设某组合包含n种股票。投资者等额地将资金分配在上面，即每种股票占总投资的1/n，每种股票的收益也是占总收益的1/n。设若投资一种股票，其期望收益为r，方差为2，且这些股票之间两两不相关，求组合的收益与方差。5/12/202414.组合的收益是各种证券收益的加权平均值，因此，它使组合的收益可能低于组合中收益最大的证券，而高于收益最小的证券。只要组合中的资产两两不完全正相关，则组合的风险就可以得到降低。只有当组合中的各个资产是相互独立的且其收益和风险相同，则随着组合的风险降低的同时，组合的收益等于各个资产的收益。5/12/202415.2.2 组合投资理论概述现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M.Markowitz发表的投资组合选择为标志1962年，Willian Sharpe对资产组合模型进行简化，提出了资本资产定价模型（Capital asset pricing model，CAPM）1976年，Stephen Ross提出了替代CAPM的套利定价模型（Arbitrage pricing theory，APT）。上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场能够地按照定价理论的问题也发生了兴趣，1965年，Eugene Fama在其博士论文中提出了有效市场假说（Efficient market hypothesis，EMH）5/12/202416.2.3 资产组合投资理论基本假设 （1）投资者仅仅以期望收益率和方差（标准差）来评价资产组合（Portfolio）（2）投资者是不知足的和风险厌恶的，即投资者是理性的。（3）投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。（4）投资者希望持有有效资产组合。5/12/202417.2.3.1 组合的可行集和有效集可行集与有效集可行集：资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。有效组合（Efficient portfolio）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。每一个组合代表一个点。有效集（Efficient set）：又称为有效边界（Efficient frontier）,它是有效组合的集合（点的连线）。5/12/202418.两种风险资产构成的组合的风险与收益若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，则两种资产构成的组合之期望收益和方差为由此就构成了资产在给定条件下的可行集！由此就构成了资产在给定条件下的可行集！5/12/202419.注意到两种资产的相关系数为1121因此，分别在121和121时，可以得到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。其他所有的可能情况，在这两个边界之中。5/12/202420.组合的风险收益二维表示.收益收益rp风险风险p2.3.2 两种完全正相关资产的可行集5/12/202421.两种资产完全正相关，即12 1，则有5/12/202422.命题2.1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。证明：由资产组合的计算公式可得5/12/202423.两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许买空卖空）。收益收益 Erp风险风险p5/12/202424.2.3.3 两种完全负相关资产的可行集两种资产完全负相关，即12=-1，则有5/12/202425.命题2.2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。证明：5/12/202426.5/12/202427.两种证券完全负相关的图示收益收益rp风险风险p5/12/202428.2.3.4 两种不完全相关的风险资产的组合的可行集5/12/202429.总结：在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集收益收益Erp风险风险p=1=1=0=0=-1=-15/12/202430.5/12/202431.3种风险资产的组合二维表示一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。收益收益rp风险风险p12345/12/202432.类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。收益收益rp风险风险pn种风险资产的组合二维表示5/12/202433.总结：可行集的两个性质1.在n种资产中，如果至少存在三项资产彼此不完全相关，则可行集合将是一个二维的实体区域2.可行区域是向左侧凸出的因为任意两项资产构成的投资组合都位于两项资产连线的左侧。为什么？5/12/202434.收益收益rp风险风险p不可能的可行集不可能的可行集AB5/12/202435.2.3.5 风险资产组合的有效集v在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收益水平这两个角度来评价，会明显地优于另外一些投资组合，其特点是在同种风险水平的情况下，提供最大预期收益率；在同种收益水平的情况下，提供最小风险。我们把满足这两个条件（均方准则）的资产组合，称之为有效资产组合；v由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集或有效边界。投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。5/12/202436.v整个可行集中，G点为最左边的点，具有最小标准差。从G点沿可行集右上方的边界直到整个可行集的最高点S（具有最大期望收益率），这一边界线GS即是有效集。例如：自G点向右上方的边界线GS上的点所对应的投资组合如，与可行集内其它点所对应的投资组合（如点）比较起来，在相同风险水平下，可以提供最大的预期收益率；而与点比较起来，在相同的收益水平下，点承担的风险又是最小的。5/12/202437.总 结A、两种资产的可行集完全正相关是一条直线完全负相关是两条直线完全不相关是一条抛物线其他情况是界于上述情况的曲线B、两种资产的有效集左上方的线 C、多个资产的有效边界可行集：月牙型的区域有效集：左上方的线5/12/202438.马克维茨的数学模型*均值-方差（Mean-variance）模型是由哈里马克维茨等人于1952年建立的，其目的是寻找有效边界。通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。因此，根据上一章的占优原则这可以转化为一个优化问题，即（1）给定收益的条件下，风险最小化（2）给定风险的条件下，收益最大化5/12/202439.5/12/202440.对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子和来解决这一优化问题。构造拉格朗日函数如下上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件为0，得到方程组5/12/202441.和方程和方程 5/12/202442.这样共有n2方程，未知数为wi（i1，2,n）、和，共有n2个未知量，其解是存在的。注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。例：假设三项不相关的资产，其均值分别为1，2，3，方差都为1，若要求三项资产构成的组合期望收益为2，求解最优的权重。5/12/202443.5/12/202444.课外练习课外练习：假设三项不相关的资产。其均值：假设三项不相关的资产。其均值分别为分别为1，2，3，方差都为，方差都为1，若要求三项资，若要求三项资产构成的组合期望收益为产构成的组合期望收益为1，求解最优的权，求解最优的权重。重。由此得到组由此得到组合的方差为合的方差为5/12/202445.2.3.6 最优风险资产组合1.由于假设投资者是风险厌恶的，因此，最优投资组合必定位于有效集边界上，其他非有效的组合可以首先被排除。2.虽然投资者都是风险厌恶的，但程度有所不同，因此，最终从有效边界上挑选那一个资产组合，则取决于投资者的风险规避程度。3.度量投资者风险偏好的无差异曲线与有效边界共同决定了最优的投资组合。5/12/202446.理性投资者对风险偏好程度的描述无差异曲线 同一条无差异曲线同一条无差异曲线,给投资者所提供的效用（即满足程度）是给投资者所提供的效用（即满足程度）是无差异的，无差异曲线向右上方倾斜无差异的，无差异曲线向右上方倾斜,高风险被其具有的高收高风险被其具有的高收益所弥补。对于每一个投资者益所弥补。对于每一个投资者,无差异曲线位置越高，该曲线无差异曲线位置越高，该曲线上对应证券组合给投资者提供的满意程度越高上对应证券组合给投资者提供的满意程度越高。5/12/202447.不同理性投资者具有不同风险厌恶程度5/12/202448.最优组合的确定最优资产组合位于无差异曲线I2与有效集相切的切点处。由G点可见，对于更害怕风险的投资者，他在有效边界上的点具有较低的风险和收益。5/12/202449.资产组合理论的优点首次对风险和收益进行精确的描述，解决对风险的衡量问题，使投资学从一个艺术迈向科学。分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。单个资产的风险并不重要，重要的是组合的风险。从单个证券的分析，转向组合的分析5/12/202450.资产组合理论的缺点当证券的数量较多时，计算量非常大，使模型应用受到限制。解的不稳定性。重新配置的高成本。因此，马克维茨及其学生夏普就可是寻求更为简便的方法，这就是CAPM。5/12/202451.附录附录1:n项风险资产组合有效前沿项风险资产组合有效前沿假定假定1：市场上存在：市场上存在 种风险资产，令种风险资产，令代表投资到这代表投资到这n种资产上的财富的相对份额，则有：种资产上的财富的相对份额，则有：且卖空不受限制，即允许且卖空不受限制，即允许2.也是一个也是一个n维列向量，它表示每一种资维列向量，它表示每一种资产的期望收益率，则组合的期望收益产的期望收益率，则组合的期望收益5/12/202452.3.使用矩阵使用矩阵 表示资产之间的方差协方差，有表示资产之间的方差协方差，有注：方差协方差矩阵是正定、注：方差协方差矩阵是正定、非奇异矩阵非奇异矩阵。所以，。所以，对于任何非对于任何非0的向量的向量a，都有，都有 ，则，则5/12/202453.其中，其中，是所有元素为是所有元素为1 1的的n n维列向量。维列向量。由此构造拉格朗日函数由此构造拉格朗日函数5/12/202454.注意到方差注意到方差-协方差矩阵正定，二阶条件自动满足，故只协方差矩阵正定，二阶条件自动满足，故只要求一阶条件要求一阶条件其中，其中，0=0,0,00=0,0,0（1）（2）（3）5/12/202455.（4）由（由（1）得到）得到把（把（4）代入（）代入（2），得到），得到（5）5/12/202456.为简化，定义为简化，定义把（把（4）代入（）代入（3）（6）5/12/202457.这样我们就可以将（这样我们就可以将（5）和（）和（6）改写为）改写为解得解得（7）（8）5/12/202458.将（将（7）和（）和（8）代入（）代入（4）得到，给定收益条）得到，给定收益条件下的最优权重向量为件下的最优权重向量为（9）其中，其中，5/12/202459.附录2：最小方差集的几何特征性质性质(1):最小方差集是均方平面上的双曲线最小方差集是均方平面上的双曲线证明：由于证明：由于5/12/202460.根据线性代数的性质有根据线性代数的性质有不妨令不妨令5/12/202461.这样，由（这样，由（9）得到的最优权重向量改写为）得到的最优权重向量改写为在得到最优权重的基础上，最小方差为在得到最优权重的基础上，最小方差为（10）5/12/202462.由于由于（11）所以所以5/12/202463.这是均方二维空间中的双曲线，不妨称为最小方差曲线（min variance curve）。双曲线的中心是（0，b/c），渐近线为对（对（11）配方得到）配方得到即即证毕证毕.5/12/202464.性质2：全局最小方差点的权重向量为证明：由于g点是最小方差前沿的一个点，故它满足（11），即（12）对（对（12）求驻点）求驻点5/12/202465.所以，代入（10）得到 5/12/202466.附录3：两基金分离定理（two-fund separation theorem）两基金分离定理：在均方效率曲线上任意两点的线性组合，都是具有均方效率的有效组合。假设wa和wb是在给定收益ra和rb（ra rb）是具有均方效率的资产组合（基金），则命题1：任何具有均方效率的资产组合都是由wa和wb的线性组合构成命题2：反之，由wa和wb线性组合构成的资产组合，都具有均方效率。5/12/202467.证明1：对于给定条件下的资产组合满足均方效率最优权重为条件下的资产组合满足均方效率最优权重为即即c是是a和和b的线性组合，命题的线性组合，命题1证毕。证毕。5/12/202468.证明2：反过来，因为即即wc满足均方效率的最优权重，命题满足均方效率的最优权重，命题2证毕证毕.5/12/202469.两基金分离定理的意义定理的前提：两基金（有效资产组合）的期望收益是不同的，即两基金分离。1.一个决定买入的均方效率资产组合的投资者，只要投资到任何两个具有均方效率和不同收益率的基金即可。投资者无须直接投资于n 种风险资产，而只要线性地投资在两种基金上就可以了。5/12/202470.2.计算上的意义：要获得有效边界，我们只需要获得两个解，然后对解进行组合即可。（比如先计算全局最小方差点），确定初始解的特别简单的方法是令必须注意：这可能使总权重不等于必须注意：这可能使总权重不等于1，但可，但可以通过标准化进行补救。以通过标准化进行补救。5/12/202471.为得到初始解为得到初始解V1，需求解下面的线性方程组，需求解下面的线性方程组得到向量得到向量然后将其单位化，即然后将其单位化，即这样向量这样向量就是均方效率解。就是均方效率解。5/12/202472.为得到初始解为得到初始解V2，需求解下面的线性方程组，需求解下面的线性方程组得到向量得到向量然后将其单位化，得到然后将其单位化，得到向量向量也是均方效率解。也是均方效率解。这样得到了最优组合这样得到了最优组合1和和2，可以通过对其进行，可以通过对其进行线性组合得到，并根据组合的均值、方差公式，线性组合得到，并根据组合的均值、方差公式，计算得到其他均方点。计算得到其他均方点。5/12/202473.小组练习求均方效率边界，至少得到10个点，并画图证券协方差（）收益（）12.30.930.620.74-0.2315.120.931.400.220.560.2612.530.620.221.80.78-0.2714.740.740.560.783.4-0.569.025-0.230.26-0.27-0.562.617.685/12/202474.