线性代数试题及答案.pdf

1线性代数习题和答案第一部分 选择题 (共 28 分)一、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式=m，=n，则行列式等于（）aaaa11122122aaaa13112321aaaaaa111213212223 A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n2.设矩阵 A=，则 A-1等于（）100020003 A.B.1300012000110001200013 C.D.13000100012120001300013.设矩阵 A=，A*是 A 的伴随矩阵，则 A*中位于（1，2）的元素是（）312101214 A.6B.6 C.2D.24.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC，则必有（）A.A=0B.BC 时 A=0 C.A0 时 B=CD.|A|0 时 B=C5.已知 34 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）A.1B.2 C.3D.46.设两个向量组 1，2，s和 1，2，s均线性相关，则（）A.有不全为 0 的数 1，2，s使 11+22+ss=0 和11+22+ss=0 B.有不全为 0 的数 1，2，s使 1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0 C.有不全为 0 的数 1，2，s使 1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0 D.有不全为 0 的数 1，2，s和不全为 0 的数 1，2，s使11+22+ss=0 和 11+22+ss=07.设矩阵 A 的秩为 r，则 A 中（）A.所有 r-1 阶子式都不为 0B.所有 r-1 阶子式全为 02 C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组，1，2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（）A.1+2是 Ax=0 的一个解B.1+2是 Ax=b 的一个解1212 C.1-2是 Ax=0 的一个解D.21-2是 Ax=b 的一个解9.设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（）A.秩(A)nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程组 Ax=0 只有零解10.设 A 是一个 n(3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数 和向量 使 A=，则 是 A 的属于特征值 的特征向量 B.如存在数 和非零向量，使(E-A)=0，则 是 A 的特征值 C.A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如 1，2，3是 A 的 3 个互不相同的特征值，1，2，3依次是 A 的属于1，2，3的特征向量，则 1，2，3有可能线性相关11.设 0是矩阵 A 的特征方程的 3 重根，A 的属于 0的线性无关的特征向量的个数为 k，则必有（）A.k3B.k312.设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为 1B.|A|必为 1 C.A-1=ATD.A 的行（列）向量组是正交单位向量组13.设 A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B=CTAC.则（）A.A 与 B 相似 B.A 与 B 不等价 C.A 与 B 有相同的特征值 D.A 与 B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.B.23343426 C.D.100023035111120102第二部分 非选择题（共 72 分）二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15.1113569253616.设 A=，B=.则 A+2B=.11111111223417.设 A=(aij)33，|A|=2，Aij表示|A|中元素 aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=.18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则 a=.19.设 A 是 34 矩阵，其秩为 3，若 1，2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2 个不同的解，则它的通解为 .320.设 A 是 mn 矩阵，A 的秩为 r(n)，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量、的长度依次为 2 和 3，则向量+与-的内积（+，-）=.22.设 3 阶矩阵 A 的行列式|A|=8，已知 A 有 2 个特征值-1 和 4，则另一特征值为 .23.设矩阵 A=，已知=是它的一个特征向量，则 所对应的特征值为 .0106133210821224.设实二次型 f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 .三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分）25.设 A=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.12034012122341026.试计算行列式.311251342011153327.设矩阵 A=，求矩阵 B 使其满足矩阵方程 AB=A+2B.42311012328.给定向量组 1=，2=，3=，4=.2103132430210149试判断 4是否为 1，2，3的线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵 A=.12102242662102333334求：（1）秩（A）；（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵 A=的全部特征值为 1，1 和-8.求正交矩阵 T 和对角矩阵 D，使 T-0222342431AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=，xxxx xx xx x12223212132323444并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）32.设方阵 A 满足 A3=0，试证明 E-A 可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.设 0是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解，1，2是其导出组 Ax=0 的一个基础解系.试证明（1）1=0+1，2=0+2均是 Ax=b 的解；（2）0，1，2线性无关。4答案：答案：一、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题（本大题共 10 空，每空 2 分，共 20 分）15.616.33713717.418.1019.1+c(2-1)（或 2+c(2-1)），c 为任意常数20.n-r21.522.223.124.zzzz12223242三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分）25.解（1）ABT=120340121223410=.861810310（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.1203401212 所以|4A|=64（-2）=-12826.解 311251342011153351111113100105530=5111111550=5116205506255301040.27.解 AB=A+2B 即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=2231101211431531641.5所以 B=(A-2E)-1A=143153164423110123=3862962129.28.解一 2130130102243419053213010112013112 1035011200880014141035011200110000 1002010100110000,所以 4=21+2+3，组合系数为（2，1，1）.解二 考虑 4=x11+x22+x33，即 230312243491231223123xxxxxxxxxx.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.解 对矩阵 A 施行初等行变换A 12102000620328209632=B.12102032830006200021712102032830003100000（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系，而 B 是阶梯形，B 的第 1、2、4 列是 B 的列向量组的一个最大线性无关组，故 A 的第 1、2、4 列是 A 的列向量组的一个最大线性无关组。（A 的第 1、2、5 列或 1、3、4 列，或 1、3、5 列也是）30.解 A 的属于特征值=1 的 2 个线性无关的特征向量为1=（2，-1，0）T，2=（2，0，1）T.6经正交标准化，得 1=，2=.2 5 55 50/2 5 154 5 155 3/=-8 的一个特征向量为3=，经单位化得 3=1221 32 32 3/.所求正交矩阵为 T=.2 5 52 15 151 35 54 5 152 305 32 3/对角矩阵 D=100010008.（也可取 T=.）2 5 52 15 151 305 32 35 54 5 152 3/31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.设，即，yxxxyxxyx11232233322xyyxyyxy112223332因其系数矩阵 C=可逆，故此线性变换满秩。120011001经此变换即得 f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32.四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以 E-A 可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.证 由假设 A0=b，A1=0，A2=0.（1）A1=A（0+1）=A0+A1=b，同理 A2=b，所以 1，2是 Ax=b 的 2 个解。（2）考虑 l00+l11+l22=0，即 （l0+l1+l2）0+l11+l22=0.则 l0+l1+l2=0，否则 0将是 Ax=0 的解，矛盾。所以l11+l22=0.又由假设，1，2线性无关，所以 l1=0，l2=0，从而 l0=0.所以 0，1，2线性无关。