线性代数试题及答案80065.doc

线性代数期末试卷 共8页 第8页
2011-2012-2线性代数46学时期末试卷（A)
考试方式：闭卷 考试时间:
一、单项选择题(每小题3分，共15分）
1。设为矩阵,齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的( A）．
（) 列向量组线性无关, (） 列向量组线性相关，
(）行向量组线性无关， （） 行向量组线性相关．
2．向量线性无关，而线性相关，则( C ).
(） 必可由线性表出， (）必不可由线性表出，
（）必可由线性表出， （）必不可由线性表出.
3. 二次型,当满足（ C )时,是正定二次型．
　 (）　;　（）；　（）;　（）．
4．初等矩阵(A）；
() 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（） 所对应的行列式的值都等于1；
(） 相乘仍为初等矩阵； （） 相加仍为初等矩阵
5．已知线性无关，则(C ）
A. 必线性无关；
B。 若为奇数,则必有线性相关；
C. 若为偶数，则必有线性相关；
D。 以上都不对。
二、填空题（每小题3分,共15分）
6．实二次型秩为2，则
7．设矩阵，则
8．设是阶方阵，是的伴随矩阵,已知，则的特征值为 。
9．行列式=______ ____；
10。 设A是4×3矩阵,，若，则=_____________；
三、计算题(每小题10分，共50分）
11．求行列式的值。
12．设矩阵,矩阵满足，求.
13． 求线性方程组的通解。
14．已知，求出它的秩及其一个最大无关组。
15.设为三阶矩阵,有三个不同特征值依次是属于特征值的特征向量，令， 若，求的特征值并计算行列式。
四、解答题（10分）
16. 已知，求
五、证明题(每小题5分,共10分）
17。设是非齐次线性方程组的一个特解,为对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明:向量组线性无关。
18。 已知与都是 阶正定矩阵，判定是否为正定矩阵，说明理由.
2010—2011-2线性代数期末试卷(本科A)
考试方式：闭卷统考 考试时间：2011.5。28
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设为阶矩阵，下列运算正确的是( ）.
A. B。
C. D。 若可逆,，则;
2．下列不是向量组线性无关的必要条件的是（ ）.
A．都不是零向量；
B。 中至少有一个向量可由其余向量线性表示；
C. 中任意两个向量都不成比例；
D。 中任一部分组线性无关；
3。 设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的( ）。
A．列向量组线性无关； B。 列向量组线性相关;
C。 行向量组线性无关； D。 行向量组线性相关；
4． 如果( ）,则矩阵A与矩阵B相似.
A。 ; B. ；
C. 与有相同的特征多项式；
D。 阶矩阵与有相同的特征值且个特征值各不相同；
5．二次型,当满足( ）时，是正定二次型。
A. ； B。 ; C. ； D。 。
二、填空题（每小题3分,共15分）
6．设,则＝ ；
7．设 为行列式中元素的代数余子式，则 ;
8．= ；
9．已知向量组线性无关，则向量组的秩为 ；
10。 设为阶方阵, , 且， 则的一个特征值
；
三、计算题（每小题10分，共50分）
11．设，求。
12．设三阶方阵，满足方程,试求矩阵以及行列式，其中.
13．已知，且满足,其中为单位矩阵，求矩阵。
14．取何值时，线性方程组无解，有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时，求通解。
15。　设，求该向量组的秩和一个极大无关组。
四、解答题(10分)
16．已知三阶方阵的特征值1，2,3对应的特征向量分别为，，。其中：,，，。
(1）将向量用，,线性表示；（2）求，为自然数。
五、 证明题（每小题5分，共10分）
17．设是阶方阵，且，；证明：有非零解。
18． 已知向量组（I） 的秩为3，向量组（II) 的秩为3，向量组（III) 的秩为4，证明向量组的秩为4.
2010-2011—1线性代数期末试卷(本科A）
考试方式：闭卷统考 考试时间：2010.12。19
一、单项选择题(每小题3分，共15分）
1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（ ）.
(A）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式；
(B）行列式中有两行（列)元素完全相同;
（C）行列式中有两行（列)元素成比例;
（D）行列式中等于零的个数大于个.
2．下列矩阵中（ )不满足.
(A)； （B）； （C）； (D）。
3. 设为同阶可逆方阵，则( )。
(A）; (B） 存在可逆矩阵；
(C） 存在可逆矩阵； (D) 存在可逆矩阵。
4．向量组线性无关的充分必要条件是( ）
(A）均不为零向量;
（B）中有一部分向量组线性无关；
（C)中任意两个向量的分量不对应成比例；
（D)中任意一个向量都不能由其余个向量线性表示。
5．零为方阵A的特征值是A不可逆的（ ）。
(A）充分条件; （B）充要条件； （C）必要条件； （D)无关条件；
二、填空题（每小题3分，共15分)
6．设，则= ；
7．已知设则 ；
8．设是三阶方阵,且，则 ；
9．已知向量组则该向量组的秩为 ;
10。 已知，，且于相似，则 。
三、计算题（每小题10分，共50分）
11． 12．已知3阶非零矩阵的每一列都是方程组 的解.
①求的值;②证明.
13．设3阶矩阵满足等式,
其中 求矩阵.
14．求向量组 的秩及最大无关组。
15。 设
1.求二次型所对应的矩阵； 2. 求的特征值和对应的特征向量。
四、解答题(10分）
16．
， 已知向量
试讨论为何值时
(1）不能用线性表示；
(2）可由唯一地表示,并求出表示式；
（3）可由表示，但表示式不唯一，并求出表示式。
五、证明题（每小题5分，共10分)
17．设是一组维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示.
18．设为对称矩阵，为反对称矩阵，且可交换，可逆,证明：是正交矩阵。
。
武汉科技大学
2010—2011—2线性代数期末试卷（本科A）
解答与参考评分标准
一、单项选择题（每小题3分,共15分）
1．设为阶矩阵，下列运算正确的是( D ）。
A. B.
C。 D. 若可逆，，则；
2．下列不是向量组线性无关的必要条件的是( B ）。
A．都不是零向量;
B. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示；
C。 中任意两个向量都不成比例；
D。 中任一部分组线性无关;
3。 设为矩阵,齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的( A ）.
A．列向量组线性无关; B。 列向量组线性相关；
C。 行向量组线性无关; D。 行向量组线性相关；
4． 如果（ D ），则矩阵A与矩阵B相似.
A。 ； B. ；
C. 与有相同的特征多项式；
D. 阶矩阵与有相同的特征值且个特征值各不相同；
5．二次型，当满足( C ）时，是正定二次型．
A. ； B。 ； C。 ； D。 .
二、填空题（每小题3分,共15分）
6．设，则＝；
7．设 为行列式中元素的代数余子式，则 —1 ；
8．=；
9．已知向量组线性无关，则向量组的秩为 2 ；
10。 设为阶方阵， ， 且, 则的一个特征值
—3 ；
三、计算题（每小题10分，共50分）
11．设，求.
解： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
12．设三阶方阵，满足方程，试求矩阵以及行列式，其中。
解：由，得，即
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
由于，，
,，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
，．．．．8分
所以。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
13．已知，且满足，其中为单位矩阵,求矩阵。
解：因为，所以可逆，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
由，得，故，即，．．．．4分
不难求出 ,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
因此 。．．．．．．．．．．．．．．．10分
14．取何值时，线性方程组无解，有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时，求通解.
解：由于方程个数等于未知量的个数，其系数行列式
；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
1.当时，有，
,原方程组无解；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
2。当时，有，
所以原方程的通解为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
3.当时,方程组有唯一解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
15.　设，求该向量组的秩和一个极大无关组.
解：
．6分
所以向量组的秩为2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
因为任意两个向量均不成比例，
所以任意两个向量都是该向量组的一个极大无关组。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
四、解答题(10分）
得 分

16．已知三阶方阵的特征值1,2，3对应的特征向量分别为,,。其中:，，,。
（1）将向量用，,线性表示；（2）求，为自然数。
解:(1)把用线性表示，即求解方程
故。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）
．．．．．．．．．．10分
五、证明题(每小题5分,共10分）
17．设是阶方阵，且,；证明：有非零解。
证明：,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
所以有非零解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
18． 已知向量组(I) 的秩为3，向量组（II) 的秩为3，向量组（III) 的秩为4，证明向量组的秩为4。
证明：向量组的秩为3，向量组的秩为3,所以为向量组的一个极大无关组，因此可唯一的由线性表示；．．．．2分
假设向量组的秩不为4，又因为向量组的秩为3，所以向量组的秩为3，因此也可唯一的由线性表示；．．．4分
因此可唯一的由线性表示,而向量组的秩为4，即线性无关，因此不能由线性表示，矛盾，因此向量组的秩为4.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
武汉科技大学
2010-2011—1线性代数期末试卷（本科A）
解答与参考评分标准
一、单项选择题(每小题3分，共15分）
1．满足下列条件的行列式不一定为零的是( A ）.
(A）行列式的某行（列)可以写成两项和的形式；（B)行列式中有两行（列）元素完全相同; （C)行列式中有两行（列）元素成比例; (D)行列式中等于零的个数大于个。
2．下列矩阵中( C ）不满足。
(A）; （B）； （C）； (D）.
3。 设为同阶可逆方阵,则（ D ）.
（A)； （B） 存在可逆矩阵;
（C） 存在可逆矩阵; （D) 存在可逆矩阵。
4．向量组线性无关的充分必要条件是（ D ）
（A)均不为零向量； （B）中有一部分向量组线性无关;
（C)中任意两个向量的分量不对应成比例;
(D）中任意一个向量都不能由其余个向量线性表示。
5．零为方阵A的特征值是A不可逆的（ B ）。
(A)充分条件； （B）充要条件； （C)必要条件； （D）无关条件.
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．设，则= 0 .
7．已知设则；
8．设是三阶方阵,且，则 27 ；
9．已知向量组则该向量组的秩为 2 ；
10。 已知，，且于相似，则 6 。
三、计算题(每小题10分，共50分）
11．
解： 5分
8分
10分
12．已知3阶非零矩阵的每一列都是方程组 的解.
①求的值;②证明。
解：①因为非零矩阵的每一列都是齐次方程组的解，所以齐次线性方程组有非零解,即 5分
②由题意可得， 8分
因为，所以,即不可逆,所以 10分
注：第二问也可以用反证法，方法对即可。
13．设3阶矩阵满足等式,其中
求矩阵。
解: 3分
8分
所以。 10分
14．求向量组的秩及最大无关组。
解：
， 6分
所以,任意两个不成比例的向量组均是的一个极大无关组. 10分
15. 设
1.求二次型所对应的矩阵； 2。 求的特征值和对应的特征向量.
解:1。 二次型所对应的矩阵, 3分
2．（二重） 6分
当时,，
所以为对应的特征向量。 8分
当时,，
所以为对应的特征向量。 10分
四、解答题（10分）
16． , 已知向量
试讨论为何值时
（1）不能用线性表示；（2）可由唯一地表示，并求出表示式;(3)可由表示,但表示式不惟一，并求出表示式.
解：问题转化为方程组求解问题
增广矩阵 5分
(1）时，（若则,若则） 方程组无解，即不能用线性表示 6分
（2）时，,方程组有唯一解，即可由唯一地表示，求表示式：
8分
（3）时,，可由表示，但表示式不惟一,求表示式：
， 10分
五、证明题（每小题5分，共10分）
17．设是一组维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示。
证明：充分性：是一组维向量，任一维向量都可由它们线性表示.因此有可由线性表示,因此有
线性无关。 3分
必要性:线性无关，因此有线性相关,即
有惟一解，所以向量可由向量组线性表示,由的任意性可得任一维向量都可由线性表示。 5分
18．设为对称矩阵，为反对称矩阵，且可交换，可逆，证明：是正交矩阵。
证明：为对称矩阵，为反对称矩阵,
可交换， 2分
4分
所以是正交矩阵. 5分
8