线性代数、概率论试题及答案.doc

专门收集历年试卷
2010线性代数、概率论试题及答案

第一部分 选择题 (共28分)
一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
1.设行列式=m，=n，则行列式等于（ ）
A. m+n B. -(m+n)
C. n-m D. m-n
2.设矩阵A=，则A-1等于（ ）
A. B.
C. D.
3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ）
A. –6 B. 6
C. 2 D. –2
4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ）
A. A =0 B. BC时A=0
C. A0时B=C D. |A|0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ ）
A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0
C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0
D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
7.设矩阵A的秩为r，则A中（ ）
A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）
A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解
9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ）
A.秩(A)<n B.秩(A)=n-1
C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解
10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）
A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量
B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值
C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关
11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ）
A. k≤3 B. k<3
C. k=3 D. k>3
12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）
A.|A|2必为1 B.|A|必为1
C.A-1=AT D.A的行（列）向量组是正交单位向量组
13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ）
A.A与B相似
B. A与B不等价
C. A与B有相同的特征值
D. A与B合同
14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）
A. B.
C. D.
第二部分 非选择题（共72分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。
15. .
16.设A=，B=.则A+2B= .
17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .
18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= .
19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 .
20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .
21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= .
22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .
23.设矩阵A=，已知α=是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .
24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .
三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25.设A=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.
26.试计算行列式.
27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.
28.给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=.
试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
29.设矩阵A=.
求：（1）秩（A）；
（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。
30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.
31.试用配方法化下列二次型为标准形
f(x1,x2,x3)=，
并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.
33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明
（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；
（2）η0，η1，η2线性无关。
答案：
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）
1.D 2.B 3.B 4.D 5.C
6.D 7.C 8.A 9.A 10.B
11.A 12.B 13.D 14.C
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）
15. 6
16.
17. 4
18. –10
19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数
20. n-r
21. –5
22. –2
23. 1
24.
三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25.解（1）ABT=
=.
（2）|4A|=43|A|=64|A|，而
|A|=.
所以|4A|=64·（-2）=-128
26.解
=
=
27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而
（A-2E）-1=
所以 B=(A-2E)-1A=
=
28.解一

所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.
解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，
即
方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.
29.解 对矩阵A施行初等行变换
A
=B.
（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.
（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ1=（2，-1，0）T， ξ2=（2，0，1）T.
经正交标准化，得η1=，η2=.
λ=-8的一个特征向量为
ξ3=，经单位化得η3=
所求正交矩阵为 T=.
对角矩阵 D=
（也可取T=.）
31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32
=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.
设， 即，
因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。
经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形
y12-2y22-5y32 .
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，
所以E-A可逆，且
（E-A）-1= E+A+A2 .
33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.
（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，
所以η1，η2是Ax=b的2个解。
（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，
即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以
l1ξ1+l2ξ2=0.
又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而 l0=0 .
所以η0，η1，η2线性无关。

2010期末考试试卷参考解答及评分标准
开/闭卷
闭卷
A/B卷
A
课程编号
2219002801-2219002811
课程名称
概率论与数理统计
学分
3

命题人(签字) 审题人(签字) 年 月 日
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
基本题总分
附加题
得分

评卷人

第一部分 基本题
一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分）
1. 事件表达式AUB的意思是 ( )
(A) 事件A与事件B同时发生 (B) 事件A发生但事件B不发生
(C) 事件B发生但事件A不发生 (D) 事件A与事件B至少有一件发生
答：选D，根据AUB的定义可知。
2. 假设事件A与事件B互为对立，则事件AIB( )
(A) 是不可能事件 (B) 是可能事件
(C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件
答：选A，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。
3. 已知随机变量X,Y相互独立，且都服从标准正态分布，则X2＋Y2服从 ( )
(A) 自由度为1的c2分布 (B) 自由度为2的c2分布
(C) 自由度为1的F分布 (D) 自由度为2的F分布
答：选B，因为n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n的c2分布。
4. 已知随机变量X,Y相互独立，X~N(2,4),Y~N(-2,1), 则( )
(A) X+Y~P(4) (B) X+Y~U(2,4) (C) X+Y~N(0,5) (D) X+Y~N(0,3)
答：选C，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5, 所以有X+Y~N(0,5)。
5. 样本(X1,X2,X3)取自总体X，E(X)=m, D(X)=s2, 则有( )
(A) X1+X2+X3是m的无偏估计 (B) 是m的无偏估计
(C) 是s2的无偏估计 (D) 是s2的无偏估计
答：选B，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。
6. 随机变量X服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X的数学期望E(X)的值为( )
(A) 2 (B) 3 (C) 3.5 (D) 4
答：选C，因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。把答案填在题中横线上）
1. 已知P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则P(AIB)= __________
答：填0.18, 由乘法公式P(AIB)=P(A)P(B|A)=0.6´0.3=0.18。
2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________
答：填0.784，是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。
3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____
答：填0.25或，由古典概型计算得所求概率为。
4. 已知连续型随机变量 则P{X£1.5}=_______
答：填0.875，因P{X£1.5}。
5. 假设X~B(5, 0.5)(二项分布), Y~N(2, 36), 则E(X+Y)=__________
答：填4.5，因E(X)=5´0.5=2.5, E(Y)=2, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.5
6. 一种动物的体重X是一随机变量，设E(X)=33, D(X)=4，10个这种动物的平均体重记作Y，则D(Y)＝________
答：填0.4，因为总体X的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。
三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（10分）
解：设从甲袋取到白球的事件为A，从乙袋取到白球的事件为B，则根据全概率公式有

四、已知随机变量X服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y＝2X +1，求Y的概率密度函数。（10分）
解：已知X的概率密度函数为
Y的分布函数FY(y)为

因此Y的概率密度函数为

五、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表所示：
Y
X
-1
1
2
-1
0.1
0.2
0.3
2
0.2
0.1
0.1
(1) 试求X和Y的边缘分布率
(2) 试求E(X),E(Y),D(X),D(Y),及X与Y的相关系数rXY(满分10分)
解：(1)将联合分布表每行相加得X的边缘分布率如下表：
X
-1
2
p
0.6
0.4
将联合分布表每列相加得Y的边缘分布率如下表：
Y
-1
1
2
p
0.3
0.3
0.4
(2) E(X)=-1´0.6+2´0.4=0.2, E(X2)=1´0.6+4´0.4=2.2,
D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2.2-0.04=2.16
E(Y)=-1´0.3+1´0.3+2´0.4=0.8, E(Y2)=1´0.3+1´0.3+4´0.4=2.2
D(Y)= E(Y2)-[E(Y)]2=2.2-0.64=1.56
E(XY)=(-1)´(-1)´0.1+(-1)´1´0.2+(-1)´2´0.3+2´(-1)´0.2+2´1´0.1+2´2´0.1=
=0.1-0.2-0.6-0.4+0.2+0.4=-0.5
cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-0.5-0.16=-0.66

六、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 (满分10分)
解：已知样本均值, 样本标准差s=300, 自由度为15-1=14, 查t分布表得t0.025(14)=2.1448, 算出, 因此平均使用寿命的置信区间为，即(1784, 2116)。

附：标准正态分布函数表
F(x)
0.9
0.95
0.975
0.99
x
1.281551
1.644853
1.959961
2.326342

t分布表P{t(n)>ta(n)}=a
a
N
0.1
0.05
0.025
14
1.3450
1.7613
2.1448
15
1.3406
1.7531
2.1315
16
1.3368
1.7459
2.1199
第二部分 附加题
附加题1　设总体X的概率密度为

其中q>-1为未知参数，又设x1,x2,L,xn是X的一组样本观测值，求参数q的最大似然估计值。（满分15分）
解：似然函数

令，解出q的最大似然估计值为

附加题2　设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。（满分15分）
　　　　　Y
X
y1
y2
y3
P{X=xi}=
x1

x2

P{Y=yj}=

1
解：已知X与Y独立，则
pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)gP(Y=yj), 经简单四则运算，可得

　　　　　Y
X
y1
y2
y3
P{X=xi}=
x1

x2

P{Y=yj}=

1

11