线性代数试题及答案79486.doc

专门收集历年试卷第一部分 选择题 单项选择题1。设行列式=m，=n，则行列式等于（D ） A. m+nB。 -(m+n) C。 nmD. mn2.设矩阵A=，则A-1等于（B) A。 B. C。 D. 3。设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵,则A 中位于（1,2)的元素是（B ） A。 6B. 6 C. 2D。 24。设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有(D） A。 A =0B。 BC时A=0 C。 A0时B=CD. |A|0时B=C5。已知34矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT)等于（C ） A. 1B. 2 C。 3D. 46。设两个向量组1,2，s和1，2，s均线性相关，则（D ) A。有不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全为0的数1,2,，s使1（1+1）+2（2+2)+s（s+s）=0 C。有不全为0的数1,2，,s使1（11)+2（2-2）+s（ss）=0 D.有不全为0的数1，2,，s和不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07。设矩阵A的秩为r，则A中(C ) A.所有r1阶子式都不为0B.所有r1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0D。所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，1，2是其任意2个解，则下列结论错误的是（A） A.1+2是Ax=0的一个解B。1+2是Ax=b的一个解 C.1-2是Ax=0的一个解D。21-2是Ax=b的一个解9。设n阶方阵A不可逆,则必有(A ） A.秩(A）nB.秩(A）=n1 C.A=0D。方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(3）阶方阵，下列陈述中正确的是(B ） A.如存在数和向量使A=，则是A的属于特征值的特征向量 B。如存在数和非零向量，使（EA)=0，则是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如1,2,3是A的3个互不相同的特征值，1，2，3依次是A的属于1,2,3的特征向量，则1,2,3有可能线性相关11.设0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（A） A. k3B. k3 C. k=3D. k312。设A是正交矩阵，则下列结论错误的是(B ） A。|A2必为1B.|A必为1 C。A-1=ATD。A的行（列)向量组是正交单位向量组13。设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（D） A.A与B相似 B。 A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同14。下列矩阵中是正定矩阵的为（C） A.B. C.D。第二部分 非选择题（共72分）二、填空题15。 6 .16.设A=,B=。则A+2B=17.设A=(aij）33，A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i，j=1,2，3），则(a11A21+a12A22+a13A23）2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+（a31A21+a32A22+a33A23）2= 4 。18。设向量（2，-3，5）与向量（-4,6，a）线性相关，则a= 10 。19.设A是34矩阵，其秩为3，若1,2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为1+c(2-1）(或2+c(2-1）)，c为任意常数.20.设A是mn矩阵,A的秩为r（n），则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为nr。21.设向量、的长度依次为2和3，则向量+与的内积（+,-）=5。22。设3阶矩阵A的行列式A=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为2。23.设矩阵A=，已知=是它的一个特征向量，则所对应的特征值为1。24。设实二次型f(x1,x2，x3,x4，x5）的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为.三、计算题25。设A=,B=。求(1）ABT；（2)|4A|.解(1）ABT=。（2）4A=43A=64A,而|A|=.所以|4A=64（-2)=-12826.试计算行列式。解 =27。设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B。解 AB=A+2B即（A2E)B=A，而（A-2E）-1=所以 B=（A-2E）-1A=28。给定向量组1=，2=，3=，4=。试判断4是否为1,2，3的线性组合;若是，则求出组合系数。解一 所以4=21+2+3，组合系数为（2，1，1）.解二 考虑4=x11+x22+x33,即 方程组有唯一解(2，1，1)T，组合系数为(2，1，1)。29。设矩阵A=.求：（1）秩（A）；(2）A的列向量组的一个最大线性无关组。解 对矩阵A施行初等行变换A=B.（1）秩（B)=3,所以秩（A)=秩（B）=3。（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30。设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8。求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D。解 A的属于特征值=1的2个线性无关的特征向量为1=（2,1，0)T, 2=(2，0，1)T。经正交标准化，得1=,2=。=8的一个特征向量为3=，经单位化得3=所求正交矩阵为 T=.对角矩阵 D=（也可取T=.)31.试用配方法化下列二次型为标准形 f（x1，x2，x3）=，并写出所用的满秩线性变换。解 f（x1,x2,x3)=（x1+2x22x3）22x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3)25x32.设， 即,因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f（x1，x2，x3)的标准形 y122y22-5y32 。四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分)32.设方阵A满足A3=0，试证明EA可逆，且(E-A)1=E+A+A2.证 由于（EA）（E+A+A2）=EA3=E，所以EA可逆，且（E-A）-1= E+A+A2 .33。设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,1,2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）1=0+1,2=0+2均是Ax=b的解; （2)0，1,2线性无关。证 由假设A0=b，A1=0，A2=0.（1）A1=A（0+1）=A0+A1=b，同理A2= b，所以1，2是Ax=b的2个解。(2）考虑l00+l11+l22=0，即 （l0+l1+l2）0+l11+l22=0.则l0+l1+l2=0，否则0将是Ax=0的解，矛盾。所以l11+l22=0. 又由假设,1，2线性无关，所以l1=0,l2=0，从而 l0=0 。所以0，1，2线性无关.一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）1。 若,则_5 _。2若齐次线性方程组只有零解，则应满足。 3已知矩阵,满足，则与分别是阶矩阵。4矩阵的行向量组线性相关。5阶方阵满足，则。二、判断正误1. 若行列式中每个元素都大于零，则。（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组中,如果与对应的分量成比例,则向量组线性相关。（）4. ，则。（）5. 若为可逆矩阵的特征值,则的特征值为。 （ ）三、单项选择题 1. 设为阶矩阵，且,则（ ）。 42。 维向量组 （3 s n)线性无关的充要条件是（ ）。 中任意两个向量都线性无关 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 中不含零向量3. 下列命题中正确的是( ）. 任意个维向量线性相关 任意个维向量线性无关 任意个 维向量线性相关 任意个 维向量线性无关4。 设，均为n 阶方阵，下面结论正确的是(). 若，均可逆,则可逆 若,均可逆,则 可逆 若可逆，则 可逆 若可逆，则 ，均可逆5。 若是线性方程组的基础解系,则是的（ ） 解向量 基础解系 通解 A的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分）1. 计算行列式.解2. 设，且 求。解。 ,3。 设 且矩阵满足关系式 求。4。 问取何值时,下列向量组线性相关?。当或时，向量组线性相关。5。 为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。 当且时，方程组有唯一解;当时方程组无解当时，有无穷多组解，通解为6。 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.则 ，其中构成极大无关组，7。 设，求的特征值及对应的特征向量。特征值，对于11，特征向量为五、证明题 （7分）若是阶方阵，且 证明 。其中为单位矩阵., 一、选择题1、设，为n阶方阵，满足等式，则必有（C ）（A）或; （B）； （C）或; (D）。2、和均为阶矩阵，且,则必有（D ）(A) ； (B)； （C) . （D) 。3、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是（A ）（A） 的列向量线性无关； （B） 的列向量线性相关；(C) 的行向量线性无关； (D） 的行向量线性相关。4、 阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是(A）(A） 的秩小于； (B） ；(C) 的特征值都等于零； （D） 的特征值都不等于零;二、填空题5、若4阶矩阵的行列式,是A的伴随矩阵，则=125。6、为阶矩阵，且，则。7、已知方程组无解,则1。8、二次型是正定的，则的取值范围是。三、计算题9、计算行列式解：第一行减第二行,第三行减第四行得：第二列减第一列，第四列减第三列得： 按第一行展开得按第三列展开得。10、计算阶行列式解：把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子，再通过行列式的变换化为上三角形行列式四、证明题11、若向量组线性相关，向量组线性无关。证明：（1） 能有线性表出；(2） 不能由线性表出。证明：(1）、 因为线性无关，所以线性无关。,又线性相关，故能由线性表出。 (4分)，（2）、（反正法）若不,则能由线性表出，不妨设。由（1）知，能由线性表出，不妨设。所以，这表明线性相关,矛盾。12、设是阶矩方阵，是阶单位矩阵，可逆，且。证明（1） ；（2） 。证明 （1）（2）由(1)得：,代入上式得五、解答题13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。解:（1）由得的特征值为，。 (2）的特征向量为，的特征向量为，的特征向量为. (3)因为特征值不相等，则正交。 (4）将单位化得, (5）取（6）14、已知方程组与方程组有公共解。求的值。解：该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为因，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。 另一方面，记向量，则直接计算得，就是它的一个基础解系.根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为，。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，,是它的三个解向量，且，求该方程组的通解.解：将与联立得非齐次线性方程组：若此非齐次线性方程组有解, 则与有公共解, 且的解即为所求全部公共解. 对的增广矩阵作初等行变换得： . 1当时，有,方程组有解， 即与有公共解, 其全部公共解即为的通解,此时,则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为: ，所以与的全部公共解为，k为任意常数。 2 当时，有，方程组有唯一解, 此时，故方程组的解为:, 即与有唯一公共解。 7