线性代数试题及答案79486.doc

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第一部分 选择题 单项选择题
1。设行列式=m，=n，则行列式等于（D ）
A. m+n B。 -(m+n)
C。 n—m D. m—n
2.设矩阵A=，则A-1等于（B)
A。 B.
C。 D.
3。设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵,则A ＊中位于（1,2)的元素是（B ）
A。 –6 B. 6 C. 2 D。 –2
4。设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有(D ）
A。 A =0 B。 BC时A=0
C。 A0时B=C D. |A|0时B=C
5。已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT)等于（C ）
A. 1 B. 2
C。 3 D. 4
6。设两个向量组α1,α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（D )
A。有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0的数λ1,λ2,…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2)+…+λs（αs+βs）=0
C。有不全为0的数λ1,λ2，…,λs使λ1（α1—β1)+λ2（α2-β2）+…+λs（αs—βs）=0
D.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
7。设矩阵A的秩为r，则A中(C )
A.所有r—1阶子式都不为0 B.所有r—1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0 D。所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（A）
A.η1+η2是Ax=0的一个解 B。η1+η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解 D。2η1-η2是Ax=b的一个解
9。设n阶方阵A不可逆,则必有(A ）
A.秩(A）〈n B.秩(A）=n—1
C.A=0 D。方程组Ax=0只有零解
10.设A是一个n(≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是(B ）
A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量
B。如存在数λ和非零向量α，使（λE—A)α=0，则λ是A的特征值
C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量，则α1,α2,α3有可能线性相关
11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（A）
A. k≤3 B. k〈3
C. k=3 D. k〉3
12。设A是正交矩阵，则下列结论错误的是(B ）
A。|A｜2必为1 B.|A｜必为1
C。A-1=AT D。A的行（列)向量组是正交单位向量组
13。设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（D）
A.A与B相似
B。 A与B不等价
C. A与B有相同的特征值
D. A与B合同
14。下列矩阵中是正定矩阵的为（C）
A. B.
C. D。
第二部分 非选择题（共72分）
二、填空题
15。 6 .
16.设A=,B=。则A+2B=
17.设A=(aij）3×3，｜A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i，j=1,2，3），则(a11A21+a12A22+a13A23）2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+（a31A21+a32A22+a33A23）2= 4 。
18。设向量（2，-3，5）与向量（-4,6，a）线性相关，则a= –10 。
19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为η1+c(η2-η1）(或η2+c(η2-η1）)，c为任意常数.
20.设A是m×n矩阵,A的秩为r（<n），则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为n—r。
21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α—β的内积（α+β,α-β）=–5。
22。设3阶矩阵A的行列式｜A｜=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为–2。
23.设矩阵A=，已知α=是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为1。
24。设实二次型f(x1,x2，x3,x4，x5）的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为.
三、计算题
25。设A=,B=。求(1）ABT；（2)|4A|.
解(1）ABT=
=。
（2）｜4A｜=43｜A｜=64｜A｜,而
|A|=.
所以|4A｜=64·（-2)=-128
26.试计算行列式。
解
=
=
27。设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B。
解 AB=A+2B即（A—2E)B=A，而
（A-2E）-1=
所以 B=（A-2E）-1A=
=
28。给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=。
试判断α4是否为α1,α2，α3的线性组合;若是，则求出组合系数。
解一
所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.
解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,
即
方程组有唯一解(2，1，1)T，组合系数为(2，1，1)。
29。设矩阵A=.
求：（1）秩（A）；
(2）A的列向量组的一个最大线性无关组。
解 对矩阵A施行初等行变换
A
=B.
（1）秩（B)=3,所以秩（A)=秩（B）=3。
（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
30。设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8。求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D。
解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ1=（2,—1，0)T, ξ2=(2，0，1)T。
经正交标准化，得η1=,η2=。
λ=—8的一个特征向量为
ξ3=，经单位化得η3=
所求正交矩阵为 T=.
对角矩阵 D=
（也可取T=.)
31.试用配方法化下列二次型为标准形
f（x1，x2，x3）=，
并写出所用的满秩线性变换。
解 f（x1,x2,x3)=（x1+2x2—2x3）2—2x22+4x2x3-7x32
=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3)2—5x32.
设， 即,
因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。
经此变换即得f（x1，x2，x3)的标准形
y12—2y22-5y32 。
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分)
32.设方阵A满足A3=0，试证明E—A可逆，且(E-A)—1=E+A+A2.
证 由于（E—A）（E+A+A2）=E—A3=E，
所以E—A可逆，且
（E-A）-1= E+A+A2 .
33。设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明
（1）η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b的解;
（2)η0，η1,η2线性无关。
证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.
（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，
所以η1，η2是Ax=b的2个解。
(2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，
即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以
l1ξ1+l2ξ2=0.
又由假设,ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0,l2=0，从而 l0=0 。
所以η0，η1，η2线性无关.
一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）
1。 若,则_____5 _____。
2．若齐次线性方程组只有零解，则应满足。
3．已知矩阵,满足，则与分别是阶矩阵。
4．矩阵的行向量组线性相关。
5．阶方阵满足，则。
二、判断正误
1. 若行列式中每个元素都大于零，则。（× ）
2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ √ ）
3. 向量组中,如果与对应的分量成比例,则向量组线性相关。（√）
4. ，则。（√）
5. 若为可逆矩阵的特征值,则的特征值为。 （× ）
三、单项选择题
1. 设为阶矩阵，且,则（③ ）。
① ② ③ ④ 4
2。 维向量组 （3 £ s £ n)线性无关的充要条件是（③ ）。
① 中任意两个向量都线性无关
② 中存在一个向量不能用其余向量线性表示
③ 中任一个向量都不能用其余向量线性表示
④ 中不含零向量
3. 下列命题中正确的是(③ ）.
① 任意个维向量线性相关
② 任意个维向量线性无关
③ 任意个 维向量线性相关
④ 任意个 维向量线性无关
4。 设，均为n 阶方阵，下面结论正确的是(②).
① 若，均可逆,则可逆 ② 若,均可逆,则 可逆
③ 若可逆，则 可逆 ④ 若可逆，则 ，均可逆
5。 若是线性方程组的基础解系,则是的（① ）
① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A的行向量
四、计算题 ( 每小题9分，共63分）
1. 计算行列式.
解·
2. 设，且 求。
解。 ,
3。 设 且矩阵满足关系式 求。
4。 问取何值时,下列向量组线性相关?。
当或时，向量组线性相关。
5。 为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。
① 当且时，方程组有唯一解;
②当时方程组无解
③当时，有无穷多组解，通解为
6。 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.
则 ，其中构成极大无关组，
7。 设，求的特征值及对应的特征向量。
特征值，对于λ1＝1，，特征向量为
五、证明题 （7分）
若是阶方阵，且 证明 。其中为单位矩阵.
∴, ∵
一、选择题
1、设，为n阶方阵，满足等式，则必有（C ）
（A）或; （B）； （C）或; (D）。
2、和均为阶矩阵，且,则必有（D ）
(A) ； (B)； （C) . （D) 。
3、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是（A ）
（A） 的列向量线性无关； （B） 的列向量线性相关；
(C) 的行向量线性无关； (D） 的行向量线性相关。
4、 阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是(A）
(A） 的秩小于； (B） ；
(C) 的特征值都等于零； （D） 的特征值都不等于零;
二、填空题
5、若4阶矩阵的行列式,是A的伴随矩阵，则=—125。
6、为阶矩阵，且，则。
7、已知方程组无解,则—1。
8、二次型是正定的，则的取值范围是。
三、计算题
9、计算行列式
解：第一行减第二行,第三行减第四行得：
第二列减第一列，第四列减第三列得：
按第一行展开得
按第三列展开得
。
10、计算阶行列式
解：把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子，再通过行列式的变换化为上三角形行列式
四、证明题
11、若向量组线性相关，向量组线性无关。证明：
（1） 能有线性表出；
(2） 不能由线性表出。
证明：
(1）、 因为线性无关，所以线性无关。,
又线性相关，故能由线性表出。 (4分)
，
（2）、（反正法）若不,则能由线性表出，
不妨设。
由（1）知，能由线性表出，
不妨设。
所以，
这表明线性相关,矛盾。
12、设是阶矩方阵，是阶单位矩阵，可逆，且。
证明
（1） ；
（2） 。
证明
（1）
（2）
由(1)得：,代入上式得
五、解答题
13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。
解:（1）由得的特征值为，，。
(2）的特征向量为，
的特征向量为，
的特征向量为.
(3)因为特征值不相等，则正交。
(4）将单位化得,,
(5）取（6）
14、已知方程组与方程组有公共解。
求的值。
解：该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为
因，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。
另一方面，记向量，则
直接计算得，就是它的一个基础解系.根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为
，。
15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，,是它的三个解向量，且
，
求该方程组的通解.
解：将①与②联立得非齐次线性方程组：
若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解.
对③的增广矩阵作初等行变换得：
.
1°当时，有,方程组③有解， 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解,此时
,
则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ，
所以①与②的全部公共解为，k为任意常数。
2° 当时，有，方程组③有唯一解, 此时
，
故方程组③的解为:, 即①与②有唯一公共解。
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