高中数学第八章立体几何初步专项训练.pdf

(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步专项训练（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步专项训练 单选题 1、如图直角 是一个平面图形的直观图，斜边=4，则原平面图形的面积是（）A82B42C4D2 答案：A 解析：根据斜二测画法规则可求原平面图形三角形的两条直角边长度，利用三角形的面积公式即可求解.由题意可知 为等腰直角三角形，=4，则=22，所以原图形中，=4，=42，故原平面图形的面积为12 4 42=82.故选：A 2、“迪拜世博会”于 2021 年 10 月 1 日至 2022 年 3 月 31 日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为12cm，外层底面直径为16cm，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20cm的球面上.此模型的体积为（）A304cm3B840cm3C912cm3D984cm3 答案：C 分析：求出内层圆柱，外层圆柱的高，该模型的体积等于外层圆柱的体积与上下面内层圆柱高出的几何体的体积之和，计算可得解.如图，该模型内层圆柱底面直径为12cm，且其底面圆周在一个直径为20cm的球面上，可知内层圆柱的高1=2(202)2(122)2=16 同理，该模型外层圆柱底面直径为16cm，且其底面圆周在一个直径为20cm的球面上，可知外层圆柱的高2=2(202)2(162)2=12 此模型的体积为=(162)2 12+(122)2(16 12)=912 故选：C 3、某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）A132B223C152D233 答案：C 分析：根据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为 2 的正方体截去两个小三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求解 解：根据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为 2 的正方体截去两个小三棱锥，由图示可知，该空间几何体体积为=23(1312 12 1+1312 12 2)=152，故选：C.4、一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设的中点为M，的中点为N，下列结论正确的是（）A/平面B/平面 C/平面D/平面 答案：C 解析：根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH的中点O,连接ON,BO，可以证明MNBO,利用BO与平面ABE的关系可以判定MN与平面ABE的关系，进而对选择支 A 作出判定；根据MN与平面BCF的关系，利用面面平行的性质可以判定MN与平面ADE的关系，进而对选择支 B 作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN与平面BDE的平行关系，进而判定 C；利用M,N在平面CDEF的两侧，可以判定MN与平面CDE的关系，进而对 D 作出判定.根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，易知ON与BM平行且相等，四边形ONMB为平行四边形，MNBO,BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；平面ADE平面BCF,MN平面BCF=M,MN与平面ADE相交，故B错误；BO 平面BDHF,即BO平面BDH,MNBO,MN 平面BDHF,MN平面BDH,故C正确；显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.故选：C.小提示：本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN的平行线BO.5、已知三棱锥 ，其中 平面，=120，=2，则该三棱锥外接球的表面积为（）A12B16C20D24 答案：C 分析：根据余弦定理、正弦定理，结合球的性质、球的表面积公式进行求解即可.根据题意设底面 的外心为，O为球心，所以 平面，因为 平面，所以/，设是中点，因为=，所以 ，因为 平面，平面，所以 ，因此/，因此四边形是平行四边形，故=12=1，由余弦定理，得 =2+2 2 cos120=4+4 2 2 2 (12)=23，由正弦定理，得2=2332 =2，所以该外接球的半径满足2=()2+()2=5 =42=20，故选：C 小提示：关键点睛：运用正弦定理、余弦定理是解题的关键.6、已知一个圆锥的体积为3，其侧面积是底面积的 2 倍，则其底面半径为（）A23B3C3D33 答案：C 分析：根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果.设底面半径为，高为，母线为，如图所示：则圆锥的体积=132=3，所以2=9，即=92，侧=12 2=22，则=2，又=2 2=3，所以33=9，故=3 故选：C 7、如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（）A平面ABCDB平面PBC C平面PADD平面PCD 答案：C 分析：由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直.因为 平面ABCD，平面ABCD，所以 ，由四边形ABCD为矩形得 ，因为 =，所以 平面PAD 又 平面PCD，所以平面 平面PAD 故选：C 8、下列说法正确的有（）两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；经过球面上不同的两点只能作一个大圆；各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；圆锥的轴截面是等腰三角形.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案：A 解析：根据棱台、球、正方体、圆锥的几何性质，分析判断，即可得答案.中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱延长线会交于一点，所以不正确；中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以不正确；中底面不一定是正方形，所以不正确；中圆锥的母线长相等，所以轴截面是等腰三角形，所以是正确的.故选：A 9、下列命题中 空间中三个点可以确定一个平面.直线和直线外的一点，可以确定一个平面.如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面.如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面.如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合.真命题的个数为（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案：A 分析：根据空间位置关系可直接判断各命题.命题：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误；命题：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确；命题：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题错误；命题：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题错误；命题：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题错误；故选：A.10、如图所示，在直三棱柱 111中，1=1，=3，cos=13，P是1上的一动点，则+1的最小值为（）A5B7C1+3D3 答案：B 分析：连接1，以1所在直线为轴，将 11所在平面旋转到平面11，设点1的新位置为，连接，判断出当、三点共线时，则即为+1的最小值.分别求出1=120,1=1,1=2,利用余弦定理即可求解.连接1，得 11，以1所在直线为轴，将 11所在平面旋转到平面11，设点1的新位置为，连接，则有+1.当、三点共线时，则即为+1的最小值.在三角形ABC中，=3，cos=13，由余弦定理得：=2+2 2 cos=3+3 2 3 13=2,所以11=2，即1=2 在三角形1中，1=1，=3，由勾股定理可得：1=12+2=1+3=2,且1=60.同理可求：1=2 因为1=1=11=2，所以 11为等边三角形，所以11=60，所以在三角形1中，1=1+1=120,1=1,1=2,由余弦定理得：=1+4 2 1 2 (12)=7.故选 B.小提示：（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.填空题 11、已知一个圆锥的侧面积为2，若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为_.答案：324#324 分析：由圆锥侧面积公式求得底面半径=12，体高为32，应用圆锥的体积公式求体积.由题设，令圆锥底面半径为，则体高为3，母线为2，所以12 2 2=2，则=12，故圆锥的体积为13 3 2=324.所以答案是：324 12、如图，在直四棱柱 1111中，当底面ABCD满足条件_时，有1 11.（只需填写一种正确条件即可）答案：(答案不唯一)分析：直四棱柱 1111，11是1在上底面1111的投影，当11 11时，可得1 11，当然底面ABCD满足的条件也就能写出来了.根据直四棱柱 1111可得：1 1，且1=1，所以四边形11是矩形，所以 11，同理可证：11，当 时，可得：11 11，且1底面1111，而11底面1111，所以1 11，而11 1=1，从而11平面11，因为1 平面11，所以1 11，所以当 满足题意.所以答案是：.13、如图已知A是 所在平面外一点，=，EF分别是、的中点，若异面直线与所成角的大小为3，则与所成角的大小为_.答案：3或6 分析：取的中点，连接,，则=3或=23，分别分析这两种情况下的大小即为与所成角.解：如图所示：取的中点，连接,，则/，/，所以为异面直线与所成角或其补角.因为=，所以=，当=3时，为等边三角形，=3，即与所成角的大小为3；当=23时，=，为等腰三角形，=6，即与所成角的大小为6.所以答案是：3或6.14、给出下列命题：任意三点确定一个平面；三条平行直线最多可以确定三个个平面；不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；其中说法正确的有_（填序号）.答案：解析：对四个选项进行逐一分析即可.对：根据公理可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误；对：三条平行线，可以确定平面的个数为 1 个或者 3 个，故正确；对：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；对：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误.综上所述，正确的有.所以答案是：.小提示：本题考查立体几何中的公理、线面平行的判定，属综合基础题.15、已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为30则该圆锥的侧面积为_.答案：39 分析：利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.=1362 =30 =52 =2+2=(52)2+62=132 侧=6 132=39.所以答案是：39.解答题 16、如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 4 的正方形，PA4，PDPB，点E在线段PA上，PE3EA，BEAD，点F，G分别是线段BC，CD的中点 (1)证明：PA平面ABCD；(2)求三棱锥PEFG的体积 答案：(1)证明见解析(2)6 分析：（1）根据线面垂直的判定可得 平面，进而得到 ，再根据 可得 ，进而证明 平面即可；（2）根据=3可得=34，再计算即可(1)证明：因为 ，且正方形，故 ，又 =，,平面，故 平面.又 平面，故 .又=，=，=，故 ，故 ，又 =，,平面，故 平面(2)因为=3，故=14，故=34，又点F，G分别是线段BC，CD的中点，故=4 4 12 2 4 12 2 4 12 2 2=6，故=34=3413 6 4=6 17、养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为 12 m，高为 4 m养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m（高不变）；二是高度增加 4 m（底面直径不变）(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？答案：(1)方案一：2563（m3），方案二：96（m3）；(2)方案一：325（m2），方案二：60（m2）；(3)方案二比方案一更加经济些.分析：（1）根据圆锥的体积计算公式，带值计算即可；（2）根据圆锥的表面积计算公式，带值计算即可；（3）根据（1）（2）所求，比较体积和表面积的大小，即可判断.（1）按照方案一：仓库的底面直径为16m，高为 4 m，则仓库的体积为1=13=13 (162)2 4=2563（m3）；按照方案二：仓库的底面直径为12m，高为 8 m，则仓库的体积为2=13=13 (122)2 8=96（m3）,（2）根据题意，仓库的表面积即为圆锥的侧面积；按照方案一：仓库的底面直径为16m，高为 4 m，圆锥的母线长=82+42=45（m）则仓库的表面积1=8 45=325（m2）；按照方案二：仓库的底面直径为12m，高为 8 m，圆锥的母线长=62+82=10（m）则仓库的表面积为2=6 10=60（m2）.（3）根据（1）（2）所求，1 2,2 1，故方案二比方案一更加经济些.18、四面体ABCD如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面，分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H证明：E、F、G、H四点共面且四边形EFGH是平行四边形 答案：证明见解析 分析：根据线面平行的性质定理，分别证得，则得，从而可证得E、F、G、H四点共面，同理可证得，再根据平行四边形的判定定理可得结论 因为 平面，平面 平面=，平面 平面=，所以，所以，所以E、F、G、H四点共面，同理可证得，所以，所以四边形EFGH是平行四边形 19、在 中，角,所对的边分别是,，为的角平分线，已知=2且2+2 2=(23 2cos)，=655.(1)求 的面积；(2)设点,分别为边,上的动点，线段交于，且 的面积为 面积的一半，求 的最小值.答案：(1)245(2)4825 分析：（1）结合余弦定理和正弦定理边化角可得sin=13sin，进而得到=13；利用正弦定理可推导得到=13，设=，在 和 中，利用余弦定理可构造方程求得；在 中利用余弦定理可求得cos，进而得到sin，利用三角形面积公式可求得结果；（2）设|=(0 2)，|=(0 6)，=，由向量线性运算可得=34+4；由,三点共线可得=+(1 )，进而可构造方程组得到=+，结合平面向量线性运算和向量数量积运算性质可将 表示为485(126+2 1)，由范围可求得最小值.(1)由余弦定理可得：2+2 2=2cos，则2cos=(23 2cos)，cos=13 cos，由正弦定理得：sincos=13sin cossin，sincos+cossin=sin(+)=sin()=sin=13sin，则=13；又=2，=6，sin=sin2，sin=sin2，又sin=sin()=sin，=13，设=，则=3，cos2=2+222=2+222，即4+36524655=36+3659212655，解得：=2105，=4=8105，cos=2+222=4+36128524=35，则sin=45，=12 sin=12 2 6 45=245.(2)设|=(0 2)，|=(0 6)，由（1）知：=13；=+=+14=+14()=34+14；设=，则=34+4，,三点共线，可令=+(1 )=2+(1)6，则34=24=(1)6，解得：=+，=2+2+6+6；又=6 2，=|cos=365，=(2+2+6+6)(6 2)=24+4 2+236+36 2+()12+12 =2+2+3()5+5=82+825+5=85()+；=12=12sin=25=125，=6，=485+=48566+=485626+2=485(126+2 1)，0 2，当=2时，()min=485(126+4 1)=4825.