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(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第八章立体几何初步经典知识题库全国通用版高中数学第八章立体几何初步经典知识题库 单选题 1、正方体中，点，是其所在棱的中点，则与是异面直线的图形是（）AB CD 答案：C 分析：对于 A，B，D，利用两平行线确定一个平面可以证明直线与共面，对于 C，利用异面直线的定义推理判断作答 对于 A，在正方体 1111中，连接，11，则/11，如图，因为点，是其所在棱的中点，则有/，/11，因此/，则直线与共面，A 错误；对于 B，在正方体 1111中，连接，如图，因为点，是其所在棱的中点，有/且=，则四边形为平行四边形，即有/，又/，因此/，直线与共面，B 错误；对于 C，在正方体 1111中，如图，因为点，是其所在棱的中点，有/1，而1平面11，平面11，则/平面11，平面11，则直线与无公共点，又直线与直线1相交，于是得直线与不平行，则直线与是异面直线，C 正确；对于，在正方体 1111中，连接1，1，如图，因为11/且11=，则四边形11为平行四边形，有1/1，因为点，是其所在棱的中点，有/1，/1，则/，直线与共面，D 错误.故选：C 2、圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A11B12C21D23 答案：A 分析：按圆柱侧面积和球的表面积公式计算即可.设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是 2r，圆柱的侧面积=2 2=42，球的表面积为42，其比例为 1:1，故选：A.3、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（）A100cm3B200cm3C300cm3D400cm3 答案：B 分析：根据题意可知圆台上底面半径为 3，下底面半径为 5，高为 4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以4=610，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为 3，下底面半径为 5，高为 4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以4=610，解得：=10，则大圆锥的底面半径为 5，高为 10，小圆锥的底面半径为 3，高为 6，所以该壶的容积=13 52 10 13 32 6=1963 2003.故选：B.4、已知直线a与平面,，能使/的充分条件是（）,/,/,/,ABCD 答案：D 解析：根据线面的平行关系，结合相关性质，逐个分析判断即可得解.对，若 ,，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故错误；对，若/,/，则/，平面的平行具有传递性，故正确；对，若/,/，平行于同一直线的两平面可以相交，故错误；对，,，垂直于同一直线的两平面平行，故正确.综上：正确，故选：D.5、如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（）A梯形 B平行四边形 C可能是梯形也可能是平行四边形 D矩形 答案：B 解析：利用面面平行的性质判断与的平行、与平行.因为平面/平面,且平面 平面=,平面 平面=,根据面面平行的性质可知/,同理可证明/.所以四边形为平行四边形.故选：B.小提示：本题考查长方体截面形状判断，考查面面平行的性质应用，较简单.6、若直线 平面，直线 平面，则直线a与直线b的位置关系为（）A异面 B相交 C平行 D平行或异面 答案：C 解析：利用线面垂直的性质定理进行判断.由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线 平面，直线 平面时，直线与直线平行.故选：C.7、下列条件中，能得出直线与平面平行的是（）A直线与平面内的所有直线平行 B直线与平面内的无数条直线平行 C直线与平面没有公共点 D直线与平面内的一条直线平行 答案：C 分析：根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可.对 A，直线与平面内的所有直线平行不可能，故 A 错误；对 B，当直线在平面内时，满足直线与平面内的无数条直线平行，但与不平行；对 C，能推出与平行；对 D，当直线在平面内时，与不平行.故选：C.8、下列说法正确的有（）两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；经过球面上不同的两点只能作一个大圆；各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；圆锥的轴截面是等腰三角形.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案：A 解析：根据棱台、球、正方体、圆锥的几何性质，分析判断，即可得答案.中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱延长线会交于一点，所以不正确；中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以不正确；中底面不一定是正方形，所以不正确；中圆锥的母线长相等，所以轴截面是等腰三角形，所以是正确的.故选：A 9、已知圆锥的底面半径为，高为3，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A22B942C832D2 答案：B 分析：根据圆柱的表面积公式以及二次函数的性质即可解出 设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，所以在轴截面三角形中，如图所示：由相似可得，=33，所以，=3 3，即圆柱的全面积为 =22+2=22+2(3 3)=2(22+3)=22(34)2+982 942，当且仅当=34时取等号 故选：B 10、在正方体 1111中，P为11的中点，则直线与1所成的角为（）A2B3C4D6 答案：D 分析：平移直线1至1，将直线与1所成的角转化为与1所成的角，解三角形即可.如图，连接1,1,，因为1 1，所以1或其补角为直线与1所成的角，因为1平面1111，所以1 1，又1 11，1 11=1，所以1平面1，所以1，设正方体棱长为 2，则1=22,1=1211=2，sin1=11=12，所以1=6.故选：D 11、如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（）A18B20C223D26 答案：A 分析：由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可 解：由题意得，球的半径=2，圆柱的底面半径=1，高=3，则该几何体的表面积为=22+2+2=8+4+2 1 3=18 故选：A.12、九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵 111中，且1=2.下列说法错误的是（）A四棱锥 11为“阳马”B四面体11为“鳖臑”C四棱锥 11体积最大为23 D过A点分别作 1于点E，1于点F，则 1 答案：C 分析：由新定义结合线面垂直的判定、性质、体积公式逐项判断即可得解.底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”.所以在堑堵 111中，侧棱1平面,在选项 A 中，因为1，且1 =，则 平面11，且11为矩形，所以四棱锥 11为“阳马”，故 A 正确；在选项 B 中，由11，11 1且1 =，所以11平面11，所以11 1，则 11为直角三角形，由 平面11，得 1,1为直角三角形，由“堑堵”的定义可得 11为直角三角形，所以四面体11为“鳖臑”，故 B 正确;在选项 C 中，在底面有4=2+2 2 ，即 2，当且仅当=时取等号，则11=1311 =131 =23 43，所以 C 不正确；在选项 D 中，由 平面11，则 ,1且1 =，则 平面1，所以 1,又 1且 =，则1 平面，则1 ，所以 D 正确.故选：C.填空题 13、用长和宽分别为4和的矩形纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径为_.答案：2或12 分析：分别以4和为圆柱底面的周长，然后根据圆的周长公式，即可求出底面的半径 设底面圆的周长半径为，若以长4的边为底面周长，则圆柱的底面周长4=2，=2，若以长的边为底面周长，则圆柱的底面周长=2 =12.所以答案是：2或12.14、如图，矩形是平面图形斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为 8，则平面图形的面积为_.答案：162 分析：根据直观图形和原图形面积之间的比例关系求解即可 根据直观图与原图的面积比值为定值24，可得平面图形的面积为824=162.所以答案是：162.15、如图，过球的一条半径的中点1，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的面积与球的表面积之比为_ 答案：316 分析：求出截面圆半径后可得面积比 截面圆半径为，球半径为，则由题意得=2(12)2=32，所以截面圆面积与球表面积比为1=242=34242=316 所以答案是：316 16、给出下列命题：任意三点确定一个平面；三条平行直线最多可以确定三个个平面；不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；其中说法正确的有_（填序号）.答案：解析：对四个选项进行逐一分析即可.对：根据公理可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误；对：三条平行线，可以确定平面的个数为 1 个或者 3 个，故正确；对：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；对：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误.综上所述，正确的有.所以答案是：.小提示：本题考查立体几何中的公理、线面平行的判定，属综合基础题.17、空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的 2 倍，这样的平面的个数是_个 答案：32 分析：按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解 首先取 3 个点相等，不相等的那个点由 4 种取法；然后分 3 分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有 2 个；（2）不同侧，必然 2 个点在一侧，另一个点在一侧，1 个点的取法有 3 种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有 6 个，所有这两种情况共有 8 个，综上满足条件的这样的平面共有4 8=32个，所以答案是：32 解答题 18、如图，在直角梯形ABCD中，/，点E是BC的中点将 沿BD折起，使 ，连接AE、AC、DE，得到三棱锥 (1)求证：平面 平面BCD；(2)若=1，二面角 的大小为 60，求三棱锥 的体积 答案：(1)证明见解析(2)33 分析：（1）证明 平面，得到 ，再证明 平面，得到证明.（2）,分别为,的中点，证明为二面角 的平面角，设=，根据等面积法得到=22，计算体积得到答案.(1)，=，故 平面，平面，故 ，=，故 平面，平面BCD，故平面 平面BCD.(2)如图所示：,分别为,的中点，连接,，,分别为,中点，故 ，平面，故 平面，平面，故 .,分别为,中点，故 ，故 ，=，故 平面，故为二面角 的平面角，即=60，设=，则=2，=3，=2，=23，=42+1，=162+1，根据 的等面积法：23 42+1=2 162+1，解得=22.=13(12 )=16 2 1 6=33.19、如图，长方体 1111中，|=|=1，|1|=2，点为1的中点.(1)求证：直线1/平面PAC；(2)求异面直线1与AP所成角的大小.答案：(1)证明见解析(2)30 分析：（1）设和交于点，可得 1，根据线面平行的判定定理即可得证（2）由/1，得即为异面直线1与所成的角求得各个边长，根据三角函数的定义，即可得答案.（1）设和交于点，则为的中点，连接，是1的中点，/1，又 平面，1平面，直线1/平面；（2）由(1)知，/1，即为异面直线1与所成的角，|=|=2+2=2，|=12|=22，且 ，sin=|=222=12 又 (0，90，=30 故异面直线1与所成角的大小为30 20、如图，正三棱柱 111的棱长均为 2，M是侧棱1的中点 （1）在图中作出平面与平面1的交线l（简要说明），并证明 平面11；（2）求点C到平面1的距离 答案：（1）答案见解析；（2）2.分析：（1）利用平面的基本性质作平面的交线，利用线面垂直的判定定理证明线面垂直;（2）利用等体积转化可得答案.（）延长1,交CA的延长线于N，连接BN，N在直线CA上，平面ABC，平面ABC，又 平面ABC内，直线 平面ABC，直线C1M，直线C1M 平面MBC1，平面MBC1，又 平面MBC1，直线 平面MBC1，平面 1=，平面 1=；为AA1的中点，CC1/AA1,:C=:1=1:2，=2，又 正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长均为 2，=2,C，B，N在以A为圆心半径为 2 的圆周上，直径为CN,由于直径所对的圆周角为直角，为直角，即NBBC，又 正三棱柱的侧棱BB1底面ABC，直线 平面ABC，BB1直线BN，又BB1BC=B，1平面BB1C1C，平面BB1C1C，直线BN平面BB1C1C,即直线l平面BB1C1C.（2）由（1）知 平面11，平面11，所以 ,=2 2=16 4=23，1=22+2=22，所以1=12 1=12 23 22=26，=12 =12 23 2=23，设到平面1的距离为h，因为1=1，所以131=131，即2 23=26 解得=2，点C到平面1的距离为2.小提示：本题考查正三棱柱的结构特征，空间作图问题和线面垂直的证明，体积问题，属基础题，关键是熟练掌握平面的基本性质，严格准确使用线面垂直的判定定理证明，熟悉棱柱体积的求法.