2023年人教版高中数学第八章立体几何初步专项训练.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第八章立体几何初步专项训练年人教版高中数学第八章立体几何初步专项训练 单选题 1、如图，在下列四个正方体中，,为正方体的两个顶点，,为所在棱的中点，则直线与平面不平行的是（）AB CD 答案：A 分析：利用线面平行的判定定理逐项判断可得出合适的选项 对于 A 选项，连接、交于点，则为的中点，设 =，连接，因为、分别为、的中点，则/，若/平面，平面，平面 平面=，则/，在平面内，过该平面内的点作直线的平行线，有且只有一条，与题设矛盾，假设不成立，故 A 选项中的直线与平面不平行 对于 B 选项，连接，如下图所示：因为/且=，所以，四边形为平行四边形，所以/，因为、分别为、的中点，所以/，所以/，因为 平面，平面，所以，/平面；对于 C 选项，连接，如下图所示：因为/且=，所以，四边形为平行四边形，所以/，因为、分别为、的中点，所以/，所以/，因为 平面，平面，所以，/平面；对于 D 选项，连接，如下图所示：因为/且=，所以，四边形为平行四边形，所以/，因为、分别为、的中点，则/，所以/，因为 平面，平面，所以，/平面；故选：A 2、已知在棱长均为2的正三棱柱 111中，点为11的中点，若在棱上存在一点，使得1/平面，则1的长度为（）A2B5C6D3 答案：B 解析：设点为的中点，取11的中点，连接，然后证明1/平面即可.如图，设点为的中点，取11的中点，连接，则1/，又1 平面，平面，1/平面，易知/，故平面与平面是同一个平面，1/平面，此时1=5，故选：B 3、如图，在梯形中，且=2，点为线段的靠近点的一个四等分点，点为线段的中点，与交于点，且=+，则+的值为（）A1B57C1417D56 答案：C 分析：由向量的线性运算法则化简得到=(2)+2 和=(1 )+43，结合,三点共线和,三点共线，得出2+3 2=0和3 4=0，联立方程组，即可求解.根据向量的线性运算法则，可得=+=+(+)=+=()+(+)=()+(2+12)=()+2+12 =(2)+2，因为,三点共线，可得 2+2=1，即2+3 2=0；又由=+=+=+43=(1 )+43，因为,三点共线，可得1 +43=1，即3 4=0，联立方程组2+3 2=03 4=0，解得=817,=617，所以+=1417.故选：C.4、下列命题错误的是（）A直棱柱的侧棱都相等，侧面都是矩形 B用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 D棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形 答案：B 分析：利用直棱柱的几何特征可判断 A 选项的正误；利用棱台的定义可判断 B 选项的正误；由线面垂直、面面垂直的判定定理可判断 C 选项的正误；利用棱台的几何特征可判断 D 选项的正误.直棱柱的侧棱都相等，侧面都是矩形，A 正确；若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，B 错误；在三棱锥 中，、两两垂直，=，故 平面，平面，则平面 平面，同理可得平面 平面，平面 平面，C 正确；用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，所以，棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形，D 正确.故选：B.5、已知球O的体积为36，则该球的表面积为（）A6B9C12D36 答案：D 分析：根据球的体积公式求出半径，即可求出表面积.设球的体积为，则由题可得433=36，解得=3，则该球的表面积为4 32=36.故选：D.6、如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为 3 的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A23B24C26D27 答案：D 分析：作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.该几何体由直三棱柱 及直三棱柱 组成，作 于M，如图，因为=3,=120，所以=332,=32，因为重叠后的底面为正方形，所以=33,在直棱柱 中，平面BHC，则 ,由 =可得 平面，设重叠后的EG与交点为,则=13 33 33 32=272,=12 33 32 33=814 则该几何体的体积为=2=2 814272=27.故选：D.7、下列命题：有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 其中正确命题的个数为（）A0B1C2D3 答案：A 分析：均可举出反例.如图 1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故错误；如图 2，满足两侧面11与底面垂直，但不是直棱柱，错误；如图 3，四边形11为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，错误；所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，错误 故选：A 8、在正方体 1111中，是正方形的中心，则直线1与直线1所成角大小为（）A30B45C60D90 答案：A 分析：如图，连接1，利用余弦定理可求1的值，从而可得直线1与直线1所成角大小.设正方体的棱长为2，连接1，因为1/1，故1或其补角为直线1与直线1所成角.而1=22，=2，1=12+2=42+22=6，故12=12+2，所以1，所以cos1=622=32，因为1为锐角，故1=30，故选：A.9、在空间中，下列命题是真命题的是（）A经过三个点有且只有一个平面 B平行于同一平面的两直线相互平行 C如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面 答案：D 分析：由三点共线判断 A；由线面、线线位置关系判断 B；根据等角定理判断 C；由线面平行和垂直的判定以及性质判断 D.当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故 A 错误；平行于同一平面的两直线可能相交，故 B 错误；由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故 C 错误；如果两个相交平面,垂直于同一个平面，且 =，则在平面、内分别存在直线,垂直于平面，由线面垂直的性质可知/，再由线面平行的判定定理得/，由线面平行的性质得出/，则 ，故 D 正确；故选：D 10、已知abc为三条直线，则下列四个命题中是真命题的为（）A若a与b异面，b与c异面，则a与c异面 B若a与b相交，b与c相交，则a与c相交 C若 ，则ab与c所成的角相等 D若 ，则 答案：C 分析：根据空间里面直线的位置关系逐项分析判断即可.在 A 中，若直线ab异面，bc异面，则ac相交异面或平行，故 A 错误；在 B 中，若直线ab相交，bc相交，则ac平行相交或异面，故 B 错误；在 C 中，若 ，则ab与c所成的角相等，故 C 正确；在 D 中，若 ，则a与c相交平行或异面，故 D 错误.故选：C.11、下列说法中正确的是（）A如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行 B平面内 的三个顶点到平面的距离相等，则与平行 C/，/，则/D/，/，则/答案：D 分析：根据线面关系，逐一判断每个选项即可.解：对于 A 选项，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的无数条直线平行，而不是任意的直线平行，故错误；对于 B 选项，如图1，分别为正方体中所在棱的中点，平面设为平面，易知正方体的三个顶点，到平面的距离相等，但 所在平面与相交，故错误；对于选项 C，可能在平面内，故错误；对于选项 D，正确.故选：D.12、已知圆锥的底面半径为，高为3，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A22B942C832D2 答案：B 分析：根据圆柱的表面积公式以及二次函数的性质即可解出 设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，所以在轴截面三角形中，如图所示：由相似可得，=33，所以，=3 3，即圆柱的全面积为 =22+2=22+2(3 3)=2(22+3)=22(34)2+982 942，当且仅当=34时取等号 故选：B 双空题 13、如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：（1）点C与平面：_；（2）直线AB与平面：_ 答案：=分析：（1）（2）由点、线、面的位置关系判断点面关系、线面关系.（1）由图，=且 ，故 ；（2）由图，且 ，则 =.所以答案是：，=14、在正方体 1111中，E为棱CD上一点，且=2，F为棱1的中点，且平面BEF与1交于点G，与1交于点H，则1=_，1=_.答案：16 38 解析：由线面平行的性质可得/，即可得到=，又=2，则1可求.连接AC交BE于M，过M作/1，MN与1交于N，连接FM，则H为FM与1的交点，根据三角形相似可得线段的比.解：1111是正方体 面11/面11 面11 /平面11，面 面11=则/，则=，即=12，又=2，则1=16.连接AC交BE于M，过M作/1，MN与1交于N，连接FM，则H为FM与1的交点.因为/，所以=32，则1=32.所以1=35，所以=65=，故1=38.所以答案是：16；38 小提示：本题考查线面平行的性质及判定，属于基础题.15、正方体1111的棱长为 2，点O为线段1的中点，三棱锥 的体积为_，过点O且垂直于1的平面与底面ABCD的交线长为_.答案：23 2 分析：根据题意，结合三棱锥的体积公式，以及线面垂直的判定，即可求解.根据题意，易知=121=1213 1=1213222 2=23；如图，分别作、1、11、11、1、的中点、，连接、，易知平面过点，根据正方体的性质，易知 1、，因为1 =，所以 平面1，又因为1 平面1，所以 1，同理 1，又因为 平面，平面，且 =，所以1 平面，因此过点O且垂直于1 的平面与底面ABCD的交线长为=2=22+222=2.所以答案是：23；2.16、（1）空间任意 4 点，没有任何 3 点共线，它们最多可以确定_个平面.（2）空间 5 点，其中有 4 点共面，它们没有任何 3 点共线，这 5 个点最多可以确定_个平面.答案：4 7 分析：（1）以三棱锥为载体，可得结果.（2）以四棱锥为载体，可得结果.（1）可以想象三棱锥的 4 个顶点，它们总共确定 4 个平面.（2）可以想象四棱锥的 5 个顶点，它们总共确定 7 个平面.所以答案是：（1）4；（2）7.17、两条异面直线互相垂直：若两条异面直线所成的角为_，则称它们互相垂直两条互相垂直的异面直线,，记作_ 答案：直角（或90）分析：根据两异直线垂直的定义求解.如果两条异面直线所成的角为直角（或90），则称它们互相垂直，两条互相垂直的异面直线,，记作 ，所以答案是：直角（或90），.解答题 18、如图，四棱锥 的底面是矩形，底面，M为的中点，且 （1）证明：平面 平面；（2）若=1，求四棱锥 的体积 答案：（1）证明见解析；（2）23 分析：（1）由 底面可得 ，又 ，由线面垂直的判定定理可得 平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面 平面；（2）由（1）可知，由平面知识可知，由相似比可求出，再根据四棱锥 的体积公式即可求出（1）因为 底面，平面，所以 ，又 ，=，所以 平面，而 平面，所以平面 平面（2）方法一：相似三角形法 由（1）可知 于是 ，故=因为=12,=,=1，所以122=1，即=2 故四棱锥 的体积=13 =23 方法二：平面直角坐标系垂直垂直法 由（2）知 ,所以=1 建立如图所示的平面直角坐标系，设=2(0)因为=1，所以(0,0)，(1,0)，(0,2)，(1,)从而=0102001=(2)=22=1 所以=22，即=2下同方法一.方法三【最优解】：空间直角坐标系法 建立如图所示的空间直角坐标系 ，设|=，所以(0,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(,0,0)，(,1,0)所以(2,1,0)，=(,1,1)，=(2,1,0)所以 =(2)+1 1+0 (1)=22+1=0 所以=2，即|=2下同方法一.方法四：空间向量法 由 ，得 =0 所以(+)=0 即 +=0 又 底面，在平面内，因此 ，所以 =0 所以 +=0，由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义，得12|2+|2=0，即12|2+1=0 所以|=2，即=2下同方法一.【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.19、如图所示，在三棱柱 111中，E，F，G，H分别是AB，AC，11，11的中点求证：平面1平面BCHG 答案：证明见解析 分析：证明/，进而证明出/平面BCHG，再证明1/，得到1平面BCHG，从而证明面面平行.证明：E，F分别是AB，AC的中点，/平面BCHG，平面BCHG，/平面BCHG 1=，且1/四边形1是平行四边形，1/1 平面BCHG，平面BCHG，1平面BCHG 1 =，平面1平面BCHG 20、如图，已知正三棱锥 的高=，侧面上的斜高=，求经过的中点1且平行于底面的截面 111的面积（用，表示）答案：334(2 2).分析：利用正三棱柱的性质可得=33(2 2)，根据面面平行的性质可得11/，进而可得111=14，即得.连接，在Rt 中，=2 2，棱锥 是正三棱锥，是 的中心，=2=2 tan60=232 2，=342=33(2 2)，因为平面111/平面，1为的中点，平面111平面=11，平面 平面=，11/,11=12，同理可得，11/,11=12，11/,11=12，所以 111 ，所以111=14，截面 111的面积为111=334(2 2)