（试题附答案）高中数学第八章立体几何初步总结（重点）.pdf

(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步总结（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步总结(重点重点)超详超详细细 单选题 1、在三棱锥 中,分别是,边的中点，且 ，则四边形是（）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 答案：B 分析：根据中位线的性质及平行公理可得四边形是平行四边形，再利用 可得四边形是矩形.因为,分别是,边的中点，所以/,/，所以/；同理可得/，所以四边形是平行四边形；又因为 ，所以 ，即四边形是矩形.故选：B.2、已知在棱长均为2的正三棱柱 111中，点为11的中点，若在棱上存在一点，使得1/平面，则1的长度为（）A2B5C6D3 答案：B 解析：设点为的中点，取11的中点，连接，然后证明1/平面即可.如图，设点为的中点，取11的中点，连接，则1/，又1 平面，平面，1/平面，易知/，故平面与平面是同一个平面，1/平面，此时1=5，故选：B 3、在 中，=1，=2，=60，是 的外接圆上的一点，若=+，则+的最小值是（）A1B12C13D16 答案：B 分析：先解三角形得到 为直角三角形，建立直角坐标系，通过=+表示出+，借助三角函数求出最小值.由余弦定理得2=2+2 2 cos=1+4 2 1 2 cos60=3，所以=3，所以2+2=2，所以 以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（1，0），C（1，0），B（12，32），设P的坐标为(cos,sin)，所以=(12,32)，=(2,0)，=(cos+1,sin)，又=+，所以(cos+1,sin)=(12,32)+(2,0)=(2+2,32)，所以=233sin，=cos2+1236sin，所以+=233sin+cos2+1236sin=32sin+cos2+12=sin(+6)+12 1+12=12，当且仅当sin(+6)=1时，等号成立 故选：B 4、在直三棱柱 111中，点M是侧棱1中点，,=1=2，则异面直线与1所成角的余弦值为（）A1010B1515C3012D1012 答案：B 分析：可以取11的中点，连接，将异面直线与1转化为直线与所成的角，在连接，通过解三角形即可完成求解.如图所示，取11的中点，连接，、分别为1、11的中点，所以为 11的中位线，所以/1，所以异面直线与1就是直线与所成的角，即或其补角，因为 ,=1=2，所以1=23，=5，=12+12=6，在 中，=121=3，=6，=5，所以cos=2+222=1515.故选：B.5、在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 中，平面BCD，BCCD，且=4，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（）A32B34C33D24 答案：C 分析：画出图形，取的中点，连接，可得/，则所求为，易证 是直角三角形，则可得，进而求解.如图，取的中点，连接，由题，=4，M为AD的中点，所以/，=2，则为所求，由 平面BCD，则 ，又 ，=，所以 平面，则 平面，所以 是直角三角形，即=90，又=12=122+2=23，所以cos=223=33，故选：C 6、已知正四棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 5，则此棱锥的侧面积为（）A6B12C24D48 答案：D 分析：首先由勾股定理求出斜高，即可求出侧面积；解：正四棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 5，则其斜高=52(62)2=4，所以正四棱锥的侧面积=12 4 6 4=48 故选：D 7、在空间中，下列命题是真命题的是（）A经过三个点有且只有一个平面 B平行于同一平面的两直线相互平行 C如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面 答案：D 分析：由三点共线判断 A；由线面、线线位置关系判断 B；根据等角定理判断 C；由线面平行和垂直的判定以及性质判断 D.当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故 A 错误；平行于同一平面的两直线可能相交，故 B 错误；由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故 C 错误；如果两个相交平面,垂直于同一个平面，且 =，则在平面、内分别存在直线,垂直于平面，由线面垂直的性质可知/，再由线面平行的判定定理得/，由线面平行的性质得出/，则 ，故 D 正确；故选：D 8、九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵 111中，且1=2.下列说法错误的是（）A四棱锥 11为“阳马”B四面体11为“鳖臑”C四棱锥 11体积最大为23 D过A点分别作 1于点E，1于点F，则 1 答案：C 分析：由新定义结合线面垂直的判定、性质、体积公式逐项判断即可得解.底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”.所以在堑堵 111中，侧棱1平面,在选项 A 中，因为1，且1 =，则 平面11，且11为矩形，所以四棱锥 11为“阳马”，故 A 正确；在选项 B 中，由11，11 1且1 =，所以11平面11，所以11 1，则 11为直角三角形，由 平面11，得 1,1为直角三角形，由“堑堵”的定义可得 11为直角三角形，所以四面体11为“鳖臑”，故 B 正确;在选项 C 中，在底面有4=2+2 2 ，即 2，当且仅当=时取等号，则11=1311 =131 =23 43，所以 C 不正确；在选项 D 中，由 平面11，则 ,1且1 =，则 平面1，所以 1,又 1且 =，则1 平面，则1 ，所以 D 正确.故选：C.9、如图是四边形ABCD的水平放置的直观图ABCD，则原四边形ABCD的面积是（）A14B102C28D142 答案：C 分析：根据斜二测画法的定义，还原该四边形得到梯形，根据梯形的面积公式即可计算求解.ADy轴，ABCD，ABCD，原图形是一个直角梯形 又AD4，原直角梯形的上、下底及高分别是 2，5，8，故其面积为=12(2+5)8=28.故选：C 10、中国古代建筑使用榫卯结构将木部件连接起来，构件中突出的部分叫榫头，凹进去的部分叫卯眼，图中摆放的部件是榫头，现要在一个木头部件中制作出卯眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么卯眼的俯视图可以是（）ABCD 答案：B 分析：根据榫头的俯视图结合结果图，可判断卯眼的俯视图.解：根据榫头的俯视图及结果图的俯视图可判断卯眼的俯视图为 B 项中的图形.故选：B.填空题 11、已知a，b表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题：若=a，=b，且a/b，则/；若a，b相交且都在，外，a/，b/，则/；若a/，a/，则/；若a，a/，=b，则a/b.其中正确命题的序号是_.答案：分析：根据线线、线面、面面之间的位置关系即可得出结果.解析：错误，与 也可能相交；错误，与 也可能相交；错误，与 也可能相交；正确，由线面平行的性质定理可知.所以答案是：12、已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为30则该圆锥的侧面积为_.答案：39 分析：利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.=1362 =30 =52 =2+2=(52)2+62=132 侧=6 132=39.所以答案是：39.13、早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等如图，正二十面体是由 20 个等边三角形组成的正多面体，共有 12 个顶点，30 条棱，20 个面，是五个柏拉图多面体之一如果把sin36按35计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于_ 答案：55336 分析：可得正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为，可得=56，=31111，即可表示出外接球的表面积和正二十面体的表面积，得出答案.由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为，则2=sin36=35，得=56，所以正五棱锥的顶点到底面的距离是=2 2=2(56)2=116，所以2=2+()2，即2=(56)2+(116)2，解得=31111 所以该正二十面体的外接球表面积为球=42=4 (31111)2=36112，而该正二十面体的表面积是正二十面体=20 12 sin60=532，所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于55336 所以答案是：55336.小提示：本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是将正二十面体的外接球等价于上方正五棱锥的外接球，表示出半径.14、如图，在正方体 1111中，1=1，,分别是,中点，则异面直线1与所成角大小为_.答案：60 分析：由/11得出异面直线1与所成角为11，再由正三角形的性质得出异面直线1与所成角大小.,分别是,中点，所以有/,而/11,，因此/11 异面直线1与所成角为11，在正方体 1111中，1=1，1=11=1=2,所以11=600 所以答案是：60 15、如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形_（填上所有正确答案的序号）答案：分析：四点共面主要通过证明两线平行说明，本题利用中位线、平行四边形的性质结合平行线的传递性进行说明，证明平行时绝不能凭直观感觉或无理论依据 图：证明ABEF，CDEF，可得ABCD；图：证明BDEF，ACEF，可得BDAC；图：证明GHEF，ACEF，BDGH，可得BDAC 图：取GD的中点F，连结BF、EF，B、F均为相应边的中点，则：又 ，则 即ABFE为平行四边形 ABEF 同理:CDEF 则ABCD即A、B、C、D四点共面，图正确；图：显然AB与CD异面，图不正确；图：连结AC,BD,EF,BEDF即BDFE为平行四边形 BDEF 又A、C分别为相应边的中点，则ACEF BDAC即A、B、C、D四点共面，图正确；图：连结AC,BD,EF,GH,GEHF即GEFH为平行四边形，则GHEF 又A、C分别为相应边的中点，则ACEF 同理：BDGH BDAC即A、B、C、D四点共面，图正确 所以答案是：解答题 16、已知正方体 1111中，E、F是BD、1的中点求证：(1)/平面11；(2)/1 答案：(1)证明见解析；(2)证明见解析.分析：（1）连接,1，由中位线性质有/1，根据线面平行的判定即可证结论.（2）由正方体的性质，结合平行公理的推论可证/1.（1）连接,1，则与必交于，即也是中点，所以在 1中/1，而 面11，1面11，则/平面11；（2）在正方体中，1/1，由（1）知：/1，故/1.17、在空间四边形ABCD中，=，点MN分别为BDAC的中点.(1)若直线AB与MN所成角为 60，求直线AB与CD所成角的大小；(2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小.答案：(1)60(2)2或2 分析：根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求解.（1）如图，取AD的中点为P，连接PMPN.因为点MN分别为BDAC的中点，所以/，/，且=12，=12，所以，为直线AB与CD所成的角（或补角），为直线AB与MN所成的角（或补角）.又=，所以=，即 为等腰三角形.直线AB与MN所成角为 60，即=60，则=180 2 60=60.所以，直线AB与CD所成的角为 60.（2）（2）若直线AB与CD所成的角为，则=或=.若=，则=2=2，即直线AB与MN所成角为2；若=，则=2=2，即直线AB与MN所成角为2.综上所述，直线AB与MN所成的角为2或2.18、如图，一个三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱1底面，1=3有一只小虫从点沿三个侧面爬到点1，求小虫爬行的最短路程 答案：35 分析：沿1将三棱柱的侧面展开，可得到矩形11，计算出该矩形的对角线1的长，即为所求.解：沿1将三棱柱的侧面展开，则展开后的图形是矩形11，如下图所示：且=3 2=6，1=3，所以，小虫爬行的最短路程为1的长，且1=2+12=35.19、在正方体 1111中，E为1的中点求证：1/平面1 答案：证明见解析.分析：如图，根据正方体的结构特征可得1/1，利用线面平行的判定定理即可证明.如图，为1的中点，连接，1，1，1，在正方体 1111中，=11且/11，四边形11是平行四边形，1/1，又 1平面1，1平面1，1/平面1.