全国通用高中数学必修二第八章立体几何初步(四十).docx

全国通用高中数学必修二第八章立体几何初步(四十)1单选题1、锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=7、b=8，m=12,cosA，n=(sinA，-32)，且mn，则ABC的面积为（）A3B33C53D103答案：D分析：先由向量垂直得到A=3，利用余弦定理求出c=3或c=5，利用锐角三角形排除c=3，从而c=5，利用面积公式求出答案.由题意得：12sinA-32cosA=0，故tanA=3，因为A0,2，所以A=3，由余弦定理得：cosA=64+c2-4928c=12，解得：c=3或c=5，当c=3时，最大值为B，其中cosB=49+9-642730，故B为锐角，符合题意，此时SABC=12bcsinA=128532=103.故选：D2、已知abc为三条直线，则下列四个命题中是真命题的为（）A若a与b异面，b与c异面，则a与c异面B若a与b相交，b与c相交，则a与c相交C若ab，则ab与c所成的角相等D若ab，bc，则ac答案：C分析：根据空间里面直线的位置关系逐项分析判断即可.在A中，若直线ab异面，bc异面，则ac相交异面或平行，故A错误；在B中，若直线ab相交，bc相交，则ac平行相交或异面，故B错误；在C中，若ab，则ab与c所成的角相等，故C正确；在D中，若ab，bc，则a与c相交平行或异面，故D错误.故选：C.3、若直线a/平面，A，且直线a与点A位于的两侧，B，Ca，AB，AC分别交平面于点E，F，若BC=4，CF=5，AF=3，则EF的长为（）A3B32C34D23答案：B分析：根据线面平行可得线线平行，从而可求EF=32.BC/，BC平面ABC，平面ABC=EF，EF/BC，AFAC=EFBC，即35+3=EF4，EF=32.故选：B.4、一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，下列结论正确的是（）AMN/平面ABEBMN/平面ADECMN/平面BDHDMN/平面CDE答案：C解析：根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH的中点O,连接ON,BO，可以证明MNBO,利用BO与平面ABE的关系可以判定MN与平面ABE的关系，进而对选择支A作出判定；根据MN与平面BCF的关系，利用面面平行的性质可以判定MN与平面ADE的关系，进而对选择支B作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN与平面BDE的平行关系，进而判定C；利用M,N在平面CDEF的两侧，可以判定MN与平面CDE的关系，进而对D作出判定.根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，易知ON与BM平行且相等，四边形ONMB为平行四边形，MNBO,BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；平面ADE平面BCF,MN平面BCF=M,MN与平面ADE相交，故B错误；BO平面BDHF,即BO平面BDH,MNBO,MN平面BDHF,MN平面BDH,故C正确；显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.故选：C.小提示：本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN的平行线BO.5、已知正四面体P-ABC内接于球O，点E是底面三角形ABC一边AB的中点，过点E作球O的截面，若存在半径为3的截面圆，则正四面体P-ABC棱长的取值范围是（）A2，3B3，6C22，23D23，26答案：C分析：根据条件设正四面体的棱长为a，用棱长a表示出其外接球的半径R=64a，过E点作外接球O的截面，只有当OE截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，此时此时截面圆的半径为r=12a，最大截面圆为过球心的大圆，半径为R=64a，根据题意则12a364a，从而可得出答案.如图，在正四面体P-ABC中，设顶点P在底面的射影为O1，则球心O在PO1上，O1在CE上，且PO1=23CE,连接OEOC，设正四面体的棱长为a，则CE=32a，PO1=23CE=33a则正四面体的高PO1=PC2-O1C2=a2-(33a)2=63a，设外接球半径为R，在RtOO1C中，OC2=OO12+O1C2，即R2=(63a-R)2+(33a)2，解得R=64a，在RtOO1E中，OE=OO12+O1E2=(612a)2+(36a)2=24a，过E点作外接球O的截面，只有当OE截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为r=R2-OE2=(64a)2-(24a)2=12a，最大截面圆为过球心的大圆，半径为R=64a，由题设存在半径为3的截面圆，12a364a，解得22a23，故选:C.小提示：关键点睛：本题考查正四棱锥的外接球的截面圆的半径范围问题，解答本题的关键是用正四棱锥棱长a表示出其外接球的半径R=64a，得出过E点的球的截面圆的半径的范围，从而得解，属于中档题.6、如图在正三棱锥S-ABC中，M,N分别是棱SC,BC的中点，Q为棱AC上的一点，且AQ=12QC，MNMQ，若AB=22，则此正三棱锥S-ABC的外接球的体积为（）A12B433C83D43答案：D分析：根据题意证明SA,SB,SC两两垂直，将三棱锥放入棱长为2的正方体，两者外接球体积相同，求得正方体外接球体积即可得出答案.因为在SBC中，M,N分别是棱SC,BC的中点，所以MN/SB，因为MNMQ，所以SBMQ，因为三棱锥S-ABC为正三棱锥，所以SBAC（对棱垂直），又因为MQ,AC面SAC，MQAC=Q，所以SB面SAC，因为SA,SC面SAC，所以SBSA,SBSC，在RtSAB中，SA2+SB2=AB2，因为三棱锥S-ABC为正三棱锥，所以SBC是等腰三角形，ABC是等边三角形，所以SB=SC，AB=AC,所以SA2+SC2=AC2，即SASC，所以SA,SB,SC两两垂直，将此三棱锥放入正方体中，此正方体的面对角线长等于AB长，为22,则该正方体棱长为2，外接球半径R=222+2222=3，正方体外接球体积V=43R3=4333=43,此正三棱锥S-ABC的外接球体积和正方体外接球体积相同，为43.故选：D7、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，则异面直线D1E与BC1所成角的余弦值为（）A55B105C155D255答案：B分析：连接AD1，AE，得到AD1/BC1，把异面直线D1E与BC1所成角转化为直线D1E与AD1所成角，取AD1的中点F，在直角D1EF中，即可求解.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AD1，AE，可得AD1/BC1，所以异面直线D1E与BC1所成角即为直线D1E与AD1所成角，即AD1E为异面直线D1E与BC1所成角，不妨设AA1=2，则AD1=22，D1E=AE=5，取AD1的中点F，因为D1E=AE，所以EFAD1，在直角D1EF中，可得cosAD1E=D1FD1E=25=105.故选：B.8、球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离.已知正ABC的项点都在半径为2的球面上，球心到ABC所在平面距离为263，则A、B两点间的球面距离为（）AB2C23D34答案：C分析：设球心为点O，计算出AOB，利用扇形弧长公式可求得结果.设球心为点O，平面ABC截球O所得截面圆的半径为r=22-2632=233，由正弦定理可得433=ABsinACB，AB=433sin3=2，又OA=OB=2，所以，AOB为等边三角形，则AOB=3，因此，A、B两点间的球面距离为23=23.故选：C.小提示：思路点睛：求球面距离，关键就是要求出球面上两点与球心所形成的角，结合扇形的弧长公式求解，同时在计算球的截面圆半径时，利用公式r=R2-d2（其中r为截面圆的半径，R为球的半径，d为球心到截面的距离）来计算.多选题9、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PA=AB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是（）AE为PA的中点BPB与CD所成的角为3CBD平面PACD三棱锥C-BDE与四棱锥P-ABCD的体积之比等于1:4答案：ACD分析：在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面PAC平面BDE=EF，推导出EF/PC，由四边形ABCD是正方形，从而AF=FC，进而AE=EP；在B中，由CD/AB，得PBA（或其补角）为PB与CD所成角，推导出PAAB，从而PB与CD所成角为4；在C中，推导出ACBD，PABD，由此能证明BD平面PAC；在D中，设AB=PA=x，则VP-ABCD=13x3，VC-BDE=VE-BCD=13SBCDAE=112x3由此能求出三棱锥C-BDE与四棱锥P-ABCD的体积之比等于1:4解：在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面PAC平面BDE=EF，PC/平面BDE，PC平面PAC，EF/PC，四边形ABCD是正方形，AF=FC，AE=EP，故A正确；在B中，CD/AB，PBA（或其补角）为PB与CD所成角，PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB，在RtPAB中，PA=AB，PBA=4，PB与CD所成角为4，故B错误；在C中，四边形ABCD为正方形，ACBD，PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，PAAC=A，PA、AC平面PAC，BD平面PAC，故C正确；在D中，设AB=PA=x，则VP-ABCD=13AB2PA=13x2x=13x3，VC-BDE=VE-BCD=13SBCDAE=1312x212x=112x3VC-BDE:VP-ABCD=112x3:13x3=1:4，故D正确故选：ACD10、折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄决胜千里大智大勇的象征（如图1）图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE,AC所在圆的半径分别是3和9，且ABC=120，则该圆台的（）A高为42B体积为5023C表面积为34D上底面积下底面积和侧面积之比为1:9:22答案：AC分析：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，求出r=1,R=3，即可判断选项A正确；利用公式计算即可判断选项BCD的真假得解.解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2r=1323,2R=1329，解得r=1,R=3圆台的母线长l=6，圆台的高为h=62-(3-1)2=42，则选项A正确；圆台的体积=134232+31+12=5223，则选项B错误；圆台的上底面积为，下底面积为9，侧面积为1+36=24，则圆台的表面积为+9+24=34，则C正确；由前面可知上底面积下底面积和侧面积之比为1:9:24，则选项D错误故选：AC11、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C运动，则（）A三棱锥P-A1C1D的体积为定值B异面直线AP与A1D所成的角的取值范围为45,90C直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为63D过P作直线l/AD1，则lDP答案：ACD分析：对三棱锥P-A1C1D转化顶点可判定选项A，找到异面成角的最小值的情况即可判断选项B,转化直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为直线C1P与直线BD1所成角的余弦值最大,进而判断选项C，利用线面垂直的性质判定可判定选项D.如图，对于选项A，VP-A1C1D=VC1-A1PD,因为点P在线段B1C上运动,所以SA1DP=12A1DAB,面积为定值,且C1到平面A1PD1的距离即为C1到平面A1B1CD的距离,也为定值,故体积为定值,故A正确；对于选项B，当点P与线段B1C的端点重合时,AP与A1D所成角取得最小值为60,故B错误；对于选项C，因为直线BD1平面A1C1D,所以若直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值最大,则直线C1P与直线BD1所成角的余弦值最大,则P运动到B1C中点处,即所成角为C1BD1,设棱长为1,在RtD1C1B中,cosC1BD1=C1BBD1=23=63,故C正确;对于选项D，连接B1D,由正方体可得BC1B1C,且DC平面B1C1CB,则DCBC1,所以BC1平面CDB1,故BC1DP，过P作直线l/AD1，则l/BC1,所以lDP；故D正确.故选：ACD12、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，P是A1D上的一个动点，下列结论中正确的是（）ABP的最小值为32BPA+PC的最小值为2+2C当P在直线A1D上运动时，三棱锥B1-ACP的体积不变D以点B为球心，22为半径的球面与面AB1C的交线长为63答案：BCD分析：当BPA1D时，BP最小，结合正三角形性质，求得B到直线A1D的距离判断A，将平面DCB1A1翻折到平面ADA1上，求得PA+PC的最小值判断B，由题可得A1D/平面AB1C，进而可得三棱锥B1-ACP的体积不变，判断C，根据球的截面的性质可得以点B为球心，22为半径的球面与面AB1C的交线即为AB1C的内切圆，即可判断D.对于A，当BPA1D时，BP最小，由于A1B=BD=A1D=2B到直线A1D的距离d=322=62，故A错误；对于B，将平面DCB1A1翻折到平面ADA1上，如图，连接AC，与A1D的交点即为点P，此时PA+PC取最小值AC，在三角形ADC中，ADC=135,AC=AD2+CD2-2ADCDcos135=2+2，故B正确；对于C，由正方体的性质可得A1D/B1C，A1D平面AB1C，A1D/平面AB1C，P到平面AB1C的距离为定值，又SAB1C为定值，则VP-AB1C为定值，即三棱锥B1-ACP的体积不变，故C正确；对于D，由于BD1平面AB1C，设BD1与平面AB1C交于Q点，BQ=13BD1=33，设以B为球心，22为半径的球与面AB1C交线上任一点为G，BG=22，QG=222-332=66，G在以Q为圆心，66为半径的圆上，由于AB1C为正三角形，边长为2，其内切圆半径为23213=66，故此圆恰好为AB1C的内切圆，完全落在面AB1C内，交线长为266=63，故D正确故选：BCD.解答题13、如图，已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径r和高h为何值时，圆柱的侧面积最大？答案：当r=22R，h=2R时，圆柱的侧面积最大.分析：由题得r2+h22=R2，然后利用基本不等式即得.由题可得r2+h22=R2，所以圆柱的侧面积S=2rh=22rh22r2+h22=2R2，当且仅当r=h2时取等号，即当r=22R，h=2R时，圆柱的侧面积最大，最大值为2R214、如图所示的几何体由三棱锥P-ADQ和正四棱锥P-ABCD拼接而成，PQ平面ADQ，AB/PQ，PQ=1，AB=2，AQ=5，O为四边形ABCD对角线的交点(1)求证：OP/平面ADQ；(2)求二面角O-AP-D的正弦值答案：(1)证明见解析(2)155分析：(1)取AD中点M，连QM，OM，证得PO/QM即可得解.(2)在正四棱锥P-ABCD中作出二面角O-AP-D的平面角，借助直角三角形计算即可.(1)取AD中点M，连QM，OM，如图，因O是正四棱锥P-ABCD底面中心，即O是BD中点，则OM/AB/PQ，OM=12AB=1=PQ，于是得PQMO是平行四边形，PO/QM，而PO平面ADQ，DM平面ADQ，所以PO/平面ADQ.(2)在正四棱锥P-ABCD中，DOAO，PO平面ABCD，DO平面ABCD，则PODO，而POAO=O，PO,AO平面POA，因此，DO平面POA，而PA平面POA，则DOPA，过O作OEPA于E，连DE，如图，DOOE=O，DO,OE平面DOE，则有PA平面DOE，即PADE，从而得DEO是二面角O-AP-D的平面角，因PQ平面ADQ，则PQAQ，AP=PQ2+AQ2=6，而AO=12AC=2，则PO=2，OE=POAOPA=233，RtDOE中，DO=2,DE=DO2+OE2=303，于是得sinDEO=DODE=155，所以二面角O-AP-D的正弦值155.15、在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，CDE是等边三角形，棱EF/BC且EF=12BC，证明：FO平面CDE.答案：见解析分析：试题分析：取CD中点M，根据平行四边形性质可得EFOM为平行四边形，即得FOEM，再根据线面垂直判定定理得结论试题解析：如图所示，取CD中点M，连接OM.在矩形ABCD中，OM/12BC，又EF/12BC，则EF/OM，连接EM.四边形EFOM为平行四边形，FOEM，又FO平面CDE，且EM平面CDE，FO平面CDE.19