(试题附答案)高中数学第八章立体几何初步知识集锦.pdf

(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步知识集锦（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步知识集锦 单选题 1、如图，在梯形中，且=2，点为线段的靠近点的一个四等分点，点为线段的中点，与交于点，且=+，则+的值为（）A1B57C1417D56 答案：C 分析：由向量的线性运算法则化简得到=(2)+2 和=(1 )+43，结合,三点共线和,三点共线，得出2+3 2=0和3 4=0，联立方程组，即可求解.根据向量的线性运算法则，可得=+=+(+)=+=()+(+)=()+(2+12)=()+2+12 =(2)+2，因为,三点共线，可得 2+2=1，即2+3 2=0；又由=+=+=+43=(1 )+43，因为,三点共线，可得1 +43=1，即3 4=0，联立方程组2+3 2=03 4=0，解得=817,=617，所以+=1417.故选：C.2、锐角 中，角、所对的边分别为、，若=7、=8，=(12,cos)，=(sin，32)，且 ，则 的面积为（）A3B33C53D103 答案：D 分析：先由向量垂直得到=3，利用余弦定理求出=3或=5，利用锐角三角形排除=3，从而=5，利用面积公式求出答案.由题意得：12sin 32cos=0，故tan=3，因为 (0,2)，所以=3，由余弦定理得：cos=64+24928=12，解得：=3或=5，当=3时，最大值为B，其中cos=49+964273 0，故B为锐角，符合题意，此时=12sin=12 8 5 32=103.故选：D 3、若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是（）A一定平行 B一定相交 C平行或相交 D以上判断都不对 答案：C 分析：利用面面平行的判定即得.一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，若这两条直线相交且这两条直线平行于另一个平面，则可得这两个平面平行；若这两条直线平行，则这两个平面可能相交也可能平行；故选：C.4、已知正方体 1111的棱长为 2，点在棱上，过点作该正方体的截面，当截面平行于平面11且面积为3时，线段的长为（）A2B1C3D32 答案：A 分析：过点作，1的平行线，分别交棱，1于点，连接，即可得到 为截面，且为等边三角形，再根据截面面积求出的长度，即可求出；解：如图，过点作，1的平行线，分别交棱，1于点，连接，因为/11，所以/11，11面11，面11，所以/面11 因为1/1，所以/1，1 面11，面11，所以/面11 又 =，,面，所以面/面11，则为截面，易知 是等边三角形，则12232=3，解得=2，=22=2.故选：A.5、如图在正三棱锥 中，,分别是棱,的中点，为棱上的一点，且=12，若=22，则此正三棱锥 的外接球的体积为（）A12B433C83D43 答案：D 分析：根据题意证明,两两垂直，将三棱锥放入棱长为2的正方体，两者外接球体积相同，求得正方体外接球体积即可得出答案.因为在 中，,分别是棱,的中点，所以/，因为 ，所以 ，因为三棱锥 为正三棱锥，所以 （对棱垂直），又因为,面，=，所以 面，因为,面，所以 ,，在 中，2+2=2，因为三棱锥 为正三棱锥，所以 是等腰三角形，是等边三角形，所以=，=,所以2+2=2，即 ，所以,两两垂直，将此三棱锥放入正方体中，此正方体的面对角线长等于长，为22,则该正方体棱长为2，外接球半径=(22)2+(222)2=3，正方体外接球体积=433=43 (3)3=43,此正三棱锥 的外接球体积和正方体外接球体积相同，为43.故选：D 6、九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵 111中，且1=2.下列说法错误的是（）A四棱锥 11为“阳马”B四面体11为“鳖臑”C四棱锥 11体积最大为23 D过A点分别作 1于点E，1于点F，则 1 答案：C 分析：由新定义结合线面垂直的判定、性质、体积公式逐项判断即可得解.底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”.所以在堑堵 111中，侧棱1平面,在选项 A 中，因为1，且1 =，则 平面11，且11为矩形，所以四棱锥 11为“阳马”，故 A 正确；在选项 B 中，由11，11 1且1 =，所以11平面11，所以11 1，则 11为直角三角形，由 平面11，得 1,1为直角三角形，由“堑堵”的定义可得 11为直角三角形，所以四面体11为“鳖臑”，故 B 正确;在选项 C 中，在底面有4=2+2 2 ，即 2，当且仅当=时取等号，则11=1311 =131 =23 43，所以 C 不正确；在选项 D 中，由 平面11，则 ,1且1 =，则 平面1，所以 1,又 1且 =，则1 平面，则1 ，所以 D 正确.故选：C.7、如图是四边形ABCD的水平放置的直观图ABCD，则原四边形ABCD的面积是（）A14B102C28D142 答案：C 分析：根据斜二测画法的定义，还原该四边形得到梯形，根据梯形的面积公式即可计算求解.ADy轴，ABCD，ABCD，原图形是一个直角梯形 又AD4，原直角梯形的上、下底及高分别是 2，5，8，故其面积为=12(2+5)8=28.故选：C 8、中国古代建筑使用榫卯结构将木部件连接起来，构件中突出的部分叫榫头，凹进去的部分叫卯眼，图中摆放的部件是榫头，现要在一个木头部件中制作出卯眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么卯眼的俯视图可以是（）ABCD 答案：B 分析：根据榫头的俯视图结合结果图，可判断卯眼的俯视图.解：根据榫头的俯视图及结果图的俯视图可判断卯眼的俯视图为 B 项中的图形.故选：B.9、如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形111的直观图，则正确的图形是（）AB CD 答案：A 分析：由斜二侧画法的规则分析判断即可 先作出一个正三角形111，然后以11所在直线为轴，以11边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系，画对应的,轴，使夹角为45，画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，故选：A 10、已知球O的体积为36，则该球的表面积为（）A6B9C12D36 答案：D 分析：根据球的体积公式求出半径，即可求出表面积.设球的体积为，则由题可得433=36，解得=3，则该球的表面积为4 32=36.故选：D.填空题 11、设圆锥底面圆周上两点、间的距离为2，圆锥顶点到直线的距离为3，和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为_.答案：22 分析：根据圆锥的几何特征计算出圆锥的底面半径和母线长，结合圆锥的侧面积公式可求得结果.设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、，因为=，=，则 ，故=3，因为 平面，平面，所以，为直线、的公垂线，故=1，因为=12=1，=2+2=2，=2+2=2，所以，圆锥的底面圆半径为2，母线长为2，因此，该圆锥的侧面积为 2 2=22.所以答案是：22.12、已知三个互不重合的平面,，=，且直线m、n不重合，由下列三个条件：/，；/，/；，/能推得/的条件是_ 答案：分析：利用空间中直线与平面的位置关系，作图分析即可求解 对于/，成立，证明如下：证明如下：=，=，又/，/；对于/，/；，/，不成立，如图 此时和是异面；对于 ，/，成立，证明如下：证明如下：=，/或 =，假设 =，则 ，又 =，这与/相矛盾，因此 =不成立，故/所以答案是：.13、如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中正确的有_个 ACSB；AB 平面SCD；SA与平面ABCD所成的角是SAD；AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角 答案：4 分析：利用线面垂直的判定定理AC平面SBD，进而可判定正确 根据ABCD，利用线面平行的判定定理可证正确 根据线面所成角的定义可判定正确 根据ABCD，由异面直线所成角的定义可判定正确 因为SD底面ABCD，所以ACSD因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD又BDSDD，所以AC平面SBD，所以ACSB，故正确因为ABCD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，所以AB 平面SCD，故正确因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是SAD故正确因为ABCD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故正确 所以答案是：4.14、如图，是用斜二测画法得到的 的直观图，其中=2，=3，则AB的长度为_.答案：210 分析：在原图形中作出，然后由勾股定理计算 如图，在原图形中，=2，=6，=22+62=210，所以答案是：210 15、已知A、B、C、D四点不共面，且/平面，=，=，=，=，则四边形EFHG是_四边形 答案：平行 分析：由题，平面 平面=，结合/平面可得/，同理可得四边形EFHG另外三边与，的位置关系，即可得到答案.由题，平面 平面=，因为/平面，所以/，又平面 平面=，所以/，则/，同理/，所以四边形EFHG是平行四边形，所以答案是：平行 解答题 16、长方体 1111的体积为，是1的中点，是上的动点，求四面体 的体积 答案：112.分析：因为是上的动点，且/，可求出，再根据=13，即可求出四面体 的体积.设长方体的长、宽、高分别为=，=，1=，则有=.是1的中点，所以=12，因为是上的动点，且/，所以=12 =12，所以=13 =1312 12=112=112.17、如图，在四棱锥 中，底面是边长为 2 的菱形，=60，=90，平面 平面，点F为棱的中点.(1)在棱上是否存在一点，使得/平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；(2)当二面角 的余弦值为24时，求直线与平面所成的角.答案：(1)在棱上存在点E，使得/平面，点E为棱的中点(2)60 分析：（1）取棱的中点E，取的中点Q，连接，证明 ，根据线面平行的判定定理证明；（2）过B作 于H，过H作 于G，根据三垂线定理可得就是二面角 的平面角，由已知二面角 的余弦值为24求得=23，设=，根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理得 平面.连接，则就是直线与平面所成的角，求解即可.（1）在棱上存在点E，使得 平面，证明如下：取棱的中点E，取的中点Q，连接，且=12，且=12 ，且=，四边形为平行四边形，又 平面，平面，.平面.（2）设=，=90，.平面 平面，平面 平面=，平面，平面.连接，则就是直线与平面所成的角.由题意得，为等边三角形.过B作 于H，则H为的中点，平面，又 =，平面.过H作 于G，连接，=，平面，平面，就是二面角 的平面角.cos=24，tan=7，易得=3，=217.sin=，2(2)2+22=2171，=23，tan=232=3，=60，即直线与平面所成的角为 60.18、如图：ABCD是正方形，O为正方形的中心，底面ABCD，点E是PC的中点.求证：(1)/平面BDE；(2)平面 平面BDE.答案：(1)证明见解析(2)证明见解析 分析：（1）连接OE，则由三角形中位线定理可得OE/PA，再由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由已知可得BDAC，BDPO，由线面垂直的判定定理可证得BD面PAC，再由面面垂直的判定定理可证得结论（1）证明：连接OE，ABCD为正方形，O为AC中点，又E为PC中点，OE/PA，OE面BDE，PA面BDE，PA/面BDE，（2）证明：ABCD为正方形，BDAC，又PO面ABCD，BD面ABCD，BDPO，POAC=O，PO面PAC，AC面PAC，BD面PAC，BD面BDE，面BDE面PAC，19、如图的长方体 1111.（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？（2）用平面把这个长方体分成两部分后，各部分的几何体还是棱柱吗？若是棱柱指出它们的底面与侧棱.答案：（1）答案见解析；（2）答案见解析.解析：（1）根据棱柱的定义判断；（2）根据棱柱的定义判断(1)这个长方体是棱柱，是四棱柱，因为它满足棱柱的定义.(2)截面右侧部分是三棱柱，它的底面是 1与1，侧棱是、11、，截面左侧部分是四棱柱，它的底面是四边形1与四边形1，侧棱是、11.