均值不等式知识点讲解及习题.pdf

第三节：基本不等式第三节：基本不等式1、基本不等式：基本不等式：（1）如果 a、b 是正数，那么 （当且仅当 a=b 时取“=”）（2）对基本不等式的理解：a0，b0，a,b 的算术平均数是a+b/2，几何平均数是_.叙述为：叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数2、基本不等式的推广：基本不等式的推广：注意：用基本不等式求最值的要点是：一正注意：用基本不等式求最值的要点是：一正 、二定、二定、三相等、三相等三个正数的均值不等式：n 个正数的均值不等式：3、四种均值的关系、四种均值的关系两个正数 a、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是：4.最值定理最值定理设 x0,y0,由 x+y（1）若积 xy=P(定值），则和 x+y 有最小值 ；（2）若和 x+y=S(定值），则积 xy 有最大值2ababab).(22,R,)4().(2,R,)3().(2R,)2(),00(,0R,)1(222222等号时取当且仅当则若时取等号当且仅当则若时取等号当且仅当则若取时当且仅当则若bababababaabbababaabbabaaaaa.2211222babaabbaxy2P222 S.33abccba.n.2121nnnaaaaaa即即:积定和最小，和定积最大积定和最小，和定积最大.（不等式的证明）（不等式的证明）例例 1、证明基本不等式 （跟踪训练）（跟踪训练）例例 2、（跟踪训练）（跟踪训练）例例 3、若 x0,y0,x+y=1.求证:2abab,:2.baa bab已知都是正数求证9)11)(11(yx（跟踪训练）（跟踪训练）若 a、b、c 是不全相等的正数，求证：（利用基本不等式求最值）（利用基本不等式求最值）例例 3、（跟踪训练（跟踪训练 1）（跟踪训练（跟踪训练 2）若 x、y,则 x+4y=1,求 x.y 的最大值R.lglglg2lg2lg2lgcbacabcba例例 4、若正数 a,b 满足求 a+b 的最小值（跟踪训练（跟踪训练 1 1）若正实数 x,y 满足 xy=2x+y+6,求 xy 的最小值。（跟踪训练（跟踪训练 2）设 x、y 均为正数，且求 xy 的最小值。例例 5、若 x,y,z ，x2y+3z=0,则 的最小值为_.Rxzy2（跟踪训练）（跟踪训练）若直线 2axby+2=0(ab0）始终平分圆 的周长，则 的最小值为_.例例 6、已知 a、b 都是正实数，且满足 求 4a+b 的最小值 （跟踪训练）（跟踪训练）设 x,y 满足约束条件 若目标函数z=ax+by（a0,b0）的最大值为 12，求的最小值ba11（利用均值不等式判断不等式的成立）（利用均值不等式判断不等式的成立）例 7、设 a0，b0，则下列不等式中不成立的是（）A.B.C.D.（跟踪训练）（跟踪训练）下列不等式不一定成立的是 ()221abba4)11)(bababaabba22abbaab2