不等式的证明及著名不等式-高考数学知识点总结-高考数学真题复习.pdf

12.4不等式的证明及著名不等式不等式的证明及著名不等式2014 高考会这样考 1.考查简单的不等式的证明；2.利用几个重要不等式求最值复习备考要这样做 1.理解不等式证明的分析法、综合法；2.了解著名不等式及它们的几何意义1 基本不等式(1)定理：如果 a，bR，那么 a2b22ab，当且仅当 ab 时，等号成立(2)定理(基本不等式)：如果 a，b0，那么，当且仅当 ab 时，等号成ab2ab立也可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数(3)利用基本不等式求最值对两个正实数 x，y，如果它们的和 S 是定值，则当且仅当 xy 时，它们的积 P 取得最_大_值；如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 xy 时，它们的和 S 取得最_小_值2 三个正数的算术几何平均不等式(1)定理如果 a，b，c 均为正数，那么_，当且仅当 abc 时，等abc33abc号成立即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(2)基本不等式的推广对于 n 个正数 a1，a2，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即_，a1a2annna1a2an当且仅当 a1a2an时，等号成立3 柯西不等式(1)设 a，b，c，d 均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc 时等号成立(2)若 ai，bi(iN*)为实数，则(a)(b)(aibi)2，当且仅当n i1 2 in i1 2 in i1(当 ai0 时，约定 bi0，i1,2，n)时等号成立b1a1b2a2bnan(3)柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，当且仅当、共线时等号成立4 证明不等式的方法(1)比较法求差比较法知道 abab0，ababb，只要证明 ab0 即可，这种方法称为求差比较法求商比较法由 ab0 1 且 a0，b0，因此当 a0，b0 时要证明 ab，只要证明 1 即可，这abab种方法称为求商比较法(2)分析法从所要证明的结论入手向使它成立的充分条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立；(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立(6)数学归纳法设Pn是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题 P1(或 P0)成立；(2)在假设 Pk成立的前提下，推出 Pk1也成立，那么可以断定Pn对一切正整数成立难点正本疑点清源1 应用比较法时注意的问题(1)适用的题型：作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构(2)变形方法：差的变形方法，因式分解、配方、放缩(基本不等式，有界性)凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法；商的变形方法：分子放(缩)，分母不变；分子不变，分母放(缩)；分子放(缩)，同时分母缩(放)，目的使分子或分母相同2 使用反证法证明问题时，准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，对结论否定时，要注意结论反面的各种情况3 证不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧1 已知 a、b、m 均为正数，且 ab，M，N，则 M、N 的大小关系是abambm_答案MN解析MN 0，即 Mbc解析分子有理化得 a，b，c13 216 517 6abc.3 已知 a0，b0，比较 lg(1)、lg(1a)lg(1b)的大小ab12解 lg(1a)lg(1b)lg.121a1b(1a)(1b)1(ab)ab12ab(1)2，abab1，1a1bablg(1)lg lg(1a)lg(1b)，ab1a1b12即 lg(1)lg(1a)lg(1b)ab124 设 a、b、c 是正实数，且 abc9，求 的最小值2a2b2c解(abc)(2a2b2c)()2()2()2abc(2a)2(2b)2(2c)2218.(a2a b2b c2c)2.2a2b2c 的最小值为 2.2a2b2c题型一分析法证明不等式例 1 设 a，b，c0，且 abbcca1.求证：(1)abc；3(2)()abcbaccab3abc思维启迪：本题是条件不等式，从已知式和特征式的结论较难用比较法证明，因此可利用分析法证明证明(1)要证 abc，由于 a，b，c0，3因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而 abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而这可以由 abbccaa2b2c2(当且仅当 abc 时等a2b22b2c22c2a22号成立)证得原不等式成立(2).abcbaccababcabc在(1)中已证 abc.3因此要证原不等式成立，只需证明.1abcabc即证 abc1，bcacab即证 abcabbcca.bcacab而 a，bcabacabac2b，c.acabbc2abbcac2abcabbcca bcacab(abc时等号成立)33原不等式成立探究提高分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 已知 a、b、cR，且 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c)证明a、b、cR且 abc1，要证原不等式成立，即证(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是证(ab)(ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(bc)(ca)(ab)(ab)(bc)20.abbc(bc)(ca)20，bcca(ca)(ab)20，caab三式相乘得式成立，故原不等式得证题型二用综合法证明不等式例 2 设 a，b，c 为正数，且 abc1，求证：9.1a1b1c思维启迪：结合已知条件对所证不等式变形构造柯西不等式的形式证明证明构造两组数：，；，.abc1a1b1c因此根据柯西不等式有()2()2()2222abc(1a)(1b)(1c)2.(a 1a b 1b c 1c)即(abc)329.(1a1b1c)(当且仅当，即 abc 时取等号)a1ab1bc1c又 abc1，所以 9.1a1b1c 设 a，b，c 为正数，求证：abc.a2bb2cc2a证明由柯西不等式知222()2()2()2(ab)(bc)(ca)bca2.(abbbcccaa)于是(abc)(abc)2.(a2bb2cc2a)即abc.a2bb2cc2a题型三利用柯西不等式求最值例 3 设 x2y3z3，求 4x25y26z2的最小值思维启迪：将待求式中的各项变为完全平方数的形式，利用柯西不等式建立关于待求式的不等式后求最值，应注意构造出 x2y3z.解4x25y26z2(2x)2(y)2(z)2，56由柯西不等式知(2x)2(y)2(z)222256(12)(25)(36)(2x 12 5y 25 6z 36)(x2y3z)29.即(4x25y26z2)9.(144532)4x25y26z29.20516017当且仅当Error!，即Error!等号成立4x25y26z2有最小值.6017 若正数 a，b，c 满足 abc1，求的最小值13a213b213c2解由柯西不等式知：(3a2)(3b2)(3c2)(13a213b213c2)()2329.13a23a213b23b213c23c23(abc)69，(13a213b213c2)即99.(13a213b213c2)1.13a213b213c2当且仅当 3a23b23c2，即 abc 时，取到最小值 1.13利用算术几何平均不等式求最值典例：(10 分)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2b2c226，并确定(1a1b1c)3a，b，c 为何值时，等号成立审题视角(1)a2b2c2，分别用算术几何平均不等式；(2)相加后又构成用1a1b1c算术几何平均不等式的条件规范解答解因为 a，b，c 均为正数，由算术几何平均不等式得a2b2c23(abc)，23 3(abc)，1a1b1c13所以29(abc).(1a1b1c)23故 a2b2c22(1a1b1c)3(abc)9(abc).2323又 3(abc)9(abc)26，2323273所以原不等式成立8 分当且仅当 abc 时，式和式等号成立当且仅当 3(abc)9(abc)时，式等号成立2323即当且仅当 abc3 时，原式等号成立10 分14温馨提醒(1)利用算术几何平均不等式证明不等式或求最值问题，是不等式问题中的一个重要类型，重点要抓住算术几何平均不等式的结构特点和使用条件(2)在解答本题时有两点容易造成失分：一是多次运用算术几何平均不等式后化简错误；二是求解等号成立的 a，b，c 的值时计算出错.方法与技巧1 不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法2 柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式失误与防范1 利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征2 注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立A 组专项基础训练(时间：35 分钟，满分：57 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1 已知 a，b，c 为正数，且 abc1，则 的最小值是()1a1b1cA3 B6 C9 D12答案C解析 (abc)9.1a1b1c(1a1b1c)2 设 x，yR，Mx2y21，Nxyxy，则 M 与 N 的关系是()AMN BMNCMN D不能确定答案A解析x212x，y212y，x2y22xy，三式相加即可3 若 a，b，c(0，)，且 abc1，则的最大值为()abcA.B3 C2 D.3332答案A4 已知 x，yR，且 xy1，则的最小值为()(11x)(11y)A8 B4 C3 D10答案B解析24.(11x)(11y)(11xy)二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5 若 a，bR，且 ab，M，N，则 M、N 的大小关系为_abbaab答案MN解析ab，2，2，abbabaab22，abbbaaab.即 MN.abbaab6 已知 a，b，c 为正实数，且 a2b3c9，则的最大值为_3a2bc答案39解析 3a2bc3 a2b13 3c，故最大值为.(3113)a2b3c39397 若 0ab2，a2b22ab.ab又(a2b2)(ab)a(a1)b(b1)，0a1,0b1.a(a1)b(b1)0.a2b2ab.三、解答题(共 22 分)8(10 分)(2012江苏)已知实数 x，y 满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.1316518证明因为 3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，1316从而 3|y|，所以|y|.2316565189(12 分)已知 a，b 为正实数(1)求证：ab；a2bb2a(2)利用(1)的结论求函数 y(0 x0，b0，(ab)a2b2(a2bb2a)a3bb3aa2b22ab(ab)2.ab，当且仅当 ab 时等号成立a2bb2a方法二(ab)a2bb2aa3b3a2bab2aba3a2bab2b3aba2abb2abab.又a0，b0，0，ab2ababab2abab当且仅当 ab 时等号成立ab.a2bb2a(2)解0 x0，由(1)的结论，函数 y(1x)x1.1x2xx21x当且仅当 1xx，即 x 时等号成立12函数 y(0 xn Bmn.2 已知 Ma2b2，Nabab1，则 M，N 的大小关系为 ()AMN DMN答案D解析(a2b2)(abab1)a2b2abab1(2a22b22ab2a2b2)12(a22abb2)(a22a1)(b22b1)12(ab)2(a1)2(b1)20，12a2b2abab1.3 已知正数 x，y，z 满足 xyzxyz，且不等式 恒成立，则 的取1xy1yz1zx值范围为()A.B.32，)(32，)C.D.(12，)112，)答案A解析1xy1yz1zx12 xy12 yz12 zx(111)12zxyzxxyzyxyz(121212)()12zxyzxxyzyxyz12.故 的取值范围是.3232，)二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)4 函数 f(x)的最大值为_2x163x答案302解析x且 f(x)0，12，2f(x)2x123 2x 22 32 x122 2x2.当且仅当 ，5 323022 2x3x12即 2(2x)3时取等号，此时 x.(x12)11105 已知 x22y23z2，则 3x2yz 的最小值为_1817答案23解析(x22y23z2)32()222(13)(3xyz)2(3x2yz)2，22313当且仅当 x3y9z 时，等号成立(3x2yz)212，即23x2yz2.33当 x，y，z时，9 3173 3173173x2yz2，最小值为2.336 若直线 3x4y2，则 x2y2的最小值为_，最小值点为_答案425(625，825)解析由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，得 25(x2y2)4，所以 x2y2.425当且仅当 时成立，为求最小值点，x3y4需解方程组Error!Error!因此，当 x，y时，x2y2取得最小值，最小值为，最小值点为.625825425(625，825)三、解答题7(13 分)(2012福建)已知函数 f(x)m|x2|，mR，且 f(x2)0 的解集为1,1(1)求 m 的值；(2)若 a，b，c 均为正实数，且 m，求证：a2b3c9.1a12b13c(1)解因为 f(x2)m|x|，f(x2)0 等价于|x|m.由|x|m 有解，得 m0，且其解集为x|mxm又 f(x2)0 的解集为1,1，故 m1.(2)证明由(1)知 1，又 a，b，c 均为正实数，1a12b13c由柯西不等式得 a2b3c(a2b3c)(1a12b13c)29.(a1a 2b12b 3c13c)