基本不等式-高考数学知识点总结-高考数学真题复习.pdf

7.4基本不等式基本不等式2014 高考会这样考 1.利用基本不等式求最值、证明不等式；2.利用基本不等式解决实际问题复习备考要这样做 1.注意基本不等式求最值的条件；2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用1 基本不等式abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号2 几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b 同号)baab(3)ab2(a，bR)(ab2)(4)2(a，bR)a2b22(ab2)3 算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：ab2ab两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4 利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2.(简记：积定和最p小)(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是.(简记：和定积最大)p24难点正本疑点清源1 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误2 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2b22ab 逆用就是 ab；(a，b0)逆用就是 ab2(a，b0)等还要注意“添、a2b22ab2ab(ab2)拆项”技巧和公式等号成立的条件等3 对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数 yx(m0)的单调性mx1 若 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值是_答案81解析由于 x0，y0，则 xy2，xy所以 xy281，(xy2)当且仅当 xy9 时，xy 取到最大值 81.2 已知 t0，则函数 y的最小值为_t24t1t答案2解析t0，yt 4242，且在 t1 时取等号t24t1t1t3 已知 x0，y0，且 2xy1，则 的最小值是_1x2y答案8解析因为 (2xy)1x2y(1x2y)4 428，等号当且仅当 y，x 时成立yx4xyyx4xy12144(2012浙江)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是()A.B.C5 D6245285答案C解析x0，y0，由 x3y5xy 得1.15(1y3x)3x4y(3x4y)15(1y3x)15(3xy4912yx)213515(3xy12yx)135153xy12yx5(当且仅当 x2y 时取等号)，3x4y 的最小值为 5.5 圆 x2y22x4y10 关于直线 2axby20(a，bR)对称，则 ab 的取值范围是()A.B.(，14(0，14C.D.(14，0)(，14)答案A解析由题可知直线 2axby20 过圆心(1,2)，故可得 ab1，又因ab2 (ab 时取等号)(ab2)14故 ab 的取值范围是.(，14题型一利用基本不等式证明简单不等式例 1 已知 x0，y0，z0.求证：8.(yxzx)(xyzy)(xzyz)思维启迪：由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证证明x0，y0，z0，0，0，yxzx2 yzxxyzy2 xzy 0，xzyz2 xyz(yxzx)(xyzy)(xzyz)8.8 yz xz xyxyz当且仅当 xyz 时等号成立探究提高利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题 已知 a0，b0，c0，且 abc1.求证：9.1a1b1c证明a0，b0，c0，且 abc1，1a1b1cabcaabcbabcc3 bacaabcbacbc3(baab)(caac)(cbbc)32229，当且仅当 abc 时，取等号13题型二利用基本不等式求最值例 2(1)已知 x0，y0，且 2xy1，则 的最小值为_；1x1y(2)当 x0 时，则 f(x)的最大值为_2xx21思维启迪：利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换如第(1)问把 中1x1y的“1”代换为“2xy”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式答案(1)32(2)12解析(1)x0，y0，且 2xy1，1x1y2xyx2xyy3 32.当且仅当 时，取等号yx2xy2yx2xy(2)x0，f(x)1，2xx212x1x22当且仅当 x，即 x1 时取等号1x(1)已知 x0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值是()A3 B4 C.D.92112(2)已知 ab0，则 a2的最小值是_16bab答案(1)B(2)16解析(1)依题意，得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)26，x12y1即 x2y4.当且仅当Error!即Error!时等号成立x2y 的最小值是 4.(2)ab0，b(ab)2，(bab2)a24当且仅当 a2b 时等号成立a2a2a216bab16a2464a2216，当且仅当 a2时等号成立a264a22当 a2，b时，a2取得最小值 16.2216bab题型三基本不等式的实际应用例 3 某单位建造一间地面面积为 12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度 x 不得超过 5 m房屋正面的造价为 400 元/m2，房屋侧面的造价为 150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为 5 800 元，如果墙高为 3 m，且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时，总造价最低？思维启迪：用长度 x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可还应注意定义域0 x5；函数取最小值时的 x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性解由题意可得，造价 y3(2x150400)5 80012x9005 800(00)，即 x80 时“”成立，故选 B.800 xx8忽视最值取得的条件致误典例：(12 分)已知 a、b 均为正实数，且 ab1，求 y的最小值(a1a)(b1b)易错分析在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到审题视角(1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件(2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围规范解答解方法一y(a1a)(b1b)2(ab1ab)(baab)(ab1ab)22(ab1ab)(4 ab1ab3 ab)22.10 分(2 4 ab1ab3 ab2)(432)254当且仅当 ab 时，y取最小值，最小值为.12 分12(a1a)(b1b)254方法二yab(a1a)(b1b)1ababbaabab1aba2b2ab1abab22ababab2.6 分2ab令 tab2，即 t.(ab2)14(0，14又 f(t)t 在上是单调递减的，10 分2t(0，14当 t 时，f(t)min，此时，ab.1433412当 ab 时，y 有最小值.12 分12254温馨提醒(1)这类题目考生总感到比较容易下手但是解这类题目却又常常出错(2)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错(3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件.方法与技巧1 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点2 恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形比如：(1)当 x2 时，x(x2)2224.1x21x2(2)0 x，x(83x)(3x)(83x)83132.13(3x83x2)163失误与防范1使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可2在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件3连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致A 组专项基础训练(时间：35 分钟，满分：57 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1(2011陕西)设 0ab，则下列不等式中正确的是()Aab Bababab2abab2Cab D.ababab2abab2答案B解析0ab，a0，即a，D 错误，故选 B.ababaab2(2012福建)下列不等式一定成立的是()Alglg x(x0)(x214)Bsin x2(xk，kZ)1sin xCx212|x|(xR)D.1(xR)1x21答案C解析当 x0 时，x2 2x x，1412所以 lglg x(x0)，故选项 A 不正确；(x214)而当 xk，kZ 时，sin x 的正负不定，故选项 B 不正确；由基本不等式可知，选项 C 正确；当 x0 时，有1，故选项 D 不正确1x213 设 x，yR，a1，b1，若 axby3，ab2，则 的最大值为()31x1yA2 B.C1 D.3212答案C解析由 axby3，得：xloga3，ylogb3，由 a1，b1 知x0，y0，log3alog3blog3ablog321，当且仅当 ab时“”1x1y(ab2)3成立，则 的最大值为 1.1x1y4 已知 0 x1，则 x(33x)取得最大值时 x 的值为()A.B.C.D.13123423答案B解析0 x0.x(33x)3x(1x)32.(x1x2)34当 x1x，即 x 时取等号12二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5 已知 x，yR，且满足 1，则 xy 的最大值为_x3y4答案3解析x0，y0 且 1 2，xy3.当且仅当 时取等号x3y4xy12x3y46(2011湖南)设 x，yR，且 xy0，则的最小值为_(x21y2)(1x24y2)答案9解析54x2y2(x21y2)(1x24y2)1x2y2529，1x2y24x2y2当且仅当 x2y2 时“”成立127 某公司一年需购买某种货物 200 吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为 2 万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_答案20解析设每次购买该种货物 x 吨，则需要购买次，则一年的总运费为2，200 x200 x400 x一年的总存储费用为 x，所以一年的总运费与总存储费用为x240，当且400 x400 xx仅当x，即 x20 时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次400 x应购买该种货物 20 吨三、解答题(共 22 分)8(10 分)已知 a0，b0，ab1，求证：(1)8；1a1b1ab(2)9.(11a)(11b)证明(1)1a1b1ab1a1babab2，(1a1b)ab1，a0，b0，2 224，1a1babaabbabba 8(当且仅当 ab 时等号成立)1a1b1ab12(2)方法一a0，b0，ab1，1 12，1aababa同理，1 2，1bab(11a)(11b)(2ba)(2ab)52549.(baab)9(当且仅当 ab 时等号成立)(11a)(11b)12方法二1 .(11a)(11b)1a1b1ab由(1)知，8，1a1b1ab故1 9.(11a)(11b)1a1b1ab9(12 分)为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为 2 m 的无盖长方体沉淀箱(如图所示)，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱的底长为 a m，高度为 b m已知流出的水中该杂质的质量分别与a，b 的乘积成反比，现有制箱材料 60 m2.问：当 a，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B 孔的面积忽略不计)?解方法一设 y 为流出的水中该杂质的质量分数，则 y，其中 k0 为比例系数，依题意，求使 y 值最小的 a，b 的值kab根据题设，有 4b2ab2a60(a0，b0)，解得 b(0a0，b0)，即 a2bab30(a0，b0)因为 a2b2，所以 2ab30，2ab2ab当且仅当 a2b 时，上式取等号由 a0，b0，解得 0ab18，即当 a2b 时，ab 取得最大值，其最大值为 18.所以 2b218，解得 b3，进而求得 a6.故当 a 为 6 m，b 为 3 m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小B 组专项能力提升(时间：25 分钟，满分：43 分)一、选择题(每小题 5 分，共 15 分)1 不等式 a2b22|ab|成立时，实数 a，b 一定是()A正数 B非负数 C实数 D不存在答案C解析原不等式可变形为 a2b22|ab|a|2|b|22|ab|(|a|b|)20，对任意实数都成立2 如果 0abQM BQPMCQMP DMQP答案B解析因为 Plog，Q(log alog b)，12ab2121212M log(ab)，所以只需比较，的大小，显然.又因为，也就是，而对数函数当底数abab24ab4abab2ab大于 0 且小于 1 时为减函数，故 QPM.3 函数 yloga(x3)1(a0，且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny10上，其中 m，n 均大于 0，则 的最小值为()1m2nA2 B4 C8 D16答案C解析点 A(2，1)，所以 2mn1.所以 (2mn)4 8，当且仅当 n2m，即 m，n 时等号成1m2n(1m2n)nm4mn1412立二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)4 若正实数 x，y 满足 2xy6xy，则 xy 的最小值是_答案18解析由 x0，y0,2xy6xy，得xy26(当且仅当 2xy 时，取“”)，2xy即()2260，xy2 xy(3)()0.xy2xy2又0，3，即 xy18.xyxy2xy 的最小值为 18.5 已知 m、n、s、tR，mn2，9，其中 m、n 是常数，且 st 的最小值是，msnt49满足条件的点(m，n)是圆(x2)2(y2)24 中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为_答案xy20解析因(st)mn(msnt)tmssntmn2，所以 mn24，mnmn从而 mn1，得 mn1，即点(1,1)，而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为1，从而此弦的方程为 xy20.6 定义“*”是一种运算，对于任意的 x，y，都满足 x*yaxyb(xy)，其中 a，b 为正实数，已知 1.答案1解析12a3b2，ab.6ab23当且仅当 2a3b，即 a1 时等号成立，所以当 a1 时，ab 取最大值.23三、解答题7(13 分)甲、乙两地相距 s 千米，一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，水速为常量 p(单位：千米/小时)，船在静水中的最大速度为 q 千米/小时(qp)已知船每小时的燃料费用(单位：元)与船在静水中的速度 v(单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为 k.(1)把全程燃料费用 y(单位：元)表示为船在静水中的速度 v 的函数，并求出这个函数的定义域；(2)为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？解(1)由题意，知船每小时的燃料费用是 kv2，全程航行时间为，svp于是全程燃料费用 ykv2(pq 时，函数 ykv2在(p，q内单调递减，所以svpyminks，此时船的前进速度为 qp.q2qp故为了使全程燃料费用最小，当 2pq 时，船的实际前进速度应为 p 千米/小时；当 2pq时，船的实际前进速度应为(qp)千米/小时