导数有关知识点总结、经典例题与解析、近年高考题带答案.pdf

.学习参考导导数及其数及其应应用用【考考纲说纲说明明】1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知知识识梳理梳理】一一、导导数的概念数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0处有增量，那么函数 y 相应地有增量=f（x0+）f（x0），比值叫做函xyxxy数 y=f（x）在 x0到 x0+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我xxyxxfxxf)()(000 xxy导 数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数.学习参考们就说函数 y=f(x)在点 x0处可导，并把这个极限叫做 f（x）在点 x0处的导数，记作 f（x0）或 y|。0 xx即 f（x0）=。0limxxy0limxxxfxxf)()(00说明：（1）函数 f（x）在点 x0处可导，是指时，xy有极限。如果不存在极限，就说函数在点 x0处不可导，0 xxy或说无导数。（2）是自变量 x 在 x0处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。x0 xy由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x0处的导数的步骤：（1）求函数的增量=f（x0+）f（x0）；yx（2）求平均变化率=；xyxxfxxf)()(00（3）取极限，得导数 f(x0)=。xyx0lim二二、导导数的几何意数的几何意义义函数 y=f（x）在点 x0处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x0，f（x0）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点 p（x0，f（x0）处的切线的斜率是 f（x0）。相应地，切线方程为 yy0=f/（x0）（xx0）。三三、几种常几种常见见函数的函数的导导数数 ;0;C 1;nnxnx(sin)cosxx(cos)sinxx ;.();xxee()lnxxaaa 1ln xx1l glogaaoxex四四、两个函数的和两个函数的和、差差、积积的求的求导导法法则则 法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(.)vuvu.学习参考 法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)(uvvuuv若 C 为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：0)(CuCuCuuCCu.)(CuCu 法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=（v0）。vu2vuvvu形如 y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|x=y|u u|xx()五五、导导数数应应用用1、单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，)(xfy 如果，则为增函数；f)(x0)(xf如果，则为减函数；f0)(x)(xf如果在某区间内恒有，则为常数；f0)(x)(xf2、极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3、最值：一般地，在区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值。求函数(x)在(a，b)内的极值；求函数(x)在区间端点的值(a)、(b)；将函数(x)的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积分.学习参考(1)概念：设函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax0 x1xi1xixnb 把区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点 i（i1，2，n）作和式 In(i)x（其中x 为小区间长度），把 nnif1即x0 时，和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即(i)badxxf)(badxxf)(ninf1limx。这里，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。基本的积分公式：C；C（mQ，m1）；dx0dxxm111mxmdxlnC；C；x1xdxexxeC；sinxC；cosxC（表中 C 均为常数）。dxaxaaxlnxdxcosxdxsin(2)定积分的性质（k 为常数）；babadxxfkdxxkf)()(；bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(（其中 acb。bacabcdxxfdxxfdxxf)()()()(3)定积分求曲边梯形面积由三条直线 xa，xb(ab)，x 轴及一条曲线 yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯的面积。badxxfS)(如果图形由曲线 y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设 f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（a0，且 x1 时，f(x)，求 k 的取值范围。xkxInx1【解析解析】(1)f,(x)=由于直线 x+2y-3=0 的斜率为，且过点(1,1)，22)1()1(xbxInxxxa21故 即 解得 a=1，b=1。(2)由（1）知，所以。ln11xxx22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxf xxxxxx考虑函数，则。()2lnh xx2(1)(1)kxx(0)x 22(1)(1)2()kxxh xx(i)设，由知，当时，。而，故0k 222(1)(1)()k xxh xx1x()0h x(1)0h当时，可得；(0,1)x()0h x 21()01h xx当 x（1，+）时，h（x）0211xf(x)=1f,(1)=21b=1=ba221.学习参考从而当 x0,且 x1 时，f（x）-（+）0，即 f（x）+.1lnxxxk1lnxxxk（ii）设 0k0,故 h（x）0,而 h（1）=0，故当 x（1，k11）时，h（x）0，可得h（x）0,而 h（1）=0，故当 x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）0,与题设211x矛盾。综合得，k 的取值范围为（-，0.【例例 4】（2012 山山东东）已知函数 f(x)=xekx ln（k 为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线 y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线与 x 轴平行。（）求 k 的值；（）求 f(x)的单调区间；（）设 g(x)=(x2+x)()fx,其中()fx为 f(x)的导函数，证明：对任意 x0，21)(exg。【解析解析】由 f(x)=xekx ln可得)(xfxexkxln1，而0)1(f，即01ek，解得1k；（）)(xfxexxln11，令0)(xf可得1x，当10 x时，0ln11)(xxxf；当1x时，0ln11)(xxxf。于是)(xf在区间)1,0(内为增函数；在),1(内为减函数。（）xxexxxxexxxxxgln)(1ln11)()(222，当1x时，0,0,0ln,0122xexxxx，210)(exg.当10 x时，要证22221ln)(1ln11)()(eexxxxexxxxxgxx。只需证2221()ln(1)xxxxxee，然后构造函数即可证明。【例例 5】（2012 北京北京）已知函数2(1)()a xf xx，其中0a.（）求函数()f x的单调区间；.学习参考（）若直线10 xy 是曲线()yf x的切线，求实数a的值；（）设2()ln()g xxxx f x，求()g x在区间1,e上的最大值.（其中e为自然对数的底数）【解析解析】（）3(2)()axfxx，（0 x），在区间(,0)和(2,)上，()0fx；在区间(0,2)上，()0fx.所以，()f x的单调递减区间是(,0)和(2,)，单调递增区间是(0,2).（）设切点坐标为00(,)xy，则002000030(1)10(2)1a xyxxyaxx 解得01x，1a.（）()g x ln(1)xxa x，则()ln1g xxa 解()0g x，得1eax，所以，在区间1(0,e)a上，()g x为递减函数，在区间1(e,)a上，()g x为递增函数.当1e1a，即01a时，在区间1,e上，()g x为递增函数，所以()g x最大值为(e)eegaa.当1eea，即2a 时，在区间1,e上，()g x为递减函数，所以()g x最大值为(1)0g.当11 e0;当 x时，f (x)0,所以 f(x)在 x=处取得极大值，在 x=处取得极小值。，232123（2）若为上的单调函数则 f (x)恒大于等于零或 f (x)恒小于等于零，()f xR因为 a0 所以=（-2a）2-4a0，解得 00）.（）令F（x）xf（x），讨论F（x）在（0.）内的单调性并求极值；（）求证：当x1 时，恒有xln2x2a ln x1.【课课后作后作业业】一一、选择题选择题1.（2005 全国卷全国卷文文）函数,已知在时取得极值,则=()93)(23xaxxxf)(xf3xaA 2B 3C 4D 52(2008 海南海南、宁夏文宁夏文）设，若，则（）()lnf xxx0()2fx0 x A B C D 2eeln22ln2.学习参考3（2005 广广东东）函数是减函数的区间为（）13)(23xxxfA B C D（0，2）),2()2,()0,(4.（2008 安徽文安徽文）设函数 则（）1()21(0),f xxxx()f xA 有最大值 B 有最小值 C 是增函数D 是减函数5（2007 福建文福建文、理理）已知对任意实数 x 有 f(x)=f(x)，g(-x)=g(x)，且 x0 时，f(x)0，g(x)0，则 x0，g(x)0 B f(x)0，g(x)0C f(x)0 D f(x)0，g(x)0）有极大值 9.322()1f xxmxm x（）求m的值；（）若斜率为-5 的直线是曲线的切线，求此直线方程.()yf x【参考答案参考答案】【课课堂堂练习练习】一、选择110AADBD DDCCC(2)填空（1）3；12；13.2 ；14.,球的体积函数的导数等于球的表面积函数1623R4R34三、解答题15.解：每月生产 x 吨时的利润为)20050000()5124200()(2xxxxf).(200,20002400053)()0(5000024000512123舍去解得由xxxxfxxx.学习参考，故它就是最大值点，且最大值为：0)(200),0)(xfxxf使内只有一个点在因)(31500005000020024000)200(51)200(3元f答：每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315 万元.16.解：()因为,所 即当22()91f xxaxx2()329fxxax223()9.33aax 因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12，所以2()9.33aaxfx 时，取得最小值126xy 解得22912,9.3aa 即3,0,3.aaa 由题设所以()由()知 323,()391,af xxxx 因此17解：（1）求导：32()1f xxaxx2()321fxxax当时，,在上递增23a0()0fx()f xR当，求得两根为23a()0fx233aax 即在递增,递减,递增()f x233aa，223333aaaa ，233aa，（2）要使 f(x)在在区间内是减函数，当且仅当，在恒成立，2133，0)(xf2133，212()3693(3(1)()0,1,3.(,1)()0,()(1(1,3)()0,()13()0,()3.()(,13fxxxxxfxxxxfxf xxfxf xfxf xf x 令解得：当时，故在，）上为增函数；当时，故在（，）上为减函数；当x(3,+)时，故在（，）上为增函数由此可见，函数的单调递增区间为）和（，）；单调递减区13.间为（，）.学习参考由的图像可知，只需，即,解得。a2。所以，的取值范围。)(xf 031032ff0323403437aaa,218.解：（）因为 所以切线 的斜率为故切线 的方程为即,)()(xxeexfl,tel).(txeeytt。0)1(teyxett（）令 y=0 得 x=t+1,x=0 得)1(teyt所以 S（t）=从而)1()1(21tetttet2)1(21).1)(1(21)(ttetSt当（0，1）时，0,当（1,+）时,0,所以 S(t)的最大值为 S(1)=。t)(tSt)(tSe219解：的定义域为()f x32值（）224622(21)(1)()2232323xxxxfxxxxx当时，；当时，；当时，312x()0fx112x ()0fx12x ()0fx从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少()f x312值12值112值（）由（）知在区间的最小值为()f x3 14 4值11ln224f又31397131149lnlnln1 ln442162167226ff0所以在区间的最大值为()f x3 14 4值117ln4162f20.（）解：根据求导法则得.0,2In21)(fxxaxxxf故 于是,0,2In2)()(fxaxxxxfxF.0,221)(fxxxxxF列表如下：x (0,2)2 (2,+).学习参考F（x）-0 +F(x)极小值F（2）故知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+）内是增函数，所以，在x2 处取得极小值F（2）2-2In2+2a.（）证明：由.022In22)2()(0faFxFa值值值值值值于是由上表知，对一切.0)()(),0(fxxfxFx恒有从而当.,0)(,0)(0）内单调增加在（故时，恒有xfxfxff所以当.0In2In1,0)1()(12fffxaxxfxfx即时，故当.1In2In12xaxxxff时，恒有【课课后作后作业业】1、选择1-10 DBDAB ACABD1、填空11.；12.；13.32；14.2,-2.520 xy38三、解答题15.解：（I）f(x)3x26x9令f(x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，）（II）因为f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a，所以f(2)f(2)因为在（1，3）上f(x)0，所以f(x)在1,2上单调递增，又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927，即函数f(x)在区间2，2上的最小值为7.学习参考16.解（），。从而 32f xxbxcx 232fxxbxc是一个奇函数，所以322()()()(32)g xf xfxxbxcxxbxc32(3)(2)xbxcb xc得，由奇函数定义得；(0)0g0c 3b（）由（）知，从而，由此可知，3()6g xxx2()36g xx和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；(,2)(2,)()g x(2,2)()g x在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。()g x2x 4 2()g x2x 4 21、解：()由的图象过点 P（0，2）,d=2 知,所以,(x)32()f xxbxcxd32()2f xxbxcxf=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1)处的切线方程是 6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1,(-1)=6,f 即解得 b=c=-3。故所求的解析式为 f(x)=x3-3x2-3x+2,326,121,bcbc 0,23,bcbc()(x)=3x2-6x-3,令 3x2-6x-3=0 即 x2-2x-1=0,解得 x1=1-,x2=1+,f 22当 x1+时,(x)0;当 1-x1+时,(x)022f 22f f(x)=x3-3x2-3x+2 在(1+,+)内是增函数,在(-,1-)内是增函数,在(1-,1+)内是减函数.222218.解：设长方体的宽为x（m），则长为 2x(m)，高为.230(m)35.441218值值 xxxh故长方体的体积为).230()(m69)35.4(2)(3322值值 xxxxxxV从而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，).1(18)35.4(1818)(2xxxxxxV因此x=1.当 0 x1 时，V（x）0；当 1x时，V(x)0，32故在x=1 处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积VV（x）912-613（m3），此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m.答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3 m3。19解：（）2()363(2)fxaxxx ax因为是函数的极值点，所以，即，因此2x()yf x(2)0f 6(22)0a1a 经验证，当时，是函数的极值点1a 2x()yf x（）由题设，xxaaxxg6)1(3)(230)0(g当在区间上的最大值为时，对一切都成立，()g x0 2，(0)g06)1(323xxaax2,0 x.学习参考即对一切都成立令，则xxxa36322,0 xxxxx363)(22,0 xmin)(xa由，可知在上单调递减，0)3(6)2(3)(222xxxxxxxx363)(22,0 x所以，故 a 的取值范围是56)2()(minx65，（2）当时，抛物线的对称轴为，0a6)1(3)(2xaaxxhaax2)1(3当 a0 时，有 h(0)=-60,所以 h(x)在上单调递减，h(x)0 时,因为 h(0)=-60,所以要使 h(x)0 在上恒成立,只需 h(2)0 成立即可,解得 a;综上，的取2,0 x56a值范围为65，20.解：()f(x)3x2+2mxm2=(x+m)(3xm)=0,则x=m或x=m,31当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：从而可知，当x=m时，函数f(x)取得极大值 9，即f(m)m3+m3+m3+1=9,m2.()由()知，f(x)=x3+2x24x+1,依题意知f(x)3x24x45，x1 或x.又f(1)6，f()，31312768所以切线方程为y65(x1),或y5(x)，即 5xy10，或 135x27y230.276831x(,m)m(m,)m31m31(,+)m31f(x)+00+f(x)极大值极小值