不等式知识点和习题-学生版--不等式.pdf

-1-第三章：不等式知识要点第三章：不等式知识要点1 不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号、0)3 不等式的性质(1)对称性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc，ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc，ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN N，n1)；(6)可开方：ab0(nN N，n2)nanb难点正本疑点清源1 在学习不等式的性质时，要特别注意下面几点(1)不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有ab0ab，ab0ab，ab0ab，bc，则ac，这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明ac，选择中间量b，在证出ab，cb后，就误认为能得到ac.(4)同向不等式可相加，但不能相减，即由ab，cd，可以得出acbd，但不能得出acbd.2 理解不等式的思想和方法(1)作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意，要注意强化(2)加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算(3)通过复习要强化不等式“运算”的条件如ab、cd在什么条件下才能推出acbd.(4)强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系1 已知ab0，且cd0，则与的大小关系是_adbc2 已知a0，1b0，那么a，ab，ab2的大小关系是_3 限速 40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过 40 km/h，写成不等式就是()-2-Av40 km/hCv40 km/h Dv40 km/h4设ab1，c；acbc；cacb其中所有的正确结论的序号是()A BC D 都不对题型一不等式性质的应用例 1 已知，求，的取值范围2222思维启迪：不等式性质的应用是本题的突破点解因为，22所以，.424424所以，.222424因为，所以0.故0.222探究提高(1)利用不等式的性质求范围要充分利用题设中的条件，如本题中的条件；(2)注意“”形式，利用不等式要正确变形 已知1xy4 且 2xy3，则z2x3y的取值范围是_(答案用区间表示)题型二比较大小问题例 2 已知a1 且aR R，试比较与 1a的大小11a思维启迪：要判断与 1a的大小，只需研究它们差的符号11a解(1a)，11aa21a当a0 时，0，1a.a21a11a当a0，1a.a21a11a当a1 时，0，1a.a21a11a设a，b为正实数现有下列命题：-3-若a2b21，则ab1；若 1，则ab1；若|1，则|ab|1；若1b1aab|a3b3|1，则|ab|1.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)已知a、b、c是实数，试比较a2b2c2与abbcca的大小解方法一(作差法)a2b2c2(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)20，12当且仅当abc时取等号，a2b2c2abbcca.方法二(函数法)记ta2b2c2(abbcca)a2(bc)ab2c2bc，(bc)24(b2c2bc)3b23c26bc3(bc)20，t0 对aR R 恒成立，即a2b2c2abbcca.方法与技巧1 用同向不等式求差的范围Error!Error!adxybc这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到2 倒数关系在不等式中的作用Error!.1a1b1a1b3 比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比差法的主要步骤为：作差变形判断正负在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商失误与防范1 abacbc或abacb 或a，当ab0 时不成立1a1b1a1b3 abanbn对于正数a、b才成立4.1ab，对于正数a、b才成立ab5 注意不等式性质中“”与“”的区别，如：-4-ab，bcac，其中ac不能推出Error!.6 求范围问题要整体代换，“一次性”使用不等式性质，注意不要扩大变量的取值范围A 组专项基础训练一、选择题 1 下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()Aab1 Bab1Ca2b2 Da3b32 设ab B.1a1b1ab1aC|a|b D.ab6 对于实数a，b，c有下列命题：若ab，则acbc2，则ab；若ab，则1a1ba0，ba BacbCcba Dacb2 若ab0，则下列不等式中一定成立的是()Aa b B.1b1abab1a1Ca b D.1b1a2aba2bab3 已知f(n)n，g(n)n，(n)(nN N*，n2)，则f(n)，g(n)，(n)的大小n21n2112n关系是_4 设x，y为实数，满足 3xy28,49，则的最大值是_x2yx3y45 设abc0，x，y，z，则x，y，z的大小关a2bc2b2ca2c2ab2系是_三、解答题 -5-6 (1)设xy，xy，求证：.1a1bxxayyb一、不等式的解法一、不等式的解法1 1、不等式的同解原理：、不等式的同解原理：原理 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；原理 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；原理 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后所得不等式与原不等式是同解不等式。2 2、一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与 x 轴交点的横坐标。二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根 -6-注意：注意：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的20(0)axbxca12,x x20(0)axbxca解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；2(0)yaxbxc ax（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与0,0,0 20(0)axbxca的解集。20(0)axbxca考点一：求常规一元二次不等式的解集1、解不含参数的一元二次不等式的方法方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集；方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得；方法三：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法。2、一元二次不等式解集的逆向问题的求解方法由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两个根，从而由根与系数的关系，找出系数 a，b，c之间的关系，写出不等式的解集。一元二次不等式解集的逆向应用问题的求解步骤：第一步：审结论-明确解题方向要解 cx2+bx+a0，首先确定 c 的符号，最好能确定 a，b，c 的值。第二步：审条件-挖掘题目信息由已知可确定 a0，利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于 a，b，c 的方程组，用 a 表示 b，c。第三步：建联系-找解题突破口由给定不等式的解集形式确定 a0 及关于 a，b，c 的方程组用 a 表示代入所求不等式求解 cx2+bx+a0 的解集。解不等式1、3x2+5x-20 2、-2x2+x-60 -7-3、-2x2+x+10 4、-x2+6x-905、-4x2+4x-106、已知不等式 ax2+bx+c0 的解集为（2,3），则不等式 cx2+bx+a0 的解集为考点二：求含参数的一元二次不等式的解集1、解含有参数的一元二次型（ax2+bx+c0）的不等式应注意：（1）要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类讨论；（2）转化为标准形式的一元二次不等式（即二次项系数大于零）后，再以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨论；（3）如果判别式大于零，但两实根的大小还是不能确定，此时再以两实根的大小作为分类标准进行分类讨论。2、解含有参数的一元二次不等式分类讨论次序：（1）含参数的一元二次不等式的讨论次序：二次项系数；判别式；若有实根，两实根的大小顺序。（2）根据上面的步骤可能产生的讨论形式：二次项系数若有参数，应讨论是等于 0，小于 0 还是大于 0，然后将不等式的二次项系数化为正数；判断方程的跟的个数，即讨论判别式与 0 的大小关系；确定方程无实数根，可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两个根的大小关系，从而写出解集。练习：1、解关于 x 的不等式：2x2+ax+20 -8-2、解关于 x 的不等式：ax2-（a+1）x+103 3、一元高次不等式的解法：、一元高次不等式的解法：解高次不等式的基本思路是通过因式分解，将它转化成一次或二次因式的乘积的形式，然后利用数轴标根法或列表法解之。数轴标根法原则：（1）“右、上”（2）“奇过，偶不过”1、不等式 x3-2x2+30 的解集2、不等式（x+2）（x2-x-12）0 的解集4 4、分式不等式的解法：、分式不等式的解法：（1）若能判定分母（子）的符号，则可直接化为整式不等式。（2）若不能判定分母（子）的符号，则可等价转化：000;0.0000;0.0fxg xfxfxfxg xg xg xg xfxg xfxfxfxg xg xg xg x5 5、与一元二次不等式相关的恒成立问题：、与一元二次不等式相关的恒成立问题：1、在实时 R 上的恒成立问题（1）一元二次不等式 ax2+bx+c0，对于任意实数 xR 恒成立的条件是a0，0（2）一元二次不等式 ax2+bx+c0，对于任意实数 xR 恒成立的条件是a0，0（3）一元二次不等式 ax2+bx+c0，对于任意实数 xR 恒成立的条件是a0，0（4）一元二次不等式 ax2+bx+c0，对于任意实数 xR 恒成立的条件是a0，02、在某区间上恒成立问题设 ax2+bx+c（a0）（1）a0 时，f（x）0 在区间，上恒成立f（）0，f（）0；（2）a0 时，f（x）0 在区间，上恒成立f（）0，f（）0；-9-3、分离自变量和参变量，利用等价转化思想将恒成立问题转化为求函数的最值问题通过等价变形，将参变量从整体式中分离出来，转化为 f（x）（或，或，或）恒成立问题：（1）若 f（x）在定义域内存在最大值 m，则 f（x）a（或 f（x）a）恒成立am（或am）（2）若 f（x）在定义域内存在最小值 m，则 f（x）a（或 f（x）a）恒成立am（或am）（3）若 f（x）在其定义域内不存在最值，只需找到 f（x）在定义域内的最大上界（或最小下界）m，即 f（x）在定义域内增大（或减小）时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的 m，只是等号均可以取到。练习：1、若不等式 x2-kx+k-10 对 x（1,2）恒成立，则实数 k 的取值范围是-2、设函数 f（x）mx2-mx-1，若对于一切实数 x，f（x）0 恒成立，则 m 的取值范围是-、6 6、一元二次方程根的分别情况：、一元二次方程根的分别情况：（1）设关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）对应的二次函数为 f（x）=ax2+bx+c（a0），结合二次函数的图像的开口方向、对称轴位置，以及区间端点函数值的正负，可以得到以下几类方程根的分布问题：方程 f（x）=0 在区间（k，+）内有两个实根的条件是0，-b/2ak，f（k）0。方程 f（x）=0 有一个根大于 k，另一根小于 k 的条件是 f（k）0；方程 f（x）=0 在区间（k1，k2）内有两个实根的条件是0，k1-b/2ak2，f（k1）0，f（k2）0；方程 f（x）=0 在区间（k1，k2）外有两个实根的条件是 f（k1）0，f（k2）0练习：1、已知方程 x2+2mx-m+12=0 的两根都大于 2，则实数 m 的取值范围是-2、关于 x 的方程 x2-2（m+2）x+m2-1=0.（1）m 为何实数时，方程有两正实数根？（2）m 为何实数时，方程有一正实数根、一负实数根？-10-11-12-7 7、指数、对数不等式的解法：、指数、对数不等式的解法：（1）1;01f xg xf xg xaaafxg xaaafxg x（2）loglog (1)0;loglog (01)0aaaafxg xafxg xfxg xafxg x8 8、含绝对值不等式的解法：、含绝对值不等式的解法：220;0.;.fxa afxafxafxa aafxafxg xfxg xfxg xfxg xg xfxg xfxg xfxgx 或或对于含有多个绝对值的不等式，利用绝对值的意义，脱去绝对值符号。二、基本不等式二、基本不等式1、基本不等式：若，则，当且仅当时，等号成立0a 0b 2ababab称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数2abababab 变形应用：，当且仅当时，等号成立20,02abababab2、基本不等式推广形式：如果，则，当且仅当时，等号成立,a bR222ab2abab211abab3、基本不等式的应用：设、都为正数，则有：xy若（和为定值），则当时，积取得最大值xysxyxy24s若（积为定值），则当时，和取得最小值xypxyxy2p（3）若 x+y=t（和为定值），则和 n/x+m/y 的最值时，用乘法注意：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”-13-(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用4、常用不等式：22222,22 2abRababababab若、则；应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y3x 2 （2）yx12x 21x解题技巧技巧一：凑项已知，求函数的最大值。54x 14245yxx技巧二：凑系数 -14-例：当时，求的最大值。(82)yxx技巧三：分离换元例：求的值域。2710(1)1xxyxx 技巧四：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单调性。()af xxx例：求函数的值域。2254xyx技巧五：整体代换（“1”的应用）多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。例：已知，且，求的最小值。0,0 xy191xyxy技巧六 -15-例：已知 x，y 为正实数，且 x 21，求 x的最大值.y 221y 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。a 2b 22同时还应化简中y2前面的系数为，xx x1y 2121y 22下面将x，分别看成两个因式：x 即xx 341y 2234 2技巧七：已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y的最小值.1ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a，abb302bb1302bb12 b 230bb1由a0 得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t282t 234t31t16t16t ab18 y 当且仅当t4，即b3，a6 时，等号成立。118法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab22 ab2 ab令u则u22u300，5u3ab2223，ab18，yab2118点评：本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不abba2）（Rba,等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到230abab）（Rba,ababba与 -16-不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.abba2）（Rba,abab技巧八、取平方例:求函数的最大值。152152()22yxxx 解析：注意到与的和为定值。21x52x又，所以22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8yxxxxxx 0y 02 2y当且仅当=，即时取等号。故。21x52x32x max2 2y应用二：利用均值不等式证明不等式例：已知 a、b、c，且。求证：R1abc1111118abc分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。1121abcbcaaaa 解：a、b、c，。同理，QR1abc1121abcbcaaaa 121acbb。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得121abcc。当且仅当时取等号。1112221118bcacababcabcgg13abc应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。0,0 xy191xyxymm解：令，,0,0,xyk xy191xy991.xyxykxky1091yxkkxky。，10312kk 16k,16m 基础练习1.当 x1 时，关于函数 f(x)x，下列叙述正确的是()1x1 -17-A.函数 f(x)有最小值 2B.函数 f(x)有最大值 2C.函数 f(x)有最小值 3D.函数 f(x)有最大值 32.若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A.a2b22abB.ab2abC.D.21a1b2abbaab题型一利用基本不等式求最值例 1(1)已知 x0，y0，且 2xy1，则 的最小值为_；1x1y(2)当 x0 时，则 f(x)的最大值为_.2xx21思维启迪利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把 中的“1”代换为1x1y“2xy”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式.答案(1)32(2)12解析(1)x0，y0，且 2xy1，1x1y2xyx2xyy3 32.当且仅当 时，取等号.yx2xy2yx2xy(2)x0，f(x)1，2xx212x1x22当且仅当 x，即 x1 时取等号.1x思维升华(1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.(1)已知正实数 x，y 满足 xy1，则(y)(x)的最小值为_.xyyx(2)已知 x，yR，且满足 1，则 xy 的最大值为_.x3y4 -18-题型二不等式与函数的综合问题例 2(1)已知函数 f(x)(aR)，若对于任意 xN*，f(x)3 恒成立，则 a 的取值范围是x2ax11x1_.对任意 xN*，f(x)3 恒成立，即3 恒成立，即知 a(x)3.x2ax11x18x设 g(x)x，xN*，则 g(2)6，g(3).8x173g(2)g(3)，g(x)min.(x)3，1738x83a，故 a 的取值范围是，).8383思维升华(1)af(x)恒成立a(f(x)max，af(x)恒成立a(f(x)min；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.若不等式 x2ax10 对于一切 x(0，)成立，则 a 的最小值是()12A.0B.2C.D.352忽视基本不等式等号成立的条件致误典例：(1)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是()A.B.C.5D.6245285(2)函数 y12x(x0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成ab2a2b22abab2a2b22立的条件.失误与防范1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.一、选择题1.已知 0 x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于()1x2A.1B.123C.3D.43.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(ab)，其全程的平均时速为 v，则()A.avB.vababC.v0)，若 f(x)在(1，)上的最小值为 4，则实数 p 的值为px1_.7.(1)已知 0 x0，y0，且 xy1，求 的最小值.8x2y -20-8.(1)若正实数 x、y 满足 2xy6xy，求 xy 的最小值.(2)求函数 y(x1)的最小值.x27x10 x1