专升本高数(一)(A)+答案.pdf

第 1 页，共 6 页高等数学（一）高等数学（一）试卷试卷 A A一、填空题：1.当时，函数与是等价无穷小，则。x)(xfx1lim2()_xxf x2.设函数在可导,且，则。)(xf1x2)1(f_1)1()34(lim1xfxfx3.设，则。xexy22_)50(y4.函数在上满足罗尔定理的点。xxfcosln)(49,47_5.已知的一个原函数为，则。)(xfxxe10()_xfx dx6.函数的单调减少区间为。)1ln()(xxxf_7.通过点且与直线垂直的平面方程为。)3,2,1(1223tztytx_8.设，则。yxxyz32_2yxz9.改变积分次序。21220010(,)(,)_xxdxf x y dydxf x y dy10.微分方程满足的特解是。02 ydxxdy12xy_二、选择题：11.设函数有二阶连续导数，且，则（）)(xf1)(lim,0)0(0 xxffx（A）是的极小值；（B）是的极大值；（C）是曲线的拐点；)0(f)(xf)0(f)(xf)0(,0(f)(xfy（D）不是的极小值，也不是曲线的拐点。)0(f)(xf)0(,0(f)(xfy 12.下列积分中，哪一个广义积分是发散的 （）（A）；（B）；（C）；（D）121dxx141dxx0sin xdxdxex013.平面与空间直线的位置关系是 （）032zyx121131zyx（A）互相垂直；（B）互相平行但直线不在平面上；（C）既不平行也不垂直；（D）直线在平面上14.级数在处收敛，则该级数在时 ()0nnnxa2x1x（A）发散；（B）绝对收敛；（C）条件收敛；（D）敛散性无法确定。第 2 页，共 6 页15.设在点处的增量为，且当时，是的高阶无穷小，则()yy xx1yyxx 0 x x(0)1y的值为（）。（A）；（B）0；（C）1 ；（D）(1)y12三、计算题：16.17.18.设，求)3sin(3lim33xxxx1)1232(limxxxx)3()2(yxyxzdz19.设是由方程所确定的的函数，求。z0)sin(zxeyxyx,yzxz,20.计算，其中是上半圆周：，方向从。Ldyxyydxx22L0,222yayx)0,()0,(aAaB21.计算，其中：三个坐标平面与平面所围成的闭区域。xdxdydz1zyx22.求微分方程的通解。xeyyy332 4、解答题：23.判定级数的敛散性。24.求幂级数的收敛域及和函数。),0(!1eaanannnn1nnnx25.已知，讨论的连续性，并写出连续区间；考察在处是否可导？若可0,0,cos)(20 xxxtdttxfx)(xf0 x)(xf导，求。)0(f 五、应用题26.设函数在上连续，在内大于零，并满足微分方程为常数）。又曲线()f x0,1(0,1)23()()(2xfxf xaxa与所围图形的面积为 2，求函数，并问为何值时，图形绕轴旋转一周所得的旋转体的()yf x1,0 xy()f xax体积最小。六、证明题：27.设是连续函数，证明：。)(xf0)1()11(12dxxxfxnn高等数学（一）试卷参考答案（高等数学（一）试卷参考答案（A A 卷）卷）一、填空题1.。2.。3.。2)(2limxxfx61)1()34(lim1xfxfxxe2502 4.5.。6.单调减少区间为。2edxxf x10)()0,1(7.8.。01023zyx2232xyyxz第 3 页，共 6 页9.。yyxxdxyxfdydyyxfdxdyyxfdx2102021010),(),(),(210.特解是。24xy 二、选择题11.A；12.C；13.D；14.B；15.D三、计算题16.=。)3sin(3lim33xxxx)13(ln27)3ln2727(13ln33lim23xxx 17.。22123111)211()231(lim)1232(limeeexxxxxxxxx 18.(1 分)vuzyxvyxu,3,2)2ln()2(3)3()2()ln3()3(ln)2ln()2()3(2)2()ln2(ln213111311yxyxyxyxuuvuuuvuyvvzyuuzyzyxyxyxyxuuvuuuvuxvvzxuuzxzyxvvvyxvvv19.；)cos()sin()sin(),(zxezxeFzxezyxFyxyxxyx ；)sin(zxeFyxy)cos(zxeFyxz于是；1)tan()cos()cos()sin(zxzxezxzxeFFxzyxyxzx ；)tan()cos()sin(zxzxezxeFFyzyxyxzy。dyzxdxzxdyyzdxxzdz)tan(1)tan(20.解:补充直线,使构成封闭曲线.)0,()0,(:aaABABLL;402022224)(ardrrddxdyxydyxyydxxaDL第 4 页，共 6 页而,0022yABdyxyydxx所以.42222224)(adyxyydxxdxdyxydyxyydxxABDL21xyxxdyyxdxxdzdydxxdxdydz1010101010)1(.1010232241)2(21)1(21dxxxxdxxx22.解：特征方程;3,10)1)(3(032212rrrrrr所以，齐次方程的通解为。xxeCeCY321又是特征方程的单根，故可设非齐次方程的特解；3xAxey3*代入方程，得。所以特解。41Axxey3*41所以微分方程的通解：。xxxxeeCeCy3321414、解答题（每题 8 分，共 24 分）23.解：；aenannaannuunnnnnnnnnn)11(lim1)!1(!)1(limlim111当时，所以级数收敛且绝对收敛。ea 1lim1aeuunnn当时，所以级数发散。ea 1lim1aeuunnn7.解：1）收敛半径，且在时，级数发散，11limnnRn1x所以收敛域为。)1,1(2）设收敛域内和函数为，于是)(xS。)(xS21111)1()1()(xxxxxxxnxxnxnnnnnn25 解：，0lim)(lim,0coslim)(lim200000 xxftdttxfxxxxx第 5 页，共 6 页 ，在点连续。)0(0)(lim0fxfx)(xf0 x又在和内连续，故其连续区间为。)(xf(,0)(0,),(；01coslimcoslim0)0()(lim0000 xxxtdttxfxfxxxx；00lim0)0()(lim200 xxxfxfxx于是，00)0()(lim)0(0 xfxffx所以在处可导，且。)(xf0 x0)0(f5、应用题解：1）当时，0 x()3()3()()22f xf xfxaxfxaxxx 即为一阶线性微分方程。此时。于是，axxqxxp23)(,1)(；232323)(ln)1()1(cxaxcdxaecdxeaxexfxdxxdxx又因为在上连续，所以，即，曲线过原点。()f x0,1)0(0)(lim0fxfx0)0(f所以，。1,023)(2xxcxaxf2）又由已知条件得：，caxcxadxcxxa2121)22()23(21023102即。因此。acca44 1,0)4(23)(2xxaxaxf3）1022102)4(23)(dxxaaxdxxfVx dxxaxaaxa)4()4(34922342101032452)4(31)4(43209xaxaaxa。)4(31)4(4320922aaaa ，令，又，)4(322332018)(aaaVax0)(axV015)(5 axV 所以当时旋转体的体积最小。5a6、证明题第 6 页，共 6 页27.证：令，xxt1nnnntnnx11:,1:dxxdt)11(2于是。0)()1()11(1112nnnnnndttfdxxxfx