2018-2019丰台区一模数学理科试题及答案.pdf

高三数学（理科）第 1 页（共 6 页）高三数学（理科）第 2 页（共 6 页）丰台区 2019 年高三年级第二学期综合练习（一）数 学（理科）2019.03（本试卷满分共 150 分，考试时间 120 分钟）注意事项：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。4.请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。第一部分 （选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1复数的共轭复数是11iz（A）（B）（C）（D）11i2211i221i1 i2已知集合，集合若，则实数的取值集合为 2,3,1A 23,BmBAm（A）（B）（C）（D）1 31,1 3,33设命题：，则为p(0,),ln1xxx p（A）（B）(0,),ln1xxx 000(0,),ln1xxx（C）（D）(0,),ln1xxx 000(0,),ln1xxx4执行如图所示的程序框图，如果输入的，1a 输出的，那么判断框内的条件可以为15S（A）6k（B）6k（C）6k（D）7k 5下列函数中，同时满足：图象关于轴对y称；，1212,(0,)()x xxx的是2121()()0f xf xxx（A）（B）1()f xx2()log|f xx（C）（D）()cosf xx1()2xf x6已知和是两个不同平面，是与 不同的两条直线，且，l12l l,l1l，那么下列命题正确的是2l12ll（A）与都不相交（B）与都相交l12,l ll12,l l（C）恰与中的一条相交（D）至少与中的一条相交l12,l ll12,l l7已知为椭圆和双曲线的公共焦点，为它们的一12,F F22212xyMm：2221xNyn：P个公共点，且，那么椭圆和双曲线的离心率之积为112PFFFMN（A）（B）（C）（D）2122128在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形若是格点三角形，其中，ABC(0,0)A,(4,0)Ba=-a入 入入 入 a入 入入 入 S入入k=k+1S=S+ak2k=1,S=0高三数学（理科）第 3 页（共 6 页）高三数学（理科）第 4 页（共 6 页）且面积为 8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（A）6（B）8（C）10（D）12第二部分 （非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9已知平面向量，且，那么_(13)，a(2,)m babm 10从 4 名男生、2 名女生中选派 3 人参加社区服务如果要求恰有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为_11直线与圆（为参数）相交于两点若1ykx2cos,32sinxy,M N，则_|2 3MN k 12若的面积为，且，则_ABC2 33AAB AC A13已知函数()cos(2)(0)2f xx函数的最小正周期为_；()f x若函数在区间上有且只有三个零点，则的值是_()f x4,3314已知数列对任意的，都有，且 na*nN*na N131,2nnnnnaaaaa，为奇数为偶数.当时，_；18a 2019a若存在，当且为奇数时，恒为常数，则_*mNnmnanapp 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15（本小题 13 分）已知函数，且.2()cos(2)2sin()3f xxxa aR()03f（）求的值；a（）若在区间上是单调函数，求的最大值.()f x0,mm16（本小题 13 分）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务在此背景下，某信息网站在 15 个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示（）若某大学毕业生从这 15 座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于 8500 元的城市的概率；（）现有 2 名大学毕业生在这 15 座城市中各随机选择一座城市就业，且 2 人的选择相互独立记为选中月平均收入薪资高于 8500 元的城市的人数，求的分XX布列和数学期望；()E X（）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为，月平均期望薪资对应数据21s的方差为，判断与的大小（只需写出结论）22s21s22s高三数学（理科）第 5 页（共 6 页）高三数学（理科）第 6 页（共 6 页）17（本小题 14 分）如图，四棱柱中，底面为直角梯形，1111ABCDABC DABCDABCD，平面平面，ABBCABCD 11ABB A160BAA1=2=22AB AABCCD（）求证：；1BCAA（）求二面角的余弦值；1DAAB（）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的1DBMCM1DAA1DMDB值；若不存在，请说明理由MCDBA1111CDBA18（本小题 13 分）已知函数.3211()(2)e32xf xxaxax（）当时，求函数的单调区间；0a()f x（）当时，求证：是函数的极小值点.ea1x()f x19（本小题 14 分）已知抛物线过点，是抛物线上不同两点，且2:2C ypx(2,2)M,A BC（其中是坐标原点），直线与交于点，线段的中点为.ABOMOAOBMPABQ（）求抛物线的准线方程；C（）求证：直线与轴平行.PQx20（本小题 13 分）设且，集合.*nN2n1211(,)|1,|2|(1,2,1)nniiSx xxxxxin（）写出集合中的所有元素；2S（）设，证明：“”的充要条件12(,)na aa12(,)nb bbnS11nniiiiab是“”；(1,2,3,)iiab in（）设集合，求中所有正数之和.121|(,)nninniTxx xxSnT（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）高三数学（理科）第 7 页（共 6 页）高三数学（理科）第 8 页（共 6 页）丰台区丰台区 20182019 学年度第二学期综合练习（一）学年度第二学期综合练习（一）高三数学（理科）答案高三数学（理科）答案 201903一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）题号12345678答案ACDABABC二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。有两空的小题，第一空分。有两空的小题，第一空 3 分，第二空分，第二空2 分）分）9 10 11 612312 13；14；4621三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 80 分）分）15.（共 13 分）解：（）2()cos(2)2sin3f xxxa13cos2sin2cos2122xxxa 33cos2sin2122xxa 313(cos2sin2)122xxa.3sin(2)13xa 因为,()03f所以.1a（）解法 1：因为 函数的增区间为.sinyx2,2,22kkkZ由，2 22 232kxkk Z所以，.51212kxkk Z所以 函数的单调递增区间为，.()f x5,1212kkk Z因为 函数在上是单调函数，()f x0,m所以 的最大值为.m12 解法 2：因为，0,xm所以.22333xm因为 是函数的增区间，,2 2sinyx所以.232m所以.12m所以 的最大值为.m1216（共 13 分）解：（）设该生选中月平均收入薪资高于 8500 元的城市为事件 A.因为 15 座城市中月平均收入薪资高于 8500 元的有 6 个，所以.2()5P A（）由（）知选中平均薪资高于 8500 元的城市的概率为，低于 8500 元的概率为25，35所以X.2(2,)5B；239(0)()525P X；122312(1)5525P XC高三数学（理科）第 9 页（共 6 页）高三数学（理科）第 10 页（共 6 页）.22224(2)()525P XC所以随机变量X的分布列为：P012X9251225425 所以X的数学期望为.24()255E X（）.2212ss17.（共 14 分）解：（）因为 平面平面，平面平面，ABCD 11ABB AABCD11ABB AAB，ABBC平面，BC ABCD所以 平面.BC 11ABB A因为 平面，1AA 11ABB A所以.1BCAA（）取的中点，连结.11ABNBN平行四边形中，.易证.11ABB A1ABAA160BAABN 11AB由（）知平面.BC 11ABB A故以为原点，所在直线为坐标轴，BBABNBC，建立如图所示空间直角坐标系.Bxyz依题意，1(2,0,0),(1,3,0),(1,0,1)AAD设平面的一个法向量为1DAA(,)x y zn则，1(13,0AA ，）(1,0,1)AD 则，即，100AAADnn300 xyxz 令，得=1y=(3,1,3)n易知平面的一个法向量为，11ABB A=(0,0,1)m设二面角的平面角为，可知为锐角，1DAAB则，321coscos,73 13 n mn mnm即二面角的余弦值为 1DAAB217（）解：设，1DMDB 0,1(,)M x y z,因为，(1,0,1)D1(1,3,0)B(0,0,1)C所以1(2,3,1),(1,1)DBDMxy z 所以.12,3,1xyz (12,3,1)M(12,3,)CM 因为平面CM1DAA所以0CM=n即，所以 3(12)3301=2所以存在点，使得平面，此时 MCM1DAA112DMDB 18.（共 13 分）解：（）因为0a，Rx所以()(2)exf xx，故()(1)exfxx，令()0fx，得1x，所以单调递增区间为(1,)；令()0fx，得1x，所以单调递区间为(,1)（）由题可得()(1)(e)xfxxax.当时，对任意(0,+)x，都有e0 xax恒成立，0a所以当01x时，()0fx；当1x 时，()0fx.所以函数()f x在1x 处取得极小值，符合题意.当时，设g()=exxax，依然取(0,+)x.0ea则g()=exxa，令g()=0 x，得=lnxa，所以g()x在(0,ln)a上单调递减，在区间(ln,)a 上单调递增，所以ming()(ln)(1ln)xgaaa.NzyxMCDBA1111CDBA高三数学（理科）第 11 页（共 6 页）高三数学（理科）第 12 页（共 6 页）因为，所以（当且仅当时，等号成立，此0eamin()(1ln)0g xaa=ea时）.1x 所以对任意，都有e0 xax恒成立.(0,1)(1,)x所以当01x时，()0fx；当1x 时，()0fx.所以函数()f x在1x 处取得极小值，符合题意.综上可知：当时是函数的极小值点.ea1x()f x19（共 14 分）解：（）由题意得，解得22=4p1p 所以抛物线 C 的准线方程为 122px （）设，221212,22yyAyBy 由得，则，所以ABOM1ABOMkk212221212122yyyyyy212yy所以线段中点的为纵坐标ABQ1Qy 直线 AO 方程为121122yyxxyy直线 BM 方程为222222222222yyxxyy联立解得，即点的为纵坐标121yxyP1Py 如果直线 BM 斜率不存在，结论也显然成立所以直线与轴平行 PQx20（共 13 分）解：（）因为，所以，1|1x 2|2x 所以中的元素有.2S(1,2),(1,2),(1,2),(1,2)（）先证充分性因为对于任意的，都有，所以1,2,3,iniiab11nniiiiab再证必要性因为，所以数列是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，11|1,|2|iixxx|ix所以1|2iix假设存在，使得2,3,jn|jjab所以或jjabjjab 若，不妨设，则，jjab 0ja 0jb 因为，11|1ab111-111112|21|212jjjjjiijiixxx 所以，这与矛盾10jiia10jiib11jjiiiiab所以jjab当时，必有2j 11ab所以 对于任意，都有1,2,3,iniiab综上所述，“”的充要条件是“”11nniiiiabiiab(1,2,3,)in（）因为，111-111112|21|212nnnnniiniixxx 高三数学（理科）第 13 页（共 6 页）高三数学（理科）第 14 页（共 6 页）所以 为正数，当且仅当1niix0nx 因为 对于任意的正整数，或，所以集合中，元素为正kn12kkx12knT数的个数为，111122212nnC CC 个所以 所有的正数元素的和为.11112224nnnnnx（若用其他方法解题，请酌情给分）（若用其他方法解题，请酌情给分）