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尚学教育 高一数学必修一复习学案
函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
u 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2．值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
(2) 画法
A、 描点法：
B、 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
任取x1，x2∈D，且x1<x2； 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
2．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
3、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
4．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
[基础训练A组]
一、选择题
1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）
⑴，； ⑵，；
⑶，； ⑷，；
⑸，。
A．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、⑸
2．函数的图象与直线的公共点数目是（ ）
A． B． C．或 D．或
3．已知集合，且
使中元素和中的元素对应，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，若，则的值是（ ）
A． B．或 C．，或 D．
5．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，
这个平移是（ ）
A．沿轴向右平移个单位 B．沿轴向右平移个单位
C．沿轴向左平移个单位 D．沿轴向左平移个单位
6．设则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．设函数则实数的取值范围是 。
2．函数的定义域 。
3．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，
则这个二次函数的表达式是 。
4．函数的定义域是_____________________。
5．函数的最小值是_________________。
三、解答题
1．求函数的定义域。

2．求函数的值域。

3．是关于的一元二次方程的两个实根，又，
求的解析式及此函数的定义域。

4．已知函数在有最大值和最小值，求、的值。

[综合训练B组]
一、选择题
1．设函数，则的表达式是（ ）
A． B． C． D．
2．函数满足则常数等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数定义域是，则的定义域是（ ）
A． B. C. D.
5．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．

6．已知，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
子曰：学而不思则罔，思而不学则殆。

二、填空题
1．若函数，则= ．
2．若函数，则= .
3．函数的值域是 。
4．已知，则不等式的解集是 。
5．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围 。
三、解答题
1．设是方程的两实根,当为何值时,
有最小值?求出这个最小值.

2．求下列函数的定义域
（1） （2）
（3）

3．求下列函数的值域
（1） （2） （3）

4．作出函数的图象。

函数的基本性质
一、选择题
1．已知函数为偶函数，
则的值是（ ）
A. B. C. D.
2．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为，那么在区间上是（ ）
A．增函数且最小值是 B．增函数且最大值是
C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是
4．设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数。
5．下列函数中,在区间上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．函数是（ ）
A．是奇函数又是减函数 B．是奇函数但不是减函数
C．是减函数但不是奇函数 D．不是奇函数也不是减函数
二、填空题
1．设奇函数的定义域为，若当时， 的图象如右图,则不等式的解是
2．函数的值域是________________。
3．已知，则函数的值域是 .
4．若函数是偶函数，则的递减区间是 .
5．下列四个命题
（1）有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射;
（3）函数的图象是一直线；（4）函数的图象是抛物线，
其中正确的命题个数是____________。
三、解答题
1．判断一次函数反比例函数，二次函数的
单调性。

2．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）是奇函数；
（2）在定义域上单调递减；（3）求的取值范围。

3．利用函数的单调性求函数的值域；

4．已知函数.
① 当时，求函数的最大值和最小值；
② 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数。

一、选择题
1．下列判断正确的是（ ）
A．函数是奇函数 B．函数是偶函数
C．函数是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数
2．若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在区间上是减函数，
则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．下列四个命题：
(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；
(2)若函数与轴没有交点，则且；
(3) 的递增区间为； (4) 和表示相等函数。
其中正确命题的个数是( )
A． B． C． D．
d
d0
t0 t
O
A．
d
d0
t0 t
O
B．
d
d0
t0 t
O
C．
d
d0
t0 t
O
D．
6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
二、填空题
1．函数的单调递减区间是____________________。
2．已知定义在上的奇函数，当时，，
那么时， .
3．若函数在上是奇函数,则的解析式为________.
4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，
最小值为，则__________。
5．若函数在上是减函数，则的取值范围为__________。
三、解答题
1．判断下列函数的奇偶性
（1） （2）

2．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：（1）函数是上的减函数；
（2）函数是奇函数。
3．设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式.

4．设为实数，函数，
（1）讨论的奇偶性；
子曰：知之者不好之者，好之者不如乐之者。

（2）求的最小值。

一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D 5.D 6. B
二、填空题 1. 2. 3. 4. 5.
三、解答题 1.解：∵，∴定义域为
2.解： ∵∴，∴值域为
3.解：，

∴。
4. 解：对称轴，是的递增区间，

∴
一、选择题 1. B 2. B 3. A 4. A 5. C 6. C
二、填空题 1. ;
2. 令；
3.

4． 当
当∴；
5.
得
三、解答题
1. 解：

2. 解：（1）∵∴定义域为
（2）∵∴定义域为
（3）∵∴定义域为
3.解：（1）∵，∴值域为
（2）∵ ∴∴值域为
（3）的减函数， 当∴值域为
（数学1必修）第一章下 [基础训练A组]
一、选择题1. B 2. D3. A 4. A 5． A 6. A
二、填空题1． 2. 3． 4． 5．
三、解答题
1．解：当，在是增函数，当，在是减函数；
当，在是减函数，
当，在是增函数；
当，在是减函数，在是增函数，
当，在是增函数，在是减函数。
2．解：，则,
3．解：，显然是的增函数，，

4．解：对称轴
∴
（2）对称轴当或时，在上单调
∴或。
（数学1必修）第一章（下） [综合训练B组]
一、选择题1. C 2. C 3. B 4. A 5.A 6. B
二、填空题1． 2. 3. 4. 5.
三、解答题1．解：（1）定义域为，则，
∵∴为奇函数。
（2）∵且∴既是奇函数又是偶函数。
2．证明：(1)设，则，而
∴ ∴函数是上的减函数;
(2)由得
即，而 ∴，即函数是奇函数。
3．解：∵是偶函数, 是奇函数，∴，且
而,得,
即，
∴，。
4．解：（1）当时，为偶函数，
当时，为非奇非偶函数；
（2）当时，
当时，，
当时，不存在；
当时，
当时，，
当时，。