资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知正比例函数的图象与反比例函数图象相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．反比例函数的解析式是
B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．当或时，
D．正比例函数与反比例函数都随的增大而增大
2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣3＝0的一个解为x＝﹣1，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．5 D．1
4．已知二次函数的与的部分对应值如表：
下列结论：抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④抛物线与轴的两个交点间的距离是；⑤若是抛物线上两点，则，其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点，分别在反比例函数，的图象上．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
7．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、.对于下列结论：
①；②；③.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．① C．①② D．②③
9．将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（ ）
A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x﹣2）2+3
C．y＝5（x+2）2﹣3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3
10．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则sin∠BDE的值是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣19=0的一个根是﹣3，则m的值是_____．
12．若x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根，则x1+x2=______．
13．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则关于x的方程的解是________．
14．若方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，则mn（m＋n）＝______．
15．如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点，当钟面显示点分时，分针垂直与桌面，点距离桌面的高度为公分，若此钟面显示点分时，点距桌面的高度为公分，如图2，钟面显示点分时，点距桌面的高度_________________.
16．某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图1、图2所示（图1、图2中的图象分别是线段和抛物线，其中点P是抛物线的顶点）.在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是_____ ，此时每千克的收益是_________
17．如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为 ．
18．若是方程的一个根，则式子的值为__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F.
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长.
20．（6分）如图，矩形的对角线与相交于点．延长到点，使，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，请直接写出平行四边形的周长 ．
21．（6分）解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x（x+1）＝2（x+1）．
22．（8分）如图，是直径AB所对的半圆弧，点P是与直径AB所围成图形的外部的一个定点，AB=8cm，点C是上一动点，连接PC交AB于点D．
小明根据学习函数的经验，对线段AD，CD，PD，进行了研究，设A，D两点间的距离为x cm，C，D两点间的距离为cm，P，D两点之间的距离为cm．
小明根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（2）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与x的几组对应值：
x/cm
0.00
2.00
2.00
3.00
3.20
4.00
5.00
6.00
6.50
2．00
8.00
/cm
0.00
2.04
2.09
3.22
3.30
4.00
4.42
3.46
2.50
2．53
0.00
/cm
6.24
5.29
4.35
3.46
3.30
2.64
2.00
m
2.80
2.00
2.65
补充表格；（说明：补全表格时，相关数值保留两位小数）
（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象：
（3）结合函数图象解决问题：当AD＝2PD 时，AD的长度约为___________．
23．（8分）如图，要建一个底面积为130平方米的鸡场，鸡场一边靠墙(墙长16米)，并在与墙平行的一边开道1米宽的门，现有能围成32米长的木板．求鸡场的长和宽各是多少米？
24．（8分）如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．
(1)求证：∠BAC＝∠AED；
(2)在边AC取一点F，如果∠AFE＝∠D，求证：．
25．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：.
26．（10分）如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B,CD=4，BD=2,求AC的长
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
正比例函数，反比例函数
两个函数图象的另一个角点为
，选项错误
正比例函数中，随的增大而增大，反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小，
选项错误
当或时，
选项正确
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．
2、C
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项进行判断即可.
【详解】A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意.
故选：C.
【点睛】
本题考查中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握定义是关键.
3、D
【分析】把x＝﹣1代入方程2x2﹣mx﹣3＝0得到2+m﹣3＝0，然后解关于m的方程即可．
【详解】把x＝﹣1代入方程2x2﹣mx﹣3＝0得2+m﹣3＝0，
解得m＝1．
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，熟知能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解决问题的关键．
4、B
【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)可对③④进行判断；根据二次函数的性质求出x的值，即可对⑤进行判断．
【详解】设抛物线解析式为y=ax(x﹣4)，
把(﹣1，5)代入得5=a×(﹣1)×(﹣1﹣4)，解得：a=1，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x，所以①正确；
抛物线的对称轴为直线x==2，所以②正确；
∵抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)，开口向上，
∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误；
抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确；
若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，由x2﹣4x=2，解得：x1=，由x2﹣4x=3，解得：x2=，若取x1=，x2=，则⑤错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
5、A
【分析】分别过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，根据点A所在的图象可设点A的坐标为（），根据相似三角形的判定证出△BDO∽△OCA，列出比例式即可求出点B的坐标，然后代入中即可求出的值．
【详解】解：分别过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
∵点在反比例函数，
设点A的坐标为（），则OC=x，AC=，
∴∠BDO=∠OCA=90°
∵
∴∠BOD＋∠AOC=180°－∠AOB=90°，∠OAC＋∠AOC=90°
∴∠BOD=∠OAC
∴△BDO∽△OCA
∴
解得：OD=2AC=，BD=2OC=2x，
∵点B在第二象限
∴点B的坐标为（）
将点B坐标代入中，解得
故选A．
【点睛】
此题考查的是求反比例函数解析式相似三角形的判定及性质，掌握用待定系数法求反比例函数的解析式和构造相似三角形的方法是解决此题的关键．
6、A
【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB的长，然后根据正弦的定义求解．
【详解】如图，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∴sinB=．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．
7、A
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=－（x+1）2+k（k为常数）的开口向下，对称轴为直线x=﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线y=－（x+1）2+k（k为常数）的开口向下，对称轴为直线x=﹣1，而A（2，y1）离直线x=﹣1的距离最远，C（﹣2，y3）点离直线x=1最近，∴．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
8、A
【解析】分析：（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；
（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；
（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．
详解：由已知：AC=AB，AD=AE
∴
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD
所以①正确
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴
∴MP•MD=MA•ME
所以②正确
∵∠BEA=∠CDA
∠PME=∠AMD
∴P、E、D、A四点共圆
∴∠APD=∠EAD=90°
∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2=CP•CM
∵AC=AB
∴2CB2=CP•CM
所以③正确
故选A．
点睛：本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．
9、D
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2，
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=5（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2﹣3，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象的平移变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
10、C
【分析】由矩形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，可得BE＝CE＝BC＝AD，由全等三角形的性质可得AE＝DE，由相似三角形的性质可得AF＝2EF，由勾股定理可求DF的长，即可求sin∠BDE的值．
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC
∵点E是边BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝AD，
∵AB＝CD，BE＝CE，∠ABC＝∠DCB＝90°
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴AE＝DE
∵AD∥BC
∴△ADF∽△EBF
∴＝2
∴AF＝2EF，
∴AE＝3EF＝DE，
∴ sin∠BDE＝，
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的运用，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、－2或1．
【解析】将x=－3代入原方程，得9－3m+m2－19=0， m2－3m－10=0，（m－1）（m+2）=0，m=－2或1.
故答案为－2或1.
点睛：已知方程的一个实数根，要求方程中的未知参数，把根代入方程即可.
12、1
【解析】一元二次方程x1-1x-3=0的两个实数根分别为x1和x1，根据根与系数的关系即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程x1-1x-3=0的两个实数根分别为x1和x1，
∴根据韦达定理，x1+x1=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，难度不大，关键掌握x1，x1是方程x1+px+q=0的两根时，x1+x1=-p，x1x1=q．
13、x1＝－12，x2＝1
【分析】把后面一个方程中的x＋3看作一个整体，相当于前面方程中的x来求解．
【详解】解：∵关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程变形为，即此方程中x＋3＝－9或x＋3＝11，
解得x1＝－12，x2＝1，
故方程的解为x1＝－12，x2＝1．
故答案为x1＝－12，x2＝1．
【点睛】
此题主要考查了方程解的含义．注意观察两个方程的特点，运用整体思想进行简便计算．
14、22
【分析】
【详解】∵方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，
∴m+n=-2,mn=-11,
∴mn(m＋n)＝（-11）×(-2)=22.
故答案是：22
15、公分
【分析】根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分得出AB=10，进而得出A1C=16，求出OA2=OA=6，过A2作A2D⊥OA1从而得出A2D=3即可．
【详解】如图：
可得（公分）
∵AB=10（公分），
∴（公分）
过A2作A2D⊥OA1，
∵
（公分）
∴钟面显示点分时，点距桌面的高度为：（公分）.
故答案为：19公分.
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形以及钟面角，得出∠A2OA1=30°，进而得出A2D=3，是解决问题的关键．
16、9时 元
【分析】观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出 关于x的函数关系式，=者做差后，利用二次函数的性质，即可解决最大收益问题.
【详解】解：设交易时间为x，售价为，成本为，则设图1、图2的解析式分别为：，依题意得
∴
解得
∴
∴出售每千克这种水果收益:
∵
∴当 时，y取得最大值，此时：
∴在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是9时，此时每千克的收益是元
故答案为： 9时；元
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，解题的关键是:观察函数图象根据点的坐标，利用待定系数法求出关于x的函数关系式.
17、12﹣4
【详解】试题分析：如图所示：连接AC，BD交于点E，连接DF，FM，MN，DN，
∵将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形，∠BAD=60°，AB=2，
∴AC⊥BD，四边形DNMF是正方形，∠AOC=90°，BD=2，AE=EC=，
∴∠AOE=45°，ED=1，
∴AE=EO=，DO=﹣1，
∴S正方形DNMF=2（﹣1）×2（﹣1）×=8﹣4，
S△ADF=×AD×AFsin30°=1，
∴则图中阴影部分的面积为：4S△ADF+S正方形DNMF=4+8﹣4=12﹣4．
故答案为12﹣4．
考点：1、旋转的性质；2、菱形的性质．
18、1
【分析】将a代入方程中得到，将其整体代入中，进而求解．
【详解】由题意知，，即，
∴，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了方程的根，求代数式的值，学会运用整体代入的思想是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）CD=
【分析】（1）如图，通过证明∠D=∠1，∠2=∠4即可得；
（2）由△CDE∽△CBF，可得CD：CB=DE：BF，根据B为AF中点，可得CD=BF，再根据CB=3，DE=1即可求得.
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠1=∠2+∠3=90° ，
∵CF⊥CE，
∴∠4+∠3=90°，
∴∠2=∠4，
∴△CDE∽△CBF；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，
∵B为AF的中点，
∴BF=AB，
∴设CD=BF=x，
∵△CDE∽△CBF，
∴，
∴ ，
∵x>0，
∴x=，
即：CD=.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．也考查了矩形的性质
20、（1）见解析；（2）1．
【分析】（1）因为，所以，利用一组对边平行且相等即可证明；
（2）利用矩形的性质得出 ,进而利用求出CD的值，然后利用勾股定理求出AD的值，即可求周长
【详解】（1）∵是矩形
∴
∴四边形是平行四边形；
（2）∵是矩形
∴
∵四边形是平行四边形
∴平行四边形的周长为
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定及性质，矩形的性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．
21、（1）x1＝－3，x2＝1；（2）x1＝－1，x2＝2
【分析】（1）利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解；又可以利用公式法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解一：（x+3）（x﹣1）=0
解得：x1=﹣3，x2=1
解二：a=1，b=2，c=﹣3
x=
解得：x=
即x1=﹣3，x2=1．
（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0
（x+1）（x﹣2）=0
x1=﹣1，x2=2
点睛: 本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握因式分解法解方程的步骤以及熟记求根公式．
22、（2）m＝2.23；（2）见解析；（3）4.3
【分析】（2）根据表格中的数据可得：当x=5或2时，y2=2.00，然后画出图形如图，可得当与时，，过点P作PM⊥AB于M，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理求出PM的长即得m的值；
（2）用光滑的曲线依次连接各点即可；
（3）由题意AD＝2PD可得x=2y2，只要在函数y2的图象上寻找横坐标是纵坐标的2倍的点即可，然后结合图象解答即可．
【详解】解：（2）由表格可知：当x=5或2时，y2=2.00，如图，即当时，，时，，∴，过点P作PM⊥AB于M，则，
则在Rt△中，，即当x=6时，m=2.23；
（2）如图：
（3）由题意得：AD＝2PD ，即x=2y2，即在函数y2的图象上寻找横坐标是纵坐标的2倍的点即可，如图，点Q的位置即为所求，此时，x≈4.3，即AD≈4.3．
故答案为：4.3．
【点睛】
本题主要考查了函数图象的规律、等腰三角形的性质、勾股定理和圆的有关知识，正确理解题意、把握题中的规律、熟练运用数形结合的思想方法是解题关键．
23、鸡场的长和宽分别为13m，10m．
【分析】设鸡场的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，那么平行于墙的一边长为（32-2x+1），而鸡场的面积为130m2，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题．
【详解】解：设鸡场的垂直于墙的一边长为x，
依题意得（32-2x+1）x=130，
2x2-33x+130=0，
（x-10）（2x-13）=0，
∴x1=10或x2=6.5，
当x1=10时，32-2x+1=13＜16；
当x2=6.5时，32-2x+1=20＞16，不合题意舍去．
答：鸡场的长和宽分别为13m，10m．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
24、见解析
【解析】（1）欲证明∠BAC＝∠AED，只要证明△CBA∽△DAE即可；
（2）由△DAE∽△CBA，可得，再证明四边形ADEF是平行四边形，推出DE＝AF，即可解决问题；
【详解】证明（1）∵AD∥BC，
∴∠B＝∠DAE，
∵AB·AD＝BC·AE，
∴，
∴△CBA∽△DAE，
∴∠BAC＝∠AED．
（2）由（1）得△DAE∽△CBA
∴∠D＝∠C，，
∵∠AFE＝∠D，
∴∠AFE＝∠C，
∴EF∥BC，
∵AD∥BC，
∴EF∥AD，
∵∠BAC＝∠AED，
∴DE∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE＝AF，
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25、 (1)0；(2) ，.
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【详解】解：（1）原式
.
（2），
在这里，，.
，
∴，
∴，.
【点睛】
此题考查了解一元二次方程−公式法，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26、
【分析】根据相似三角形的判定定理可得△CAD∽△CBA，列出比例式即可求出AC.
【详解】解：∵CD=4，BD=2,
∴BC=CD＋BD=6
∵∠CAD=∠B,∠C=∠C
∴△CAD∽△CBA
∴
∴
解得：或（舍去）
即.
【点睛】
此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握有两组对应角相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键.
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