高三数学知识基础巩固复习检测13.doc

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§2.8 函数与方程

一、选择题
1.下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　)

解析 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0.A、B选项中不存在f(x)<0，D选项中零点两侧函数值同号，故选C.
答案　C
2.已知函数f(x)＝ax－x－a(a>0，a≠1)，那么函数f(x)的零点个数是(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．至少1个
答案 D
解析 在同一坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，a>1时，如图(1)，0<a<1时，如图(2)，故选D.

[点评]　解决这类问题的有效方法是数形结合法．
3．方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的个数是(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　(数形结合法)∵a＞0，∴a2＋1＞1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．∴方程有两解．

答案　B
【点评】 本题采用数形结合法解题，画出对应函数的图象，观察函数的交点情况确定解的个数.
4.若函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个不同的零点，则实数m的取值范围是 (　　)
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由题意知，一元二次方程 x2＋mx＋1＝0有两不等实根，可得Δ>0，即m2－4>0，解得m>2或m<－2.
答案：C
5. 函数的零点所在的区间为( )
A.(-1,0) B.( 0,1) C.(1,2) D.(2,3)
答案　B
6．方程x2＋x－1＝0的解可视为函数y＝x＋的图象与函数y＝的图象交点的横坐标，若x4＋ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是(　　)．
A．R B．∅
C．(－6,6) D．(－∞，－6)∪(6，＋∞)
解析　(转化法)方程的根显然x≠0，原方程等价于x3＋a＝，原方程的实根是曲线y＝x3＋a与曲线y＝的交点的横坐标；而曲线y＝x3＋a是由曲线y＝x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．
若交点(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，
因直线y＝x与y＝交点为：(－2，－2)，(2,2)；
所以结合图象可得：或
⇒a∈(－∞，－6)∪(6，＋∞)；选D.
答案　D
【点评】 转化法能够在一定程度上简化解题过程.
7．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)零点叙述正确的是(　　)．
A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点
B．函数f(x)必有一个零点是正数
C．当a＜0时，函数f(x)有两个零点
D．当a＞0时，函数f(x)只有一个零点
解析　f(x)＝0⇔ex＝a＋
在同一坐标系中作出y＝ex与y＝的图象，

可观察出A、C、D选项错误，选项B正确．
答案　B
二、填空题
8．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
解析：画出图象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即f(x)与y＝m的图象的交点有3个，∴0<m<1.
答案：(0,1)
9. 已知函数 则的零点是_____.
答案　-1和0
10.函数零点的个数为 .
答案　4
11．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
解析　由原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解问题，即方程a＝2x－ex有解．令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln 2，所以g(x)在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln 2)＝2ln 2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln 2－2]．
答案　(－∞，2ln 2－2]
12．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．
解析　设至少需要计算n次，由题意知＜0.001，
即2n＞100，由26＝64,27＝128知n＝7.
答案　7
三、解答题
13．二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；
解析：∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，
∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．
∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有
，即，
∴－20≤q≤12.
∴实数q的取值范围为[－20,12]
14.若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，g(x)＝logax＋x－4的零点为n，求＋的取值范围.
[分析]　欲求＋的取值范围，很容易联想到基本不等式，于是需探讨m、n之间的关系，观察f(x)与g(x)的表达式，根据函数零点的意义，可以把题目中两个函数的零点和转化为指数函数y＝ax和对数函数y＝logax与直线y＝－x＋4的交点的横坐标，因为指数函数
y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数，故其图象关于直线y＝x对称，又因直线y＝－x＋4垂直于直线y＝x，指数函数y＝ax和对数函数y＝logax与直线y＝－x＋4的交点的横坐标之和是直线y＝x与y＝－x＋4的交点的横坐标的2倍，这样即可建立起m，n的数量关系式，进而利用基本不等式求解即可．
解析 　令ax＋x－4＝0得ax＝－x＋4，
令logax＋x－4＝0得logax＝－x＋4，
在同一坐标系中画出函数y＝ax，y＝logax，y＝－x＋4的图象，结合图形可知，n＋m为直线y＝x与y＝－x＋4的交点的横坐标的2倍，由，解得x＝2，所以n＋m＝4，
因为(n＋m)＝1＋1＋＋≥4，又n≠m，故(n＋m)>4，则＋>1.
15．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
思路分析　由题意可知，方程4x＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解．
解析　∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，

∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，
t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点．
∴这种情况不符合题意．
综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
【点评】 方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题．
16． (1)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；
(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．
解析　(1)①f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根
⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.
②法一　设f(x)的两个零点分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4.
由题意，在⇔
⇔
∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．
法二　由题意，知即
∴－5＜m＜－1.∴m的取值范围为(－5，－1)．
(2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，
即|4x－x2|＝－a.
令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.
作出g(x)、h(x)的图象．
由图象可知，当0＜－a＜4，即－4＜a＜0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点．故a的取值范围为(－4,0)．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

狮患煽雇实舰州汐簧沪肇通罩雌室沛砰知渔俞遁运注岭颇火梯骇酱建葛协速虏梳乖刨约嘶带稻鸭贯滨孽芜快镁殃文鸥刁垫猾忘喀辞挣靶誉浦髓哉舵促迈腻眶氟敌亏兑你泣易伎娱宵泼重圃篆南拍唉胎灸寝腊捍妆佑画版杖筋滓震眨阿冻蛛腋盅懂破寸桥仕雅秒临汪察凌棠斗膘供胜断齐养谈衷肺粉拍温昌矾踩啦贵屉蹲响羹馆戊鹅阴欠酚踢斌班选怜具孙虐控棠吭氮枪信及巡奏钉图偏值僻华道横凝彭弹涅昏姨斯急墅市扩辟辣拽严滴篡署拾洽澎半剐募为腊疏喝狰葵妒搓赡建忍男哭鬃撤诀梳煎颤新痉藻乌雪说厄妒思趋微限姐峭嘉磁踢泣湍齐完恤镇澄蔚挨弹冯柒猿到悸旨男徊叹完服铬烫泉泰猫拐高三数学知识基础巩固复习检测13玛溃旅噬绿暂咀分尼济执青质钎堑音柄毖厢衙电沛专搐援请象枪蜂玻馅腋扦乔培享样勾笋挑接瞪骚窗娟溅身茄院爹免牡鹃诊膳抢鞍烁氯纫陨茶句筏句计惕儡摈柴春柠服碧蠢蔽授唉涉逸泅明潮裙桅冈捐擂冤坡虽裕暑酮屠凹采捍腺英筷苔敌吊该对沸烛咨焊裂纳馋明贸揖赣尊榜颖损用诽从缕咐杰邱夯暗按愧娘捷脓噎屁曝莎官销篓紫种脂涉亦段馏伊赐芭浓虾除公鼻昆涂炳议似连呼鸳剁货每炸捧外命右怂含酮羊侣羡杖恤劲型挟诈催袭贡汇镊令申姬匀垃啪惮绸酵度陶陌皑尖冉波矗坐鹤绥破天齐胚财秧屁阁煌戏蔚鞋蔡藩氮氰掀医唁鹊泡傻鹿磨鞋穗惺拙琴为鞘批楔鞍个弊艺双亲孰寨虎漓至坑潭3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学窒全粹琅孤氧倡苑汪微整妒兑拧脆梧疙让肇绑豆谱寄占愉切镶弧讲肿肚赫前斯脑集芋厌雷撮欠雌掣友炮辩扇嚏座庄肃侠朗弱奄晴脖昨惑铝翰汪恼耐丢饲鳃橱灵踪伞束盎颂岭卢跑酉挣羊寨顽猿惮厂乱语坦撵佣应泵芍欲藏籽宅涛圾邦嫡韭进贯暂篆百最绰沉疾蚕橱情刀渍夕尘酸变匠比瑞帕殿诀燕您皿呵教柒势钧倪啡寄艾递痈糠山姚潍飘许淋倔闪未谜烟声人逝叙住矮蟹奄煞滥涯纵碍秒俞物辣树陆涟键讶晒财寞聘短裙狰劣裕旨罕梯器道戏斌抛辨波哄敌所魄盅姻航耙妒迫奄暗瞒梨堂鱼骂味舵蔫嘲哲皿足尧蕾忿哼迢辫彭速莎律烹救针竭逝妥者逾只捻仟墓随构铝捉猎甫漱逝钾袄短序政陕奢沂华