2023年人教版中学七7年级下册数学期末测试题(附解析).doc

2023年人教版中学七7年级下册数学期末测试题（附解析）
一、选择题
1．的平方根是（）
A． B． C． D．
2．下列现象中是平移的是（ ）
A．翻开书中的每一页纸张 B．飞碟的快速转动
C．将一张纸沿它的中线折叠 D．电梯的上下移动
3．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法中，真命题的个数为（ ）
①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；
③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；
④点到直线的距离是这一点到直线的垂线段；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（ ）

A．∠1+∠2−∠3=90° B．∠1−∠2+∠3=90° C．∠1+∠2+∠3=90° D．∠2+∠3−∠1=180°
6．小雪在作业本上做了四道题目：①＝﹣3；②±＝4；③＝9；④＝-6，她做对了的题目有（　　）
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道
7．如图，一条“U”型水管中AB//CD，若∠B=75°，则∠C应该等于（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的各边分别平行于x轴或y轴，一物体从点A（-2，1）出发，沿矩形ABCD的边按逆时针作环绕运动，速度为1个单位/秒，则经过2022秒后，物体所在位置的坐标为（ ）

A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（ 2，﹣1） D．（ 2，1）
九、填空题
9．算术平方根是的实数是___________．
十、填空题
10．点关于轴的对称点的坐标为______．
十一、填空题
11．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DAE＝_____________°．

十二、填空题
12．如图，a∥b，∠1＝68°，∠2＝42°，则∠3＝_____________．

十三、填空题
13．如图，在中，，点D是的中点，点E在上，将沿折叠，若点B的落点在射线上，则与所夹锐角的度数是________．

十四、填空题
14．a是不为2的有理数，我们把2称为a的“文峰数”如：3的“文峰数”是，-2的“文峰数”是，已知a1=3，a2是a1的“文峰数”， a3是a2的“文峰数”， a4是a3的“文峰数”，……，以此类推，则a2020=______
十五、填空题
15．点到两坐标轴的距离相等，则________．
十六、填空题
16．在平面直角坐标系中，已知点，，，且，下列结论：①轴，②将点A先向右平移5个单位，再向下平移个单位可得到点；③若点在直线上，则点的横坐标为3；④三角形的面积为，其中正确的结论是___________（填序号）．
十七、解答题
17．（1）计算：
（2）比较 与-3的大小
十八、解答题
18．求下列各式中的值
（1）
（2）
十九、解答题
19．如图，，，求度数．完成说理过程并注明理由．
解：∵，
∴________（ ）
又∵，
∴，
∴__________（ ）
∴（ ）
∵，
∴______度．

二十、解答题
20．如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，

（1）请写出三角形ABC各点的坐标；
（2）将 三角形ABC经过平移后得到三角形A1B1C1，若三角形ABC中任意一点M（a，b）与三角形A1B1C1的对应点的坐标为M1（a-1，b+2），写出A1B1C1的坐标，并画出平移后的图形；
（3）求出三角形ABC的面积．
二十一、解答题
21．阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，面无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1.将减去其整数部分1，差就是小数部分.根据以上的内容，解答下面的问题：
（1）的整数部分是___________，小数部分是___________;
（2）若设整数部分是，小数部分是，求的值.
二十二、解答题
22．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长．

二十三、解答题
23．（1）（问题）如图1，若，，．求的度数；
（2）（问题迁移）如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数．

二十四、解答题
24．已知，点为平面内一点，于．

（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；
（2）点在两条平行线之间，过点作于点．
①如图2，说明成立的理由；
②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．
二十五、解答题
25．如图，平分，平分，
请判断与的位置关系并说明理由；
如图，当且与的位置关系保持不变，移动直角顶点，使，当直角顶点点移动时，问与否存在确定的数量关系？并说明理由．
如图，为线段上一定点，点为直线上一动点且与的位置关系保持不变，①当点在射线上运动时（点除外），与有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点在射线的反向延长线上运动时（点除外），与有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由．

【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
依据平方根的定义、算术平方根的定义进行解答即可．
【详解】
解：∵，
∴的平方根是；
故选D.
【点睛】
本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
2．D
【分析】
判断是否是平移现象，要根据平移的性质进行，即图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化．
【详解】
解：A：翻开书中的每一页纸张，这是翻折现象；
B：飞碟的快速转动，这是旋转现
解析：D
【分析】
判断是否是平移现象，要根据平移的性质进行，即图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化．
【详解】
解：A：翻开书中的每一页纸张，这是翻折现象；
B：飞碟的快速转动，这是旋转现象；
C：将一张纸沿它的中线折叠，这是轴对称现象；
D：电梯的上下移动这是平移现象．
故选：D．
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．
3．C
【分析】
根据点在第二象限的符号特点横坐标是负数，纵坐标是正数作答．
【详解】
解：A、（-，0）在x轴上，故本选项不符合题意；
B、（2，-1）在第四象限，故本选项不符合题意；
D、（-2，1）在第二象限，故本选项符合题意；
D、（-2，-1）在第三象限，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4．B
【分析】
根据平行线的性质与判定，点到直线的距离的定义逐项分析判断即可
【详解】
①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故①是真命题；
②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故②是真命题；
③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故③不是真命题，
④点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度，故④不是真命题，
故真命题是①②，
故选B
【点睛】
本题考查了判断真假命题，平行线的性质与判定，点到直线的距离的定义，掌握相关性质定理是解题的关键．
5．D
【分析】
根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．
【详解】
∵EF∥CD
∴∠3=∠COE
∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE
∵AB∥EF
∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补．
6．A
【分析】
依据立方根、平方根算术平方根的定义求解即可
【详解】
①=-3,故①正确;②±=±4,故②错误;
=3，故③错误;④=6,故④错误．
故选:A.
【点睛】
此题考查立方根，算术平方根和平方根，掌握运算法则是解题关键
7．C
【分析】
直接根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠B=75°，
∴∠C=180°-∠B=180°-75°=105°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
8．C
【分析】
用2022除以12即可知道物体运动了几周，且继续运动几个单位，由此可判断2022秒后物体的位置．
【详解】
解：由图可得，长方形的周长为2×（1×2+2×2）=12，
∵2022=16
解析：C
【分析】
用2022除以12即可知道物体运动了几周，且继续运动几个单位，由此可判断2022秒后物体的位置．
【详解】
解：由图可得，长方形的周长为2×（1×2+2×2）=12，
∵2022=168×12+6，
∴经过2022秒后，该物体应运动了168圈，且继续运动6个单位，
∴从A点开始按逆时针运动6秒到达了C点，
∴经过2022秒后，物体所在位置的坐标为（2，-1）．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系、点的坐标规律，解决本题的关键是得出2022=168×12+6，即经过2022秒后，该物体应运动了168圈，且继续运动6个单位．
九、填空题
9．5
【分析】
根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】
解：算术平方根是的实数是5．
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查算术平方根的定义，熟知负数没有平方根，0的平方根有1个，正数的平方根有2个
解析：5
【分析】
根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】
解：算术平方根是的实数是5．
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查算术平方根的定义，熟知负数没有平方根，0的平方根有1个，正数的平方根有2个，算术平方根有1个是解题关键．
十、填空题
10．【分析】
关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.
【详解】
∵关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数
∴点关于y轴的对称点的坐标为.
故答案为：
【点睛】
考核知识点：轴对称与点
解析：
【分析】
关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.
【详解】
∵关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数
∴点关于y轴的对称点的坐标为.
故答案为：
【点睛】
考核知识点：轴对称与点的坐标.理解轴对称和点的坐标关系是关键.
十一、填空题
11．10
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后求解即可．
【详解】
解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=1
解析：10
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后求解即可．
【详解】
解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°，
∵AE是高，
∴∠BAE=90°-∠B=90°-50°=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．
十二、填空题
12．110°
【分析】
如图，利用平行线的性质，求得∠4=∠5=∠1，计算∠2+∠5，再次利用平行线的性质，得到∠3=∠2+∠5．
【详解】
如图，∵a∥b，
∴∠4=∠1=68°，
∴∠5=∠4=68
解析：110°
【分析】
如图，利用平行线的性质，求得∠4=∠5=∠1，计算∠2+∠5，再次利用平行线的性质，得到∠3=∠2+∠5．
【详解】
如图，∵a∥b，
∴∠4=∠1=68°，
∴∠5=∠4=68°，
∵∠2=42°，
∴∠5+∠2=68°+42°=110°，
∵a∥b，
∴∠3=∠2+∠5，
∴∠3=110°，
故答案为：110°．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质，对顶角相等是解题的关键．
十三、填空题
13．．
【分析】
根据折叠可得三角形全等，根据全等三角形的性质以及中点的性质可得， ，由等腰三角形性质以及三角形外角定理求得度数，在中根据内角和即可求得与所夹锐角的度数．
【详解】
如下图，连接DE，与
解析：．
【分析】
根据折叠可得三角形全等，根据全等三角形的性质以及中点的性质可得， ，由等腰三角形性质以及三角形外角定理求得度数，在中根据内角和即可求得与所夹锐角的度数．
【详解】
如下图，连接DE，与相交于点O，

将 △BDE 沿 DE 折叠，
，
,
又∵D为BC的中点，，
，
,
,
,
即与所夹锐角的度数是．
故答案为：．
【点睛】
本题考察了轴对称的性质、全等三角形的性质、中点的性质、三角形的外角以及内角和定理，综合运用以上性质定理是解题的关键．
十四、填空题
14．．
【分析】
先根据题意求得、、、，发现规律即可求解．
【详解】
解：∵a1=3
∴，，，，
∴该数列为每4个数为一周期循环，
∵
∴a2020=．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查规律的探索，
解析：．
【分析】
先根据题意求得、、、，发现规律即可求解．
【详解】
解：∵a1=3
∴，，，，
∴该数列为每4个数为一周期循环，
∵
∴a2020=．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查规律的探索，解题的关键是根据题意发现规律．
十五、填空题
15．或．
【分析】
根据到两坐标轴的距离相等，可知横纵坐标的绝对值相等，列方程即可．
【详解】
解：∵点到两坐标轴的距离相等，
∴，
或，
解得，或，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了点到坐标轴的距
解析：或．
【分析】
根据到两坐标轴的距离相等，可知横纵坐标的绝对值相等，列方程即可．
【详解】
解：∵点到两坐标轴的距离相等，
∴，
或，
解得，或，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了点到坐标轴的距离，解题关键是明确到坐标轴的距离是坐标的绝对值．
十六、填空题
16．①③④
【分析】
①两点纵坐标相同，得到 AB //x轴，即可判断；
②根据平移规律求得平移后的点的坐标，即可判断；
③根据两点的坐标特征可知直线BCx轴，即可判断；
④求得三角形的面积，即可判断．
解析：①③④
【分析】
①两点纵坐标相同，得到 AB //x轴，即可判断；
②根据平移规律求得平移后的点的坐标，即可判断；
③根据两点的坐标特征可知直线BCx轴，即可判断；
④求得三角形的面积，即可判断．
【详解】
解：A（-2，4)，B（3，4)，它们的纵坐标相同，
AB //x轴，
故①正确；
将点A 先向右平移 5 个单位，再向下平移m个单位可得到点（3，4-m)，
故②错误；
B（3，4)，C（3，m)，它们的横坐标相同，
BC x轴，
点 D 在直线BC上，
点 D的横坐标为 3，
故③正确；
点A（-2，4)，B（3， 4)，C（3，m)，且m<4，
AB =5，C 点到 AB 的距离为（4-m），
三角形 ABC 的面积为，
故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，坐标和图形变化，平移以及点的坐标特征，明确线段的位置和大小是解题的关键．
十七、解答题
17．（1）-1；（2）
【分析】
（1）根据算数平方根，立方根化简，然后根据实数的运算法则计算即可；
（2）求出-3= ，即可得出结果．
【详解】
解：（1）原式=
=
=－1；
（2）∵
∴
即
解析：（1）-1；（2）
【分析】
（1）根据算数平方根，立方根化简，然后根据实数的运算法则计算即可；
（2）求出-3= ，即可得出结果．
【详解】
解：（1）原式=
=
=－1；
（2）∵

∴
即．
故答案为（1）-1；（2）．
【点睛】
本题考查实数的运算及实数的大小比较，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．
十八、解答题
18．（1）；（2）
【分析】
（1）先移项，再根据平方根的性质开平方即可得；
（2）方程变形后，再根据立方根的性质开立方可得关于x的方程，解之可得．
【详解】
解：（1）
∴
即
（2）
解得，
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）先移项，再根据平方根的性质开平方即可得；
（2）方程变形后，再根据立方根的性质开立方可得关于x的方程，解之可得．
【详解】
解：（1）

∴
即
（2）

解得，
【点睛】
本题考查了立方根，平方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的性质．
十九、解答题
19．∠3；两直线平行，同位角相等；DG；内错角相等，两直线平行；∠BAC；两直线平行，同旁内角互补；70
【分析】
根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3，通过等量代换得出∠1=∠3，再根据内错角相等
解析：∠3；两直线平行，同位角相等；DG；内错角相等，两直线平行；∠BAC；两直线平行，同旁内角互补；70
【分析】
根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3，通过等量代换得出∠1=∠3，再根据内错角相等，两直线平行，得出AB∥DG，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．
【详解】
解：∵EF∥AD，
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）．
∴∠AGD+∠BAC=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠AGD=110°，
∴∠BAC=70度．
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；DG；内错角相等，两直线平行；∠BAC；两直线平行，同旁内角互补；70．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟记性质与判定方法，并判断出AB∥DG是解题的关键．
二十、解答题
20．（1）A（-2，-2），B（3，1），C（0，2）；（2）A1（-3，0），B1（2，3），C1（-1，4），图见详解；（3）7
【分析】
（1）利用点的坐标的表示方法分别写出点A、B、C的坐标；
解析：（1）A（-2，-2），B（3，1），C（0，2）；（2）A1（-3，0），B1（2，3），C1（-1，4），图见详解；（3）7
【分析】
（1）利用点的坐标的表示方法分别写出点A、B、C的坐标；
（2）先利用点的坐标平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（3）利用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积计算三角形ABC的面积．
【详解】
解：（1）如图观察可得：A（-2，-2），B（3，1），C（0，2）；
（2）根据三角形ABC中任意一点M（a，b）与三角形A1B1C1的对应点的坐标为M1（a-1，b+2）可知，△ABC向左平移一个单位长度，向上平移两个单位长度，
平移后坐标为：A1（-3，0），B1（2，3），C1（-1，4），
平移后的△A1B1C1如下图所示：
；
（3）．
【点睛】
本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
二十一、解答题
21．（1）2，；（2）．
【分析】
（1）利用求解；
（2）由于，则，，然后计算．
【详解】
解：（1）的整数部分是2，小数部分是；
（2），
而整数部分是，小数部分是，
，，
．
【点睛】
本题考查了
解析：（1）2，；（2）．
【分析】
（1）利用求解；
（2）由于，则，，然后计算．
【详解】
解：（1）的整数部分是2，小数部分是；
（2），
而整数部分是，小数部分是，
，，
．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，熟悉相关性质是解题得关键．
二十二、解答题
22．正方形纸板的边长是18厘米
【分析】
根据正方形的面积公式进行解答．
【详解】
解：设小长方形的宽为x厘米，则小长方形的长为厘米，即得正方形纸板的边长是厘米，根据题意得：
，
∴，
取正值，可得，
解析：正方形纸板的边长是18厘米
【分析】
根据正方形的面积公式进行解答．
【详解】
解：设小长方形的宽为x厘米，则小长方形的长为厘米，即得正方形纸板的边长是厘米，根据题意得：
，
∴，
取正值，可得，
∴答：正方形纸板的边长是18厘米．
【点评】
本题考查了算术平方根的实际应用，解题的关键是熟悉正方形的面积公式．
二十三、解答题
23．（1）90°；（2）∠PFC=∠PEA+∠P；（3）∠G=α
【分析】
（1）根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，可得∠FPN=∠PEA+∠FPE，进而可得∠PF
解析：（1）90°；（2）∠PFC=∠PEA+∠P；（3）∠G=α
【分析】
（1）根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，可得∠FPN=∠PEA+∠FPE，进而可得∠PFC=∠PEA+∠FPE，即可求解；
（3）令AB与PF交点为O，连接EF，根据三角形的内角和定理可得∠GEF+∠GFE＝∠PEA+∠PFC+∠OEF+∠OFE，由（2）得∠PEA=∠PFC-α，由∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC可求解．
【详解】
解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，
∴∠1=∠AEP．
又∠AEP=40°，
∴∠1=40°．
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠2+∠PFD=180°．
∵∠PFD=130°，
∴∠2=180°-130°=50°．
∴∠1+∠2=40°+50°=90°．
即∠EPF=90°．
（2）∠PFC=∠PEA+∠P．
理由：过P点作PN∥AB，则PN∥CD，

∴∠PEA=∠NPE，
∵∠FPN=∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN=∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN=∠PFC，
∴∠PFC=∠PEA+∠FPE，即∠PFC=∠PEA+∠P；
（3）令AB与PF交点为O，连接EF，如图3．

在△GFE中，∠G=180°-（∠GFE+∠GEF），
∵∠GEF＝∠PEA+∠OEF，∠GFE＝∠PFC+∠OFE，
∴∠GEF+∠GFE＝∠PEA+∠PFC+∠OEF+∠OFE，
∵由（2）知∠PFC=∠PEA+∠P，
∴∠PEA=∠PFC-α，
∵∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC，
∴∠GEF+∠GFE＝(∠PFC−α)+∠PFC+180°−∠PFC＝180°−α，
∴∠G＝180°−(∠GEF+∠GFE)＝180°−180°+α＝α．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质与判定，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．
二十四、解答题
24．（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°
【分析】
（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥
解析：（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°
【分析】
（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【详解】
解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB=90°，
∴∠A+∠C=90°；

（2）①如图2，过点B作BG∥DM，

∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG=90°，
∴∠ABD+∠ABG=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥DM，

∴∠C=∠CBG，
∠ABD=∠C；
②如图3，过点B作BG∥DM，

∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）知∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，
则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，
∠GBF=∠AFB=β，
∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：
2α+β+3α+3α+β=180°，
∵AB⊥BC，
∴β+β+2α=90°，
∴α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
二十五、解答题
25．（1）详见解析；（2）∠BAE+∠MCD=90°，理由详见解析；（3）详见解析.
【详解】
试题分析：（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再
解析：（1）详见解析；（2）∠BAE+∠MCD=90°，理由详见解析；（3）详见解析.
【详解】
试题分析：（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180，故可得出结论；
（2）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可知EF∥AB∥CD，∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，故∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出结论；
（3）根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°，∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，故∠BAC=∠PQC+∠QPC．
试题解析：证明：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE．
∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAC+∠ACD=180，∴AB∥CD；
（2）∠BAE+∠MCD=90°．证明如下：
过E作EF∥AB．∵AB∥CD，∴EF∥∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE．
∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°．

∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°；
（3）①∠BAC=∠PQC+∠QPC．理由如下：
如图3：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°．
∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，∴∠BAC=∠PQC+∠QPC；
②∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．理由如下：
如图4：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACQ．
∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．
点睛：本题考查了平行线的性质，根据题意作出平行线是解答此题的关键．