人教版八年级数学下册期末试卷测试卷(含答案解析).doc

人教版八年级数学下册期末试卷测试卷（含答案解析）
一、选择题
1．函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x＝3 C．x＜2且x≠3 D．x≤2且x≠3
2．以下列三段线段的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．6，8，10 B．5，12，13 C． D．9，40，41
3．在四边形中，对角线、相交于点，在下列条件中，①，，②，；③，，④，，⑤，能够判定四边形是平行四边形的个数有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．比赛中给一名选手打分时，经常会去掉一个最高分，去掉一个最低分，这样的评分方式一定不会改变选手成绩数据的（ ）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
5．如图，菱形的边长为2，，点是边的中点，点是对角线上一动点，则周长的最小值是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点,为垂足，连结，则等于（ ）

A． B． C． D．
7．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为（　　）

A．5 B．1 C．4 D．6
8．如图所示，已知点C（2，0），直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，当的周长取最小值时，点D的坐标为（ ）

A．（2，1） B．（3，2） C．（，2） D．（，）
二、填空题
9．已知|a＋1|＋＝0，则ab＝_____．
10．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为______cm2．
11．如图所示：分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，若，，则的长为__________．

12．如图，矩形ABCD中，AE平分交BC于点E，连接DE，若，，则AD的长是________．

13．一个水库的水位在最近5h内持续上涨．下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度．
x/h
0
1
2
3
4
5
y/m
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
根据表格中水位的变化规律，则y与x的函数表达式为____．
14．如图，矩形ABCD中，直线MN垂直平分AC，与CD，AB分别交于点M，N．若DM＝2，CM＝3，则矩形的对角线AC的长为_____．

15．如图所示，直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是OB的中点，D，E分别是直线AB和y轴上的动点，则CDE周长的最小值是____________．

16．如图，在等腰△ABC中，AC=BC=5，AB=6，D、E分别为AB、AC边上的点，将边AD沿DE折叠，使点A落在CD上的点F处，当点F与点C重合时，AD=____________．

三、解答题
17．计算：
（1）
（2）
（3）
18．一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以40千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘船的航行方向．

19．在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1，按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．
（1）在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数．
（2）在图乙中画一个平行四边形，使它的周长是无理数．

20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M为AD的中点，过点M作交CD延长线于点N．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）请直接写出当四边形ABCD的边AB与BD满足什么关系时，四边形分别是菱形、矩形、正方形．
21．观察下列等式：
①；
②；
③；
……
回答下列问题：
（1）仿照上列等式，写出第n个等式： ；
（2）利用你观察到的规律，化简：；
（3）计算：
22．某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费．如图是居民每户每月的水（自来水）费（元）与所用的水（自来水）量（吨）之间的函数图象．根据下面图象提供的信息，解答下列问题：

（1）当时，求与之间的函数关系式；
（2）已知某户居民上月水费为91元，求这户居民上月的用水量；
（3）当一户居民在某月用水为15吨时，求这户居民这个月的水费．
23．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是　 ，位置关系是　 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
24．已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点．
（1）如图1，求点的坐标；
（2）如图2，点为线段上一点，点为轴负半轴上一点，连接，，且，设点的横坐标为，的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作的垂线，分别交轴，于点，，过点作于点，连接，若平分的周长，求的值．

25．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．

（1）如图，当点E在线段BC上时，∠BDF=α．
①按要求补全图形；
②∠EBF=______________（用含α的式子表示）；
③判断线段 BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．
（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明．
26．已知正方形与正方形（点C、E、F、G按顺时针排列），是的中点，连接，.

（1）如图1，点在上，点在的延长线上，
求证：=ME，⊥.ME
简析： 由是的中点，AD∥EF，不妨延长EM交AD于点N，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE是 三角形,进而得出结论.
（2）如图2， 在的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.
（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C、E、F、G按顺时针排列.若点在直线CD上，则DM= ;若点E在直线BC上，则DM= .
【参考答案】
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范围．
【详解】
解：根据题意得：且，
解得：．
故选：A．
【点睛】
考查了函数自变量的范围，解题的关键是函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
【详解】
解：A、62＋82＝102，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、52＋122＝132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、（）2＋（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、92＋402＝412，能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边，然后验证是否满足a2+b2=c2．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
由平行四边形的判定方法分别对各个条件进行判断即可．
【详解】
解：①，，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 能判定四边形ABCD是平行四边形，故①正确；
②，，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形” 能判定四边形ABCD是平行四边形，故②正确；
③，，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故③不符合题意；
④，，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 能判定四边形ABCD是平行四边形，故④正确；
⑤由，可得到，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 能判定四边形ABCD是平行四边形，故⑤正确；
所以，正确的结论有4个，
故选：C
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
【详解】
解：统计每位选手得分时，去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
故选：C．
【点睛】
本题考查了统计量的选择，解题的关键在于理解这些统计量的意义．
5．A
解析：A
【分析】
连接BQ，BD，当P，Q，B在同一直线上时，DQ＋PQ的最小值等于线段BP的长，依据勾股定理求得BP的长，即可得出DQ＋PQ的最小值，进而得出△DPQ周长的最小值．
【详解】
解：如图所示，连接BQ，BD，

∵点Q是菱形对角线AC上一动点，
∴BQ＝DQ，
∴DQ＋PQ＝BQ＋PQ，
当P，Q，B在同一直线上时，BQ＋PQ的最小值等于线段BP的长，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴△BAD是等边三角形，
又∵P是AD的中点，
∴BP⊥AD，AP＝DP＝1，
∴Rt△ABP中，∠ABP＝30°，
∴AP＝AB＝1，
∴BP＝，
∴DQ＋PQ最小值为，
又∵DP＝1，
∴△DPQ周长的最小值是，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四条边都相等可得BC=DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF．
【详解】
解：如图，连接BF，

在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=DC，
∠ABC=180°-∠BAD=180°-80°=100°，
∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=100°-40°=60°，
∵在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF=∠CBF=60°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合性强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据正方形的性质，可求出正方形的面积，从而确定边长，然后在Rt△BCE中利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∴，
∴正方形的边长，
在Rt△BCE中，BC=4，CE=3，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查正方形的性质，理解正方形的性质以及熟练运用勾股定理是解题关键．
8．D
解析：D
【分析】
如图，点C关于OA的对称点，点C关于直线AB的对称点，求出点的坐标，连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，再求出直线DE的解析式，联立两条直线的解析式即可求出交点D的坐标．
【详解】
如图，点C关于OA的对称点，点C关于直线AB的对称点

∵直线AB的解析式为
∴直线的解析式为
由
解得
∴直线AB与直线的交点坐标为
∵K是线段的中点
∴
连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小
设直线DE的解析式为
可得
解得
∴直线DE的解析式为
联立直线DE和直线直线可得

解得
∴点D的坐标为
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的几何问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
9．-2
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：由题意得，a＋1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣1，b＝2，
所以，ab＝﹣1×2＝﹣2.
故答案为：﹣2.
【解答】
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
10．24
【解析】
【分析】
画出符合题意的图形，利用菱形的对角线互相垂直平分，求解另一条对角线的长，再利用菱形的面积等于两条对角线的长之积的一半即可得到答案．
【详解】
解：如图，菱形的周长为20cm，一条对角线的长为8cm，

故答案为：
【点睛】
本题考查的是菱形的性质，菱形的面积，掌握菱形的性质及菱形的面积的计算是解题的关键．
11．A
解析：【解析】
【分析】
先设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，再分别用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出S2的值．
【详解】
解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，
∴S1=a2=25，S2=b2，S3=c2=9，
∵△ABC是直角三角形，
∴c2+b2=a2，即S3+S2=S1，
∴S2=S1-S3=25-9=16，
∴BC=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用及正方形的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．
12．E
解析：7
【分析】
由矩形的性质和根据勾股定理可求出EC＝4，再证明BE＝AB＝3，即可求出BC的长，进而可求出AD的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD，ADBC，AD＝BC，
∵ED＝5，CD＝3，
∴EC2＝DE2−CD2＝25−9＝16，
∴CE＝4，
∵ADBC，
∴∠AEB＝∠DAE；
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝CD＝3，
∴BC＝BE＋EC＝7，
∴AD＝7，
故答案为：7．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识；解题的关键是灵活运用矩形的性质和等腰三角形的判定．
13．y=0.2x+3
【分析】
根据记录表由待定系数法就可以求出y与x的函数表达式．
【详解】
解：根据表格信息可知，每小时水位上升0.2m，y是x的的一次函数，
设y与x的函数表达式为y＝kx+b，把（0，3）和（1，3.2）代入得：
，
解得：．
故y与x的函数表达式为y＝0.2x+3．
故答案为：y＝0.2x+3．
【点睛】
考查了待定系数法求一次函数解析式，在解答时确定两个变量是一次函数函数关系是解题关键．
14．A
解析：
【分析】
连接AM，在Rt△ADM中，利用勾股定理求出AD2，再在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AC即可．
【详解】
解：如图，连接AM．
∵直线MN垂直平分AC，
∴MA＝MC＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵DM＝2，MA＝3，
∴AD2＝AM2﹣DM2＝32﹣22＝5，
∴AC＝，
故答案为：．

【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．【分析】
作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，FB，FG，由轴对称的性质，可得，，故当点，，，在同一直线上时，的周长，此时周长最小，依据勾股定理即可得到的长，进而得到周长的最小值．
【详解】
解析：
【分析】
作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，FB，FG，由轴对称的性质，可得，，故当点，，，在同一直线上时，的周长，此时周长最小，依据勾股定理即可得到的长，进而得到周长的最小值．
【详解】
解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，FB，FG，

直线与两坐标轴分别交于、两点，
∴令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝－4，
，，
∴，
又∵点是的中点，
∴，
∵点C与点G关于对称，
∴，，
∴，
∵，，
，
又∵点C与点F关于AB对称，
，，，
，
∵，，
∴的周长，
当点，，，在同一直线上时，的周长最小，为FG的长，
∵在中，，
周长的最小值是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短问题，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称的性质找到点、点位置，属于中考常考题型．
16．【分析】
由题意可知，当C和F重合时，DE为AC(F)的中垂线,过C作CG垂直于AB交AB于G点,可得AG=3,CG=4,设：AD=x,则BD=6-x，由已知可得DG=x-3,在Rt△CDG中，由
解析：
【分析】
由题意可知，当C和F重合时，DE为AC(F)的中垂线,过C作CG垂直于AB交AB于G点,可得AG=3,CG=4,设：AD=x,则BD=6-x，由已知可得DG=x-3,在Rt△CDG中，由勾股定理列出方程可求得x，即为AD．
【详解】
解：由题意可知，当C和F重合时，如下图

由于AD沿DE折叠至CD，故DE为AC(F)的中垂线过C作CG垂直于AB交AB于G点
设AD=x，由中垂线性质可得，CD=AD=x，
则BD=6-x；
∵AC=5，CG为等腰△ABC底边AB上的高，且AB=6
∴，CG=4，
∴DG=BG-BD=x-3；
在Rt△CDG中，由勾股定理，得：CG²+DG²=CD²；
即：；
解得：；
∴
故答案为：
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了勾股定理，垂直平分线的性质等知识，解题的关键在于画出图形和掌握作辅助线．
三、解答题
17．（1）2；（2）；（3）
【分析】
（1）利用二次根式的乘除法法则进行运算求解；
（2）先将二次根式化简，再运用二次根式的加减法法则进行计算即可求解；
（3）先将二次根式和绝对值进行化简，再运用二次
解析：（1）2；（2）；（3）
【分析】
（1）利用二次根式的乘除法法则进行运算求解；
（2）先将二次根式化简，再运用二次根式的加减法法则进行计算即可求解；
（3）先将二次根式和绝对值进行化简，再运用二次根式的运算法则进行计算即可求解．
【详解】
解：（1）

（2）

（3）

【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简和二次根式的加减乘除运算以及0指数幂的运算，熟练掌握二次根式的化简和二次根式的加减乘除法则是解答本题的关键．
18．第二艘船的航行方向为东北或西南方向
【分析】
根据路程=速度×时间分别求得OA、OB的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形OAB是直角三角形，从而求解．
【详解】
解：如图，
根据题意，
解析：第二艘船的航行方向为东北或西南方向
【分析】
根据路程=速度×时间分别求得OA、OB的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形OAB是直角三角形，从而求解．
【详解】
解：如图，

根据题意，得
（千米），（千米），千米．
∵，
∴，∴
∴第二艘船的航行方向为东北或西南方向．
【点睛】
此题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．根据条件得出第二艘船的航行方向与第一艘船的航行方向成90°是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）作边长为3，5的平行四边形即可；
（2）作边长为，的平行四边形即可；
【详解】
解（1）根据网格作出边长为3，4，5的直角三角形，再以4为公共边
解析：（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）作边长为3，5的平行四边形即可；
（2）作边长为，的平行四边形即可；
【详解】
解（1）根据网格作出边长为3，4，5的直角三角形，再以4为公共边作边长为3，4，5的直角三角形，如下图：

（2）借助网格，作边长为、、的三角形，再以为公共边作边长为、、的三角形，如下图：

【点睛】
此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理和平行四边形的判定，正确借助网格是解题关键．
20．（1）见解析；（2）时，四边形MNDO是菱形；当时，四边形MNDO是矩形；当且时，四边形MNDO是正方形
【分析】
（1）利用平行四边形的性质及三角形中位线的性质，可得，再加已知条件，利用平行四边形
解析：（1）见解析；（2）时，四边形MNDO是菱形；当时，四边形MNDO是矩形；当且时，四边形MNDO是正方形
【分析】
（1）利用平行四边形的性质及三角形中位线的性质，可得，再加已知条件，利用平行四边形的判定定理（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）即可证明；
（2）①根据（1）中平行四边形的性质及三角形中位线的性质可得：，，当时，，利用菱形的判定定理（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
②根据（1）中平行四边形的性质可得：，，当时，，根据矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）即可证明；
③根据（1）中平行四边形的性质及三角形中位线的性质可得：：，，且，，当且时，且，根据正方形的判定定理（一组邻边相等、有一个角是直角的平行四边形是正方形）即可证明．
【详解】
解：（1）证明：∵对角线AC、BD交于点O，
∴，
又∵M为AD中点，
∴，
又∵，
∴四边形MNDO是平行四边形；
（2）①当时，四边形MNDO是菱形，
证明：根据（1）可得，四边形MNDO是平行四边形，且，，
又∵，
∴，
∴四边形MNDO是菱形；
②当时，四边形MNDO是矩形，
证明：根据（1）可得，四边形MNDO是平行四边形，且，，
又∵，
∴，
∴四边形MNDO是矩形；
③当且时，四边形MNDO是正方形，
证明：根据（1）可得，四边形MNDO是平行四边形及三角形中位线的性质可得：，，且，，
又∵且，
∴且，
∴四边形MNDO是正方形．
【点睛】
题目主要考查平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理，熟练运用特殊四边形的判定定理是解题关键．
21．（1） （2分）
（2）（3分）
（3）-1（3分）
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）根据题意可以观察出：第n个等式：；
（2）由（1）中的结论可得结果；（3）由（1）中的结论将式子化简，然后
解析：（1） （2分）
（2）（3分）
（3）-1（3分）
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）根据题意可以观察出：第n个等式：；
（2）由（1）中的结论可得结果；（3）由（1）中的结论将式子化简，然后其中的有些数可以互相抵消，最后化简即可．
试题解析：
（1）根据题意可以观察出：第n个等式：；
（2）根据（1）的结论可得：；
（3）原式= .
考点：分母有理化．
22．（1）；（2）25吨；（3）45元
【分析】
（1）利用待定系数法求解函数关系式的方法即可；
（2）将y=91代入（1）中解析式中求得x值即可；
（3）将x=17代入（1）中解析式中求得y值，再求得
解析：（1）；（2）25吨；（3）45元
【分析】
（1）利用待定系数法求解函数关系式的方法即可；
（2）将y=91代入（1）中解析式中求得x值即可；
（3）将x=17代入（1）中解析式中求得y值，再求得当时，与之间的函数关系式，将x=15代入求解y值即可．
【详解】
解：（1）设与之间的函数关系式为：，
由题意得：，∴，
∴与之间的函数关系式为：．
（2）∵元元，
∴由得：．
答：这户居民上月用水量25吨．
（3）当吨时，元，
∴当时，与之间的函数关系式为：，
当时，元，
答：这户居民这个月的水费45元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，理解题意，能从函数图象中获取有效信息，会利用待定系数法求解函数关系式是解答的关键．
23．（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝．
【分析】
（1）由已知易得，利用三角形的中位线得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出得
解析：（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝．
【分析】
（1）由已知易得，利用三角形的中位线得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出位置关系；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论；
（3）方法1：先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．
【详解】
解：（1）点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）是等腰直角三角形．
由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，

，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，

最大时，的面积最大，
且在顶点上面，
最大，
连接，，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上，
，
，
．
【点睛】
此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大．
24．（1）点的坐标为；（2）；（3）12
【解析】
【分析】
（1）根据点A的坐标求出函数解析式，即可求解；
（2）过点作轴于点，可用t表示出点P的坐标，根据（1）可知，可知，设，根据，可得：，从而，即
解析：（1）点的坐标为；（2）；（3）12
【解析】
【分析】
（1）根据点A的坐标求出函数解析式，即可求解；
（2）过点作轴于点，可用t表示出点P的坐标，根据（1）可知，可知，设，根据，可得：，从而，即可解答；
（3）作轴于点，延长至点，使，连接，，过点作的垂线交的延长线于点．由（2）可得：，可证，进而可证，可得，列出关于t的等式即可求解．
【详解】
解：（1）∵直线经过点，
∴，∴
∴当时，，
∴点的坐标为；
（2）如图1，过点作轴于点，

图1
∵点在直线上，点的横坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
∵，，
∴∴
设，∵，∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）作轴于点，延长至点，使，连接，，过点作的垂线交的延长线于点．

图2
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∵轴，∴，
∵，，
∴
∵平分的周长，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题是一次函数与几何综合题，在一次函数的背景下考查全等三角形的性质与判定等知识；构造合适的辅助线是解决本题的关键．
25．（1）①详见解析；②45°-α；③，详见解析；（2），或，或
【分析】
（1）①由题意补全图形即可；
②由正方形的性质得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质得出即可；
 ③在DF上截取DM
解析：（1）①详见解析；②45°-α；③，详见解析；（2），或，或
【分析】
（1）①由题意补全图形即可；
②由正方形的性质得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质得出即可；
 ③在DF上截取DM=BF，连接CM，证明△CDM≌△CBF，得出CM=CF， ∠DCM=∠BCF，得出MF=即可得出结论；
（2）分三种情况：①当点E在线段BC上时，DF=BF+，理由同(1)③；
②当点E在线段BC的延长线上时，BF=DF+，在BF_上截取BM=DF，连接CM．同(1)③得△CBM≌△CDF得出CM=CF，∠BCM=∠DCF，证明△CMF是等腰直角三角形，得出MF=，即可得出结论；
③当点E在线段CB的延长线上时，BF+DF=，在DF上截取DM=BF，连接CM，同(1) ③得:ACDM≌△CBF得出CM=CF，∠DCM=∠BCF，证明△CMF是等腰直角三角形，得出MF=，即可得出结论．
【详解】
解：（1）①如图，

②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，，
∴，
∵BF⊥DE,
∴∠BFE=90°，
∴,
故答案为：45°-α；
③线段BF，CF，DF之间的数量关系是．
证明如下：在DF上截取DM=BF，连接CM．如图2所示，
∵ 正方形ABCD，
∴ BC=CD，∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90°
∴∠CDM=∠CBF=45°-α，
∴△CDM≌△CBF（SAS）．
∴ DM=BF， CM=CF，∠DCM=∠BCF．
∴ ∠MCF =∠BCF+∠MCE
=∠DCM+∠MCE
=∠BCD=90°，
∴ MF =．
∴
（2）分三种情况：①当点E在线段BC上时，DF=BF+，理由同(1)③；
②当点E在线段BC的延长线上时，BF=DF+，理由如下：
在BF上截取BM=DF，连接CM，如图3所示，
同(1) ③，得：△CBM≌△CDF (SAS)，
∴CM=CF， ∠BCM=∠DCF．
∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠BCM+∠MCD= ∠ BCD=90°，
∴△CMF是等腰直角三角形，
∴MF=，
 ∴BF=BM+MF=DF+；
③当点E在线段CB的延长线上时，BF+DF=；理由如下：
在DF上截取DM=BF，连接CM，如图4所示，
同（1）③得：△CDM≌△CBF，
∴CM=CF，∠DCM=∠BCF，
∴∠MCF=∠DCF+ ∠MCD= ∠DCF+∠BCF=∠BCD=90°，
∴△CMF是等腰直角三 角形，
∴MF=,
即DM+DF=，
∴BF+DF=;
综上所述，当点E在直线BC上时，线段BF，CF，DF之间的数导关系为：，或，或．

【点睛】
此题是四边形的一道综合题，考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，注意解题中分情况讨论避免漏解．
26．（1）等腰直角；（2）结论仍成立，见解析；（3）或，.
【分析】
（1）结论：DM⊥EM，DM=EM．只要证明△AMH≌△FME，推出MH=ME，AH=EF=EC，推出DH=DE，因为∠EDH=90
解析：（1）等腰直角；（2）结论仍成立，见解析；（3）或，.
【分析】
（1）结论：DM⊥EM，DM=EM．只要证明△AMH≌△FME，推出MH=ME，AH=EF=EC，推出DH=DE，因为∠EDH=90°，可得DM⊥EM，DM=ME；
（2）结论不变，证明方法类似；
（3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；
【详解】
解：（1） △AMN ≌ △FME ,等腰直角.
如图1中，延长EM交AD于H．

∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴△AMH≌△FME，
∴，，
∴，
∵，
∴DM⊥EM，DM=ME．
（2）结论仍成立.
如图，延长EM交DA的延长线于点H,

∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形,
∴，,
∴AD∥EF,∴.
∵，,
∴△AMF≌△FME(ASA), …
∴，,∴.
在△DHE中，，,,
∴，DM⊥EM.
（3）①当E点在CD边上，如图1所示，由（1）的结论可得三角形DME为等腰直角三角形，则DM的长为,此时,所以；
②当E点在CD的延长线上时，如图2所示，由（2）的结论可得三角形DME为等腰直角三角形，则DM的长为，此时 ，所以 ；
③当E点在BC上是，如图三所示，同（1）、（2）理可得到三角形DME为等腰直角三角形，
证明如下：∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形, 且点E在BC上
∴AB//EF，∴，
∵M为AF中点，∴AM=MF
∵在三角形AHM与三角形EFM中：
,
∴△AMH≌△FME(ASA),
∴，,∴.
∵在三角形AHD与三角形DCE中：
，
∴△AHD≌△DCE(SAS),
∴,
∵∠ADC=∠ADH+∠HDC=90°，
∴∠HDE=∠CDE+∠HDC=90°,
∵在△DHE中，，,,
∴三角形DME为等腰直角三角形，则DM的长为，此时在直角三角形DCE中 ，所以

【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．