11-最优控制1.ppt

第二篇第二篇 最优控制最优控制1.1 最优控制问题实例最优控制问题实例n最小燃耗问题最小燃耗问题 为了使宇宙飞船登月舱在月球表面实现为了使宇宙飞船登月舱在月球表面实现软着陆，即登月舱到达月球表面时的速软着陆，即登月舱到达月球表面时的速度为零，要寻求登月舱发动机推力的最度为零，要寻求登月舱发动机推力的最优变化律，使燃料消耗最少，以便在完优变化律，使燃料消耗最少，以便在完成登月考察任务后，登月舱有足够燃料成登月考察任务后，登月舱有足够燃料离开月球与母船会合，从而返回地球。离开月球与母船会合，从而返回地球。登月舱软着陆示意图 设飞船登月舱质量为m（t），高度为h(t)，垂直速度为v(t)，发动机推力为u(t)，月球重力加速度为常数g，飞船登月舱不含燃料时的质量为M，登月舱所载燃料质量为F，初始条件为 末端条件为 控制约束条件 性能指标取为表征燃料消耗量的登月舱着陆时的质量 最优控制任务 在满足控制约束条件下，寻求发动机推力最优变化律 ，使登月舱由已知的初始状态转移到末端状态，并使性能指标为最大，从而使登月过程中燃料消耗量最小。1.2 最优控制问题提法最优控制问题提法n设动态系统的状态方程：n初始状态 n目标集 n控制域 n性能指标：最优控制问题提法最优控制问题提法 n最优控制的问题就是：从所有可供选择的容许控制中寻找一个最优控制 n使状态由 经过一定时间转移到目标集S，并且沿此轨线转移时，使相应的性能指标达到极值。任何一个最优控制问题均应包含以下内容 n系统数学模型系统数学模型 n边界条件与目标集边界条件与目标集 n容许控制容许控制n性能指标性能指标1.3 性能指标类型性能指标类型n性能指标J是我们事先规定的一个衡量控制过程性能好坏的指标函数。所谓过程“最优”，从数学上讲就是要使这个指标函数达到极值（极大或极小）。n性能指标函数又称价值函数、目标函数、性能泛函等，它一般是一个泛函，因此最优控制问题可归结为求泛函的极值问题。（1）积分型性能指标 n这是一种积分型泛函，在变分法中这类问题称为拉格朗日问题。（2）终值型性能指标 n 在变分法中称为迈耶尔问题。（3）复合型性能指标。n在变分法中称为波尔札问题。第二章第二章 变分法在最优控制中的变分法在最优控制中的应用应用n本章将分别介绍无约束条件及有约束条件的泛函极值问题及用变分法解最优控制问题。2.1 无约束条件的泛函极值问无约束条件的泛函极值问题题n在无约束条件下，泛函极值问题一般可以由经典变分法来解决。一、固定边界的泛函极值一、固定边界的泛函极值要求确定使 达极小的 轨线一、固定边界的泛函极值一、固定边界的泛函极值根据泛函极值的必要条件，应满足 积分号内第二项作分部积分后可得这就是著名的欧拉一拉格朗日方程，简称欧拉方程。举例1n设泛函n边界条件为n求使J达到极值时的最优轨线 举例2n设泛函n边界条件为 n求使J达到极值时的最优轨线 二、可动边界的泛函极值二、可动边界的泛函极值 三、末端时刻自由时的泛函极值三、末端时刻自由时的泛函极值n末端时刻自由问题的实质是，末端时刻不固定，末端状态或自由，或受约束，属于变动端点问题。n泛函为积分型 1 起点固定、末端自由起点固定、末端自由n欲使上述极值条件满足，必须同时满足 2 起点固定、末端受约束起点固定、末端受约束设末端约束为2 起点固定、末端受约束起点固定、末端受约束n欲使上述极值条件满足，必须同时满足 举例n求使泛函 n为最小的最优轨线n已知初态n末态要求n其中 2.2 有约束条件的泛函极值问题有约束条件的泛函极值问题n了解无约束泛函极值的必要条件，对于掌握变分法的基本概念是重要的。然而，实际系统都有其自身的运动规律，这种规律的数学描述就是系统的运动微分方程式。有等式约束的泛函极值问题 nS.t.上连续可微 定理 n对于上述问题，在约束条件下，使泛函取极值的必要条件，是轨线 满足下列欧拉方程n其中证明构造广义泛函 令拉格朗日函数举例n已知人造地球卫星姿态控制系统的状态方程为 n性能泛函取为n边界条件n求使性能泛函取极值的极值轨线和极值控制