复变函数第5讲省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,复变函数 第5讲,韩 艺 兵,Email：,hanyibing1982,解放军信息工程大学理学院,1/33,3 初等函数,一、指数函数,二、对数函数,三、乘幂,a,b,与幂函数,本节主要内容,四、三角函数,五、复双曲函数,六、反三角函数与反双曲函数,2/33,幂函数,z,n,指数函数 e,z,三角函数sin,z,cos,z,双曲函数shz,chz,它们都能够看成是,对应实变函数在复数域中推广。,主要考虑以下几点：,怎样将对应实变函数推广到复数域,这些函数解析性,这些函数作为复变函数所特有新性质.,3/33,一、指数函数,1.定义:,设,z=x,+,iy,则称e,x,(cos,y,+,i,sin,y,)为复数,z,指数函数.记作:,exp,z,=e,x,(cos,y,+,i,sin,y,)或e,z,=e,x,(cos,y,+,i,sin,y,).,显然有 Re(e,z,)=e,x,cos,y,Im(e,z,)=e,x,sin,y,|e,z,|=e,x,Arg(exp,z,)=,y,+2,k,4/33,2.性质:,e,z,0,因为|e,z,|=e,x,0.,当,z=x,(,y,=0)时,与通常实变指数函数e,x,一致.,e,z,1,e,z,2,=e,z,1,+,z,2,w,=e,z,在复平面处处解析,且(e,z,)=e,z,.,w,=e,z,以2,k,i,为周期:即,e,z,+2,k,i,=e,z,k=,0,1,2,3,这个性质是实变指数函数所没有。,不存在.,因为,z,沿实轴正负方向趋于,时,e,z,分别趋于+,和0.,5/33,二、对数函数,1.定义:,把指数函数反函数定义为对数函数,即满足,e,w,=,z,(,z,0),函数,w,=,f,(,z,)称为,对数函数,.,记作:,w,=Ln,z,注意:,当,z,=0时,w,=Ln,z,无意义.,2.对数函数为多值函数,令,z,=,r,e,i,w,=,u,+,iv,则e,u,+,iv,=,r,e,i,所以,u,=ln,r,v,=,+,2,k=,Arg,z,所以,w,=,Ln z=,ln|,z,|+,i,Arg,z=,ln|,z,|+,i,(arg,z+,2,k,),6/33,因为Arg,z,为多值函数,所以对数函数,w,=,f,(,z,)为多值函数,而且每两个值相差2,i,整数倍,记作,Ln,z,=ln|,z,|+,i,Arg,z,假如要求上式中Arg,z,取主值arg,z,则Ln,z,为一单值函数,记作ln,z,称为Ln,z,主值,所以,ln,z,=ln|,z,|+,i,arg,z,而其余各值可由,Ln,z,=ln,z,+2,ki,(,k,=1,2,.),表示.,7/33,对于每一个固定,k,Ln,z,=ln,z,+2,ki,为一单值函数,称为Ln,z,一个,分支,.,尤其,当,z,=,x,0时,Ln,z,主值ln,z,=ln,x,就是实变数对数函数.,3.对数函数解析性,讨论主值支,ln,z,=ln|,z,|+,i,arg,z,连续性,对于主值ln,z,因为 ln|,z,|=1/2 ln(,x,2,+,y,2,),故ln|,z,|除原点外在其它点都是连续.,8/33,讨论,arg,z,连续性,对于arg,z,设,z=x,+,iy,则当,x,0时,有,所以,除去原点与负实轴,在复平面内其它点arg,z,处处连续.,上沿,下沿,9/33,结论1：,ln,z,在除去原点与负实轴外，处处都是连续。,讨论主值支,ln,z,=ln|,z,|+,i,arg,z,解析性,z,=e,w,在区域-,arg,z,0)时,因为,a,b,含有,q,个值,即当,k,=0,1,.,(,q,-1)时对应各个值.,除此而外,普通而论,a,b,含有没有穷多个值.,当,b=n,为整数时,因为,所以这时,a,b,含有单一值.,a,n,=e,n,Ln,a,=e,Ln,a,+Ln,a,+Ln,a,=,a,a,a,16/33,当,b=1/n,n,为整数时,因为,k,=0,1,.,(,n,-1).,17/33,3普通幂函数,在乘幂,a,b,中，若,a=z,为一复变数，则有普通幂函数,w=z,b,=e,b,Ln,z,(,z,0,a,为复常数),当,b=n,(,n,为正整数)时，得到通常幂函数：,w=z,n,=e,n,Ln,z,.,当,b=,1,/n,(,n,为正整数)时，得到幂函数：,18/33,性质：,w=z,n,是,z,单值解析函数；,幂函数,是一个多值函数，因为Ln,z,多值性，它能够取到,n,个不一样值，即当,k,=0,1,.,(,n,-1),时对应值，所以它有,n,个分支。,19/33,分成单值解析分支方法与Ln,z,相同，且,各分支在除去原点与负实轴平面内解析。其导数为:,20/33,例2,求,i,i,.,解,21/33,例3,求,2,1+,i,.,解,2,1+,i,=e,(1+,i,)Ln2,=,e,(1+,i,)(ln2+2,k,i,),=e,(ln2-2,k,)+,i,(ln2+2,k,),=,e,(ln2-2,k,),(cosln2+,i,sinln2),k,=0,1,2,22/33,四、三角函数和双曲函数,依据欧拉公式有,e,i,=cos,+,i,sin,e,-,i,=cos,-,i,sin,将这两式相加与相减,分别得到,23/33,1.定义：,对于任意复数，要求,分别称为,z,余,弦函数,和,正,弦函数,。,要求：,分别成为,z,正切、余切、正割及余割函数,。,24/33,2.性质,当,y=,0时，sin,z=,sin,x,cos,z=,cos,x,与高等数学中实三角函数相同.,在,z,平面上是解析，且,(cos,z,)=-sin,z,(sin,z,),=cos,z,sin,z,是奇函数,cos,z,是偶函数,满足通常三角恒等式.,都是以2为基本周期周期函数.,25/33,比如:,取,z=iy,(,y,0),则,当,y,时,cos,iy,趋于无穷大,所以,|cos,z,|1在复数范围内不再成立.,|sin,z,|1和|cos,z,|1在复数范围内不再成立.,26/33,五、复双曲函数,定义：,对于任意复数,z=x,+,iy,要求,并分别称为,z,双曲余弦、双曲正弦、双曲正切。,性质,都是解析函数，各有其解析区域，且都是对应实双曲函数在复数域内推广。,27/33,ch,z,和sh,z,都是以2,p,i,为周期函数,ch,z,为偶函数,sh,z,为奇函数,它们都是复平面内解析函数,导数分别为:,(ch,z,)=sh,z,(sh,z,)=ch,z,基本公式与实双曲函数相同。,28/33,六、反三角函数与反双曲函数,反三角函数定义为三角函数反函数.,定义：,设,z,=cos,w,则称,w,为,z,反余弦函数,记作,w,=Arccos,z.,由,z,=cos,w=,1/2(e,iw,+e,-iw,),得,e,iw,二次方程:,e,2,iw,-2,z,e,iw,+1=0,它根为:,29/33,注意:,此函数都是无穷多值，而且这里根式是二值，它们互为相反数，其中每一个对数又产生无穷多个值.,其中,为双值函数，所以取对数，得,30/33,用一样方法能够定义反正弦和反正切函数,而且重复上述步骤,能够得到它们表示式:,31/33,反双曲函数定义为双曲函数反函数.,用与推导反三角函数表示式完全类似步骤,能够得到各反双曲函数表示式:,它们都是多值函数.,32/33,作业 第二章习题,第67页开始,第13题1),2),3)小题,第15题,第18题,33/33,