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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,复变函数,课程,第五章 留数,1/67,1,第一节 孤立奇点,一、孤立奇点概念,二、函数零点与极点关系,三、函数在无穷远点性态,四、小结与思索,2/67,一、孤立奇点概念,定义,假如,函数,在,不解析,但,在,某一去心邻域,内处处解析,则称,为,孤立奇点,.,例,1,是函数,孤立奇点,.,是函数,孤立奇点,.,注意,:,孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤,立奇点,.,3/67,例,2,指出函数,在点,奇点特征,.,解,即在,不论怎样小去心邻域内,奇点存在,函数奇点为,总有,不是孤立奇点,.,所以,4/67,孤立奇点分类,依据,在其孤立奇点,去心邻域,内洛朗级数情况分为三类,:,1,可去奇点,1,可去奇点,;2,极点,;3,本性奇点,.,假如洛朗级数中不含,负幂项,那么孤立奇点,称为,可去奇点,.,1),定义,5/67,其和函数,为在,解析函数,.,说明,:(1),(2),不论,在,是否有定义,补充定义,则函数,在,解析,.,6/67,2),可去奇点判定,(1),由定义判断,:,洛朗级数无负,在,假如,幂项则,为,可去奇点,.,(2),判断极限,若极限存在且为有限值,则,为,可去奇点,.,7/67,假如补充定义,:,时,那末,在,解析,.,例,3,中不含负幂项,是,可去奇点,.,8/67,例,4,说明,为,可去奇点,.,解,所以,为,可去奇点,.,无负幂项,另解,可去奇点,.,为,9/67,2.,极点,其中关于,最高幂为,即,级极点,.,那末孤立奇点,称为函数,或写成,1),定义,假如洛朗级数中只有有限多个,负幂项,10/67,说明,:,1.,2.,特点,:,(1),(2),极点,则,为函数,假如,例,5,有理分式函数,是二级极点,是一级极点,.,11/67,2),极点判定方法,负幂项为有,洛朗展开式中含有,限项,.,在点 某去心邻域内,其中 在 邻域内解析,且,(1),由定义判别,(2),由定义等价形式判别,(3),利用极限,判断,.,12/67,课堂练习,求,奇点,假如是极点,指出它,级数,.,答案,13/67,本性奇点,3.,假如洛朗级数中,含有没有穷多个,那末孤立奇点,称为,本性奇点,.,负幂项,比如，,含有没有穷多个,z,负幂项,特点,:,在本性奇点邻域内,不存在且不,为,同时,不存在,.,14/67,总而言之,:,孤立奇点,可去奇点,m,级极点,本性奇点,洛朗级数特点,存在且为,有限值,不存在,且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,含有限个负幂项,关于,最高幂,为,15/67,二、函数零点与极点关系,1.,零点定义,不恒等于零解析函数,假如,能表示成,其中,在,解析且,m,为某一正整数,那末,称为,m,级零点,.,例,6,注意,:,不恒等于零解析函数零点是孤立,.,16/67,2.,零点判定,零点充要条件是,证,(,必要性,),由定义,:,设,泰勒展开式为,:,假如,在,解析,那末,为,级,假如,为,级零点,17/67,其中,展开式前,m,项系数都为零,由泰勒级数系数,公式知,:,而且,充分性证实略,.,18/67,(1),因为,知,是,一级零点,.,课堂练习,是五级零点,是二级零点,.,知,是,一级零点,.,解,(2),因为,答案,例,7,求以下函数零点及级数,:,(1),(2),零点及级数,.,求,19/67,3.,零点与极点关系,定理,假如,是,m,级极点,那末,就是,m,级零点,.,反过来也成立,.,证,假如,是,m,级极点,则有,当 时,函数,在,解析且,20/67,因为,只要令,那末,m,级零点,.,就是,反之假如,m,级零点,是,那末,当 时,解析且,所以,是,m,级极点,.,21/67,说明,此定理为判断函数极点提供了一个较为,简便方法,.,例,8,函数,有些什么奇点,假如是极点,指出,它级,.,解,函数奇点是使,点,这些奇点是,是孤立奇点,.,一级极点,.,即,22/67,解,解析且,所以,不是二级极点,而是一级极点,.,是,几级极点,?,思索,例,9,问,是,二级极点吗,?,注意,:,不能以函数表面形式作出结论,.,23/67,三、函数在无穷远点性态,1.,定义,假如函数,在无穷远点,去心,邻域,内解析,则称点,为,孤,立奇点,.,R,x,y,o,24/67,令变换,要求此变换将,:,映射为,扩充,z,平面,扩充,t,平面,映射为,映射为,映射为,25/67,结论,:,在去心邻域,内对函数,研究,在去心邻域,内对函数,研究,因为,在去心邻域,内是解析,所以,是,孤立奇点,.,要求,:,m,级奇点或本性奇点,.,可去奇点、,m,级奇点或,本性奇点,假如,t=,0,是,是,可去奇点、,那么就称点,26/67,1),不含正幂项,;,2),含有有限多正幂项且,为最高正幂,;,3),含有没有穷多正幂项,;,那么,是,1),可去奇点,;,2),m,级极点,;,3),本性奇点,.,判别法,1(,利用洛朗级数特点,),2.,判别方法,:,在,内洛朗级数中,:,假如,27/67,例,10 (1),函数,在圆环域,内洛朗展开式为,:,不含正幂项,所以,是,可去奇点,.,(2),函数,含有正幂项且,z,为最高正,幂项,所以,是,m,级极点,.,28/67,(3),函数,展开式,:,含有没有穷多正幂项,所以,是,本性奇点,.,课堂练习,奇点及其,类型,.,说出函数,答案,29/67,判别法,2:(,利用极限特点,),假如极限,1),存在且为有限值,;,2),无穷大,;,3),不存在且不为无穷大,;,那末,是,1),可去奇点,;,2),m,级极点,;,3),本性奇点,.,30/67,例,11,函数,在扩充复平面内,有些什么类型奇点,?,假如是极点,指出它级,.,解,函数,除点,外,所以这些点都是,一级零点,故这些点中除,1,-1,2,外,都是,三级极点,.,内解析,.,在,31/67,所以,那末,是,可去奇点,.,因为,32/67,不是,孤立奇点,.,所以,33/67,四、小结与思索,了解孤立奇点概念及其分类,;,掌握可去奇点、极点与本性奇点特征,;,熟悉零点与极点关系,.,34/67,思索题,35/67,思索题答案,36/67,第二节 留 数,一、留数引入,二、利用留数求积分,三、在无穷远点留数,四、经典例题,五、小结与思索,37/67,37,一、留数引入,设,为,一个孤立奇点,;,内洛朗级数,:,在,.,某去心邻域,邻域内包含,任一条正向简单闭曲线,38/67,38,0,(,高阶导数公式,),0,(,柯西,-,古萨基本定理,),39/67,39,定义,记作,一个孤立奇点,则沿,内包含,任意一条简单闭曲线,C,积分,值除,后所得数称为,以,假如,40/67,40,二、利用留数求积分,说明,:,2.,留数定理将沿封闭曲线,C,积分转化为求,被积函数在,C,内各孤立奇点处留数,.,1.,留数定理,在区域,D,内除有限个孤,外处处解析,C,是,D,内包围诸奇,点一条正向简单闭曲线,那末,立奇点,函数,41/67,41,证,证毕,两边同时除以 且,.,.,.,如图,42/67,42,2.,留数计算方法,(1),假如,为,可去奇点,假如 为 一级极点,那末,规则,1,成洛朗级数求,(2),假如,为,本性奇点,(3),假如,为,极点,则有以下计算规则,展开,则需将,43/67,43,假如 为 级极点,规则,2,证,那末,44/67,44,+(,含有 正幂项,),两边求,阶导数,证毕,得,45/67,45,规则,3,假如,设,及,在,都解析，,证,一级零点,为,一级极点,.,为,那末,为,一级极点,且有,46/67,46,解析且,在,所以,其中 在 解析且,为 一级极点,47/67,47,三、在无穷远点留数,注意积分路线取顺时针方向,说明,记作,1.,定义,设函数,在圆环域,内解析，,C,为圆环域内绕原点任何一条正向简单闭曲线，,48/67,48,.,.,.,.,.,.,.,证,由留数定义有,:,(,绕原点并将,内部正向简单闭曲线,),包含在,2.,定理二,假如函数,在扩充复平面内只有有限个,孤立奇点,那末,在全部各奇点,(,包含,点,),留数总和必等于零,.,证毕,49/67,49,说明,:,由定理得,(,留数定理,),计算积分,计算无穷远点留数,.,优点,:,使计算积分深入得到简化,.,(,防止了计算诸有限点处留数,),50/67,50,3.,在无穷远点处留数计算,规则,4,说明,:,定理二和规则,4,提供了,计算函数沿闭曲线,积分又一个方法,:,此法在很多情况下此法更为简单,.,51/67,51,现取正向简单闭曲线,C,为半径足够大,正向圆周,:,于是有,证,52/67,52,内除,在,外无其它奇点,.,证毕,53/67,53,四、经典例题,例,1,求,在,留数,.,解,54/67,54,例,2,求,在,留数,.,分析,是,三级零点,由规则,3,得,计算较麻烦,.,55/67,55,假如利用洛朗展开式求,较方便,:,解,56/67,56,说明,:,如 为,m,级极点，当,m,较大而导数又难以计算时,可直接展开洛朗级数求,来计算留数,.,2.,在应用规则,2,时,取得比实际级数高,.,级数高反而使计算方便.,1.,在实际计算中应灵活利用计算规则,.,为了计算方便普通不要将,m,但有时把,m,取得比实际,如上例取,57/67,57,例,3,求,在,留数,.,解,是,四级极点,.,在,内将,展成洛朗级数,:,58/67,58,例,4,计算积分,C,为正向圆周,:,解,为一级极点,为二级极点,59/67,59,60/67,60,例,5,计算积分,C,为正向圆周,:,函数,在,外部,除,点外没有,其它奇点,.,解,依据定理,2,与规则,4:,61/67,61,与以下解法作比较,:,被积函数,有四个一级极点,都,在圆周,内部,所以,由规则,3,62/67,62,可见,利用无穷远点留数更简单,.,例,6,计算积分,C,为正向圆周,:,解,除,被积函数,点外,其它奇点为,63/67,63,因为,与,1,在,C,内部,则,所以,64/67,64,五、小结与思索,本节我们学习了留数概念、计算以及留数,定理,.,应重点掌握计算留数普通方法,尤其是极,点处留数求法,并会应用留数定理计算闭路复,积分,.,65/67,65,思索题,66/67,66,思索题答案,67/67,67,