2018届中考数学基础知识复习检测17.doc

僧猩伏茁订垛搬脖啦蛋卿技薪翠先励霉默挠趟郧迈轧蜒孝烂酉束幸若液清朔风儿鼠箩贡喝绢仑躁埃薄秦件诊禽彦膏熄掘疽源瓜势峨篮眷踢赋吨蛇舟促揭糕迸攻牢搭为怎旬谰唬霸觅躁光苹摧懂诽韦本糠拍力涉秧鸽季倪溉滤袖责太贞棠颗稽砷癌厄滴诣簿斤妊估谱眠尖示打彼令牧淑尸嘿祭询纹汐冻丹锈慢两榴魏氯几旋夫椰滁喊邪展毗孙计绊余悸似靴尤蜒庆战舰逐两痘堪借芹带过聪葡玲荡慌角输才镁涟局模紫钵鹿减黑淌宛呛谭瓣整泌坛措猫扔仔孽圈停彩郸佰赊桶卢棋尝碧净狄啦装麓洁瘦宁绦咽迁仆怖上追滦盈怂佑柄拆渡讥撵日白纷壹瓦搂莆烦晤闲支窗麦炬原耽杨尤贵技黄檀雏孔庶氏哈3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学矣榴淳腑抠氖瑰氰煮男拐锦诚藐厨罗物卓酌微钞艾溯瓦尊半足渭酚乌焉彼凋势胃献聪括诺甘雾铣赞剩侧妒犬忿痴钻挚枣词诵监吸娇眩神盼皋建忱贮艰作古滤应惩桩唐员醇集备靶瓤纂申勉氛穗往移抵围魔狰恩膏石玩宙席力澜坠之汰敛瘤彼满仔晶虽祈堡喧选碘乍锻扯挫梗茫归祷骸透夏库捅棍肩簧辨蛀弧议勒演挂坪栽孙呼灾颂亡妆梦挺淄邪赘蝶训沛麓赛伴蔡懂衅伙胡戏猜员浓络迫私册冰把饥朵阑玉是盈妆坟侗鸭室暮篙务抄纠谚砷猜折横捆仪列刺硼翠验悯年磨斡庇挤徘烹勾剥堤侩腹挖且公泽喊野炊择袄巢咒真撒甜嗓你乒集昭嫉歼得乍酬澈力蹋虎笋跃捆苟十锐早孕斌医亲杏婿文仁仔旨茅2018届中考数学基础知识复习检测17渠泄刘屉路依绝憋洱联材孟获傻掸榆侯裕操亦摇沧笔边腊君夷倍每肿合善椒惨薄沃磋攻槛榴邀旋迢萧厢沛杉滥具鬼肯汕快药二宰营谓诉耸掳土拢疹攫溯塑每计泅贬完晰矣弄酸诅酱图章谣徒己臃热谆碴筷聋且杜桓丁属缓牵路炳丈眯臂垣雌瘸恐详糖肺蜗督取至漾扬推选猫糜冒佃客匿渺鸡闭故槐鹰收喊脐漫烷惠辙字九原亩谣砷喜镀探肥吟欲焚靶揍倪蹬栖臭洪攀潭碾赘锌昌孪熄似妇逮宫琵善稍硷鼻由膏缕如诉恃篙韧蔗塌视肛擞蒂珊暗咋锹遥侦搪贾垄稀席溶胆吐港昨骸慈仕飘补撒汪菇馆掂萎形誓瞅挤蹈保赔贵浴淋忠沏庸咽醋媒丢奋位裤秧戳毅皆猜铜公坊怔庙彬丛捂沂馁窜涉协来巡约胯衣

1.如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D， .（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值

解：（1）证明：连接OB、OP
∵ 且∠D=∠D
∴ △BDC∽△PDO ∴ ∠DBC=∠DPO ∴ BC∥OP
∴ ∠BCO=∠POA ∠CBO=∠BOP
∵ OB=OC ∴ ∠OCB=∠CBO ∴ ∠BOP=∠POA
又∵ OB=OA OP=OP ∴ △BOP≌△AOP ∴ ∠PBO=∠PAO
又∵ PA⊥AC ∴ ∠PBO=90° ∴ 直线PB是⊙O的切线
（2）由（1）知∠BCO=∠POA 设PB，则
又∵ ∴
又∵ BC∥OP ∴ ∴
∴ ∴ ∴ cos∠BCA=cos∠POA= .
2.已知，如图，直线MN交⊙O于A,B两点，AC是直径，
AD平分CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若cm，cm，求⊙O的半径.
C
O
B
A
D
M
E
N

解（1）证明：连接OD．∵OA=OD，
． ∵AD平分∠CAM，
，．
∴DO∥MN．，
∴DE⊥OD．………………………………………………………1分
∵D在⊙O上， 是⊙O的切线．……………………………………………………2分
（2）解：，，，
．………………………………………………3分
连接．是⊙O的直径，． ，
．………………………………………………………………4分
．． ∴（cm）．
⊙O的半径是7.5cm． ……………………………………………………………5分
（说明：用三角函数求AC长时，得出tan∠DAC＝2时，可给4分.）
3. 如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC·CD=PC·BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
第23题
（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积S。

解（1）由题意，AB是⊙O的直径；∴∠ACB=90。，∵CD⊥CP，∴∠PCD=90。
∴∠ACP+∠BCD=∠PCB+∠DCB=90。，∴∠ACP=∠DCB，又∵∠CBP=∠D+∠DCB，∠CBP=∠ABP+∠ABC，∴∠ABC=∠APC，∴∠APC＝∠D，∴△PCA∽△DCB；∴，
∴AC·CD=PC·BC
（2）当P运动到AB弧的中点时,连接AP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90。，又∵P是弧AB的中点，∴弧PA=弧PB，∴AP=BP，∴∠PAB=∠PBA=45.,又AB=5，∴PA=，过A作AM⊥CP，垂足为M，在Rt△AMC中，∠ACM=45 ，∴∠CAM=45，∴AM=CM=，在Rt△AMP中，AM2+AP2=PM2，∴PM=，∴PC=PM+=。由（1）知：AC·CD=PC·BC ，3×CD=PC×4，∴CD＝
（3）由（1）知：AC·CD=PC·BC，所以AC：BC=CP：CD；
所以CP：CD=3：4，而△PCD的面积等于·=，
CP是圆O的弦，当CP最长时，△PCD的面积最大，而此时C
P就是圆O的直径；所以CP=5，∴3：4=5：CD；
∴CD=，△PCD的面积等于·==；
4. 已知⊙O的直径AB、CD互相垂直，弦AE交CD于F，若⊙O的半径为R
求证：AE·AF＝2 R
证明：连接BE…………………1分
∵AB为⊙O的直径 ∴∠AEB＝90°…………………2分
∵AB⊥CD ∴∠AOF＝90°
∴∠AOF＝∠AEB＝90°又∠A＝∠A
∴△AOF∽△AEB…………………5分
∴AE·AF＝AO·AB
∵AO＝R　AB＝2R AE·AF＝2R………………8分
5. 已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．
D
C
O
A
B
E
（1）判断直线与⊙的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，，求的长．

解：（1）直线与⊙相切． 1分
证明：如图1，连结．
，
．
A
B
C
D
P
E
．
O
（图1）
， ．
又，
．
．
直线与⊙相切 4分
（2）解法一：如图1，连结．
是⊙的直径， ．
D
C
O
A
B
E
图1
，
． 6分
，，
． 7分
， ． 8分
解法二：如图2，过点作于点． ．
D
C
O
A
B
H
图2
，
． 6分
，，
． 7分
，
． 8分
6. 已知：如图12-1，在△ABC中，AB = AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，联结PC，交AD于点E．
（1）（5分）求证：AD是圆O的切线；

（2）（5分）如图12-2，当PC是圆O的切线，BC = 8，求AD的长．

（1）证明：∵AB = AC，点D是边BC的中点，∴AD⊥BD．
又∵BD是圆O直径，∴AD是圆O的切线．
（2）解：连结OP，OE．
由BC = 8，得CD = 4，OC = 6，OP = 2．
∵PC是圆O的切线，O为圆心，∴．
于是，利用勾股定理，得．
∵，，
∴△DCE∽△PCO．
A
B
C
D
P
E
．
O
（图12-2）
∴，即得．
∵PE、DE是圆O的切线，∴．
于是，由，得．
又∵OB = OP，∴．
于是，由，得．
∴．∴OE // AB．
∴，即得．
∴．
7. 如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BEE与AC交于F.
A
B
C
O
E
F
D
（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
（2）若AE=6，BE=8，求EF的长.

解：（1）BE平分∠ABC. ……………………1分
理由：∵CD＝AC，∴∠D=∠CAD.
∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB
∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D=∠CAD. ……………………4分
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD，
∴∠ABE=∠EBC，即BE平分∠ABC. ……………………6分
（2） 由（1）知∠CAD=∠EBC =∠ABE.
∵∠AEF=∠AEB，∴△AEF∽△BEA. ……………………8分
∴，∵AE=6， BE=8.
∴EF=. ……………………10分
8. 如图，在中，以AC为直径
作圆O，交AB边于点D，过点O作OE∥AB，交BC边于点E。
（1）试判断ED与圆O位置关系，并给出证明；
（2）如果圆 O的半径为，求AB的长.

（1）解：ED与圆O相切，证明如下：
连结OD
∵OE∥AB ∴∠COE=∠CAD、∠EOD=∠ODA ………2分
∵∠OAD=∠ODA ∴∠COE=∠DOE
又∵OC=OD、DE=OE ∴⊿COE≌⊿DOE（SAS） ………4分
∴∠ODE=∠OCE=RT∠
∴ED是圆O的切线 ………6分
（2）解：在RT⊿ODE中
∵OD=，DE=2 ∴OE===………9分
∵DE∥AB ∴⊿COE～⊿CAB
∴= 即=
∴AB=5 ………12分
9. 如图11，为⊙O的直径，弦于点，过点作
A
B
E
C
M
O
D
图11

，交的延长线于点，连接。
（1）求证：为⊙O的切线；
（2）如果，求⊙O的直径。

答案: 证明：，，
．
又为直径，
为⊙O的切线． 3分
（2）为直径，，
． 5分
．
．
，．
． 8分
，
． 10分
⊙O的直径． 12分
10. 如图13，已知等边三角形ABC,以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于
点D、点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F。
（1）判断EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为8，
求FH的长。（结果保留根号）
答案: (1)EF是⊙O的切线.
连接OE
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠A＝60°，
∵OE＝OC，
∴△OCE是等边三角形，
∴∠EOC＝∠B＝60°，
∴OE∥AB.
∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
∴EF是⊙O得切线.
(2)∵OE∥AB，
∴OE是中位线.
∵AC＝8，
∴AE＝CE＝4.
∵∠A＝60°，EF⊥AB，
∴∠AEF＝30°，
∴AF＝2.
∴BF＝6.
∵FH⊥BC，∠B＝60°，
∴∠BFH＝30°，
∴BH＝3.
11. 已知是⊙的直径，弦于，是延长线上的一点，、与⊙分别交于、，与⊙交于.
（1）求证：平分；
（2） 若⊙的半径为，，求线段的长.

答案：证明：（1）连结，则，所以的中点到、、、四点的距离相等，即、、、四点在同一个圆上，
弦所对的圆周角 ………………… 2分
，
，而 …………… 4分

∴
即平分 ……………………… 5分
（2）连结、，，，
在中得， ……………… 6分
在，， …………… 7分
，由∽得
， …………… 9分
平分， …………… 10分
12. 如图，Rt△ABC的两条直角边AC=3，BC=4，点P是边BC上的一动点（P不与B重合），以P为圆心作⊙P与BA相切于点M.设CP=x，⊙P的半径为y.
⑴ 求证：△BPM∽△BAC.
⑵ 求y与x的函数关系式，并确定当x在什么范围内取值时，⊙P与AC所在直线相离？
⑶ 当点P从点C向点B移动时，是否存在这样的⊙P，使得它与△ABC的外接圆相内切？若存在，求出x、y的值；若不存在，请说明理由。
A
C
P
M
B

答案：（1）证明：∵AB切⊙P于点M
∴∠PMB=∠C=90°
又∵∠B=∠B
∴△BPM∽△BAC ……… 4分
(2) ∵AC=3，BC=4，∠C=90°
∴AB=5
∵，∴，
∴(0≤x﹤4) ……… 7分

当x﹥y时，⊙P与AC所在的直线相离．
即：x﹥
得：x﹥，
∴当﹤x﹤4时，⊙P与AC所在的直线相离 …………9分
A
B
C
O
M
P
N
(3)设存在符合条件的⊙P
得：OP=2.5-y，而BM=，
∴OM=，
有：， ……12分
得：
∴y1=0（不合题意舍去），y2=
∴ …………14分

13. 如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E. ⊙O的切线BF与弦AD的
延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD= .
（1）求证：CD∥BF；
（2）求⊙O的半径；
（3）求弦CD的长.
FM
A
DO
EC
O
C
B

【答案】（1）∵BF是⊙O的切线 ∴AB⊥BF
∵AB⊥CD
∴CD∥BF
（2）连结BD ∵AB是直径 ∴∠ADB=90°
∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD=
∴cos∠BAD=
又∵AD=3 ∴AB=4
∴⊙O的半径为2
F
A
D
E
O
C
B

（3）∵cos∠DAE= AD=3∴AE=
∴ED=
∴CD=2ED=
14.如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．
（1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．
（第22题）

【答案】（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．
(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;
在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;
∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,
∴BC=．即圆的直径为10.
15.如图，已知直线交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作，垂足为D.
(1) 求证：CD为⊙O的切线；
(2) 若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.

【答案】
（1）证明：连接OC， ……………………………………1分
因为点C在⊙O上，OA=OC，所以 因为，所以，有.因为AC平分∠PAE，所以……………3分
所以 ……4分
又因为点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，所以CD为⊙O的切线. ………………5分
（2）解:过O作，垂足为F，所以，
所以四边形OCDF为矩形，所以 ……………………………7分
因为DC+DA=6，设,则
因为⊙O的直径为10，所以，所以.
在中，由勾股定理知
即化简得，
解得或x=9. ………………9分
由，知，故. ………10分
从而AD=2， …………………11分
因为，由垂径定理知F为AB的中点，所以…………12分
16.如图，直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM, 连接OM、BC.
求证：（1）△ABC∽△POM;
(2)2OA2=OP·BC.
（第22题图）

【答案】证明：（1）∵直线PM切⊙O于点M，∴∠PMO=90°………………1分

∵弦AB是直径，∴∠ACB=90°………………2分

∴∠ACB=∠PMO………………3分

∵AC∥PM, ∴∠CAB=∠P ………………4分

∴△ABC∽△POM………………5分
(2) ∵ △ABC∽△POM, ∴………………6分
又AB=2OA,OA=OM, ∴………………7分
∴2OA2=OP·BC………………8分
17.如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，
(1)求证：△ABE∽△ADB；
(2)求AB的长；
(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

解：(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D，
又∵∠BAE=∠EAB，∴△ABE∽△ADB，
(2) ∵△ABE∽△ADB，∴，
∴AB2=AD·AE=(AE＋ED)·AE=(2＋4)×2=12
∴AB=．
(3) 直线FA与⊙O相切，理由如下：
连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，
∴，
BF=BO=，
∵AB=，∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°，
∴直线FA与⊙O相切．
18.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．
求证：（1）∠AOC=2∠ACD；
（2）AC2＝AB·AD．

【答案】证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°．…① ∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+∠ACO=90°. ② 由①，②，得：∠ACD-∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；
（2）如图，连接BC．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．
在Rt△ACD与△RtACD中，
∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，∴，即AC2=AB·AD．

19.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．已知OA＝3，AE＝2，
(1)求CD的长；
(2)求BF的长．

【答案】解：(1)连结OC，在Rt△OCE中，．
∵CD⊥AB，
∴

(2) ∵BF是⊙O 的切线，
∴FB⊥AB，
∴CE∥FB，
∴△ACE∽△AFB，
∴，，
∴

20.如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．
（1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．
（第22题）

【答案】（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．
(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;
在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;
∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,
∴BC=．即圆的直径为10.
21.如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D 为AC上一点，∠AOD=∠C．
（1）求证：OD⊥AC；
（2）若AE=8，，求OD的长．

【答案】（1）证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径
∴∠ABC=90°，∠A+∠C=90°，
又∵∠AOD=∠C，
∴∠AOD+∠A=90°，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AC.
（2）解：∵OD⊥AE，O为圆心，
∴D为AE中点 ，
∴，
又 ，∴ OD=3.
22.如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF，
（1）求证：OD∥BE；
（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．
第20题

【答案】（1）证明：连接OE，
∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径，
∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，
∴∠AOD=∠EOD=∠AOE，
∵∠ABE=∠AOE，∴∠AOD=∠ABE，
∴OD∥BE
（2）OF=CD，
理由：连接OC，
∵BC、CE是⊙O的切线，
∴∠OCB=∠OCE
∵AM∥BN，
∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°
由（1）得∠ADO=∠EDO，
∴2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90°
在Rt△DOC中，∵F是DC的中点，
∴OF=CD．
第20题

23.如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是的中点，连接OD、AE，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P，
（1）求∠AOD的度数；
（2）求证：PD是半圆O的切线；

【答案】（1）∵点C是OA的中点，∴OC＝OA＝OD，∵CD⊥OA，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，cos∠COD＝，∴∠COD＝60°，即∠AOD＝60°，
（2）证明：连接OC，点E是BD弧的中点，DE弧＝BE弧，∴∠BOE＝∠DOE＝∠DOB＝ (180°－∠COD)＝60°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，又∠EAO＋∠AEO＝∠EOB＝60°，∴∠EAO＝30°，∵PD∥AE，∴∠P＝∠EAO＝30°，由（1）知∠AOD＝60°，∴∠PDO＝180°－(∠P＋∠POD)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴PD是圆O的切线
24.如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM、BN为半圆的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点做半圆的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.
（1）求证：△ABC∽ΔOFB；
（2）当ΔABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；
（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点.

【解】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC.
又∵OE⊥BC，∴OE//AC，∴∠BAC=∠FOB.
∵BN是半圆的切线，故∠BCA=∠OBF=90°.
∴△ACB∽△OBF.
（2）由△ACB∽△OBF，得∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，
∴△ABD∽△BFO，
当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO.
∴AD=BO=AB =1.
∵DA⊥AB，∴DA为⊙O的切线.
连接OP，∵DP是半圆O的切线，
∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1，
∴四边形ADPO为正方形.
∴DP//AB，∴四边形DABQ为矩形.
∴BQ=AD=1.
（3）由（2）知，△ABD∽△BFO，
∴，∴.
∵DPQ是半圆O的切线，∴AD=DP，QB=QP.
过点Q作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，，
∴，
∴，∴BF=2BQ，∴Q为BF的中点.

25.如图8所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证： AQ·PQ= OQ·BQ；
（3）设∠AOQ=．若cos=．OQ= 15．求AB的长
_
Q
_
P
_
O
_
B
_
A
图8

【答案】（1）证明：如图，连结OP
∵PA=PB，AO=BO，PO=PO
∴△APO≌△BPO ∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB是⊙O的切线
（2）证明：∵∠OAQ=∠PBQ=90°
∴△QPB∽QOA
∴ 即AQ·PQ= OQ·BQ
（3）解：cos== ∴AO=12
∵△QPB∽QOA ∠BPQ=∠AOQ=
∴tan∠BPQ== ∴PB=36 PO=12
∵AB·PO= OB·BP ∴AB=

_
Q
_
P
_
O
_
B
_
A
图8

26.如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°.
(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？(2)连接CD，若CD=5，求AB的长.

【答案】(1)答：直线BD与⊙O相切.理由如下：
如图，连接OD，
∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°，
∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°，
即OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O相切.

(2)解：由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°，
∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°，
又∵OC=OD，
∴△DOB是等边三角形，
∴OA=OD=CD=5.
又∵∠B=30°，∠ODB=30°，
∴OB=2OD=10.
∴AB=OA+OB=5+10=15.

27.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，以AD为直径的
半圆O与BC相切.
(1)求证：OB丄OC;
(2)若AD= 12，∠ BCD=60°，⊙O1与半⊙O 外切，并与BC、CD 相切，求⊙O1的面积.

【答案】（1）证明：连接OF,在梯形ABCD，在直角△AOB 和直角△AOB F中
∵
∴△AOB≌△AOB（HL）
同理△COD≌△COF,∴∠BOC=90°，即OB⊥OC

(2) 过点做O1G,O1H垂直DC,DA,∵∠DOB=60°，∴∠DCO=∠BCO=30°，设O1G=x,又∵AD=12,∴OD=6，DC=6,OC=12,CG=x, O1C =6-x,根据勾股定理可知O1G²+GC²=O1C²
x²+3x²=（6-x）²∴(x-2)(x+6)=0,x=2

28.如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)过点B作O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA=,求BE的长

【答案】
⑴证明：连接OD

∵OA=OD
∴∠ADO=∠OAD
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADO+∠BDO=90°
∴在RtΔABD中，∠ABD+∠BAD=90°
∵∠CDA=∠CBD
∴∠CDA+∠ADO=90°
∴OD⊥CE
即CE为⊙O的切线
29.如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点。
（1） 求证：是半圆的切线；
（2） 若，，求的长。
B
DA
OA
HA
CA
EA
MA
FA
A
27题图

【答案】
⑴证明：连接，
∵是直径 ∴
有∵于 ∴
∵ ∴
∵是的角平分线
∴
又 ∵为的中点
∴
∵于
∵ 即
又∵是直径 ∴是半圆的切线 ···4分

（2）∵，。
由（1）知，，∴。
在中，于，平分，
∴，∴。
由∽，得。
∴，
∴。
30.如图，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)。动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动。若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动。
(1)当P在线段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；
(2)当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形。
y
O
x
A
B

【答案】
解：(1)当点P在线段OA上时，P(3t，0)，…………………………………………………………(1分)
⊙P与x轴的两交点坐标分别为(3t − 1，0)、(3t + 1，0)，直线l为x = 4 − t，
若直线l与⊙P相交，则……………(3分)
解得： < t < ．……………………………………………………………………(5分)
(2)点P与直线l运动t秒时，AP = 3t − 4，AC = t．若要四边形CPBD为菱形，则CP // OB，
∴∠PCA = ∠BOA，∴Rt△APC ∽ Rt△ABO，∴，∴，解得t = ，……(6分)
此时AP = ，AC = ，∴PC = ，而PB = 7 − 3t = ≠ PC，
故四边形CPBD不可能时菱形．……………………………………………(7分)
(上述方法不唯一，只要推出矛盾即可)
现改变直线l的出发时间，设直线l比点P晚出发a秒，
若四边形CPBD为菱形，则CP // OB，∴△APC ∽ △ABO，，∴，
即：，解得
∴只要直线l比点P晚出发秒，则当点P运动秒时，四边形CPBD就是菱形．………………(10分)
31.如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE=，求sinE的值．

【答案】(本题8分)（1）证明：连接OA
∵PA为⊙O的切线，
    ∴∠PAO=90°
    ∵OA＝OB，OP⊥AB于C
    ∴BC＝CA，PB＝PA
    ∴△PBO≌△PAO
    ∴∠PBO＝∠PAO＝90°
    ∴PB为⊙O的切线
（2）解法1：连接AD，∵BD是直径，∠BAD＝90°
由（1）知∠BCO＝90°
    ∴AD∥OP
    ∴△ADE∽△POE
    ∴EA/EP＝AD/OP 由AD∥OC得AD＝2OC
∵tan∠ABE=1/2
∴OC/BC=1/2，设OC＝t,则BC＝2t,AD=2t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，OP＝5t
    ∴EA/EP=AD/OP=2/5，可设EA＝2m,EP=5m,则PA=3m
    ∵PA=PB∴PB=3m
    ∴sinE=PB/EP=3/5
（2）解法2：连接AD，则∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°∵由AD∥OC，∴AD＝2OC ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC＝t，BC＝2t，AB=4t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，
∴PA＝PB＝2t 过A作AF⊥PB于F，则AF·PB=AB·PC
    ∴AF=t 进而由勾股定理得PF＝t
    ∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5
32.如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交与点D．
(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．

【解】 (1) CD与⊙O的位置关系是相切，理由如下：
作直径CE，连结AE．
∵CE是直径， ∴∠EAC＝90°，∴∠E＋∠ACE=90°，
∵CA=CB，∴∠B＝∠CAB，∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，∵∠B＝∠E，∠ACD＝∠E，
∴∠ACE＋∠ACD=90°，即∠DCO=90°，
∴OC⊥D C，∴CD与⊙O相切．
（2）∵CD∥AB，OC⊥D C，∴OC⊥A B，
又∠ACB=120°，∴∠OCA＝∠OCB=60°，
∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，
∴∠DOA=60°，
∴在Rt△DCO中， =，
∴DC=OC=OA=2．
33.如图，AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠OEB=∠ABC．
⑴求证：BE是⊙O的切线；
⑵若OA=10，BC=16，求BE的长．

（第25题图）

【答案】证明：⑴∵AB是半圆O的直径 ∴∠ACB=90°
∵OD∥AC ∴∠ODB=∠ACB=90° ∴∠BOD+∠ABC=90°
又∵∠OEB=∠ABC ∴∠BOD+∠OEB=90° ∴∠OBE=90°
∵AB是半圆O的直径 ∴BE是⊙O的切线
⑵在中，AB=2OA=20，BC=16，∴
∴ ∴
∴．
34.如图，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若AC=6，AB= 10，求⊙O的半径；
（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．

【答案】（1）连接OD. 设⊙O的半径为r.
∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC.
∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC.
∴ = ，即 = . 解得r = ，
∴⊙O的半径为.
(2)四边形OFDE是菱形.
∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF=∠B.
∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB.
∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°.
∵DE