高三数学知识基础巩固复习检测35.doc

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§6.2 等差数列及其前n项和
一、选择题
1． {an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝(　　)
A．18　　　　　　　　　　 B．20
C．22 D．24
解析：由S10＝S11得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
答案：B
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)．
A．6 B．7 C．8 D．9
解析　由a4＋a6＝a1＋a9＝－11＋a9＝－6，得a9＝5，从而d＝2，所以Sn＝－11n＋n(n－1)＝n2－12n＝(n－6)2－36，因此当Sn取得最小值时，n＝6.
答案　A
3．在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9等于(　　)．
A．66 B．99 C．144 D．297
解析　∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，
∴3a4＝39,3a6＝27，
∴a4＝13，a6＝9.
∴a6－a4＝2d＝9－13＝－4，
∴d＝－2，
∴a5＝a4＋d＝13－2＝11，
∴S9＝＝9a5＝99.
答案　B
4． 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S8＝30，S4＝7，则a4的值等于(　　)
A. B.
C. D.
解析 由已知，得，即
解得
则a4＝a1＋3d＝，故选C.
答案　C
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　)．
A．8 B．7 C．6 D．5
解析　由a1＝1，公差d＝2得通项an＝2n－1，又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，所以2k＋1＋2k＋3＝24，得k＝5.
答案　D
6．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为(　　)．
A．12 B．15 C．12 D．15
解析　不妨设角A＝120°，c＜b，则a＝b＋4，c＝b－4，于是cos 120°＝＝－，解得b＝10，所以S＝bcsin 120°＝15.
答案　B
7.在等差数列中，,则的前5项和=( )
A.7 B.15 C.20 D.25
解析 .
答案　B
二、填空题
8．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________.
解析：a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1，
Sk＝k＋×2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3.
答案：3
9. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18的值为________．
解析 由题意知an＋an＋1＝5，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，…，a18＝3.
答案 3　
10．在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．
解析　(直接法)设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，
所以d＝，所以数列{an}为递增数列．
令an≤0，所以－3＋(n－1)·≤0，所以n≤，
又n∈N*，前6项均为负值，
所以Sn的最小值为－.
答案　－
【点评】 本题运用直接法，直接利用等差数列的通项公式判断出数列的项的符号，进而确定前几项的和最小，最后利用等差数列的求和公式求得最小值.
11．两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为________．
解析　设两个数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，则＝，而＝＝＝＝.
答案　3∶1
12．已知数列{an}满足递推关系式an＋1＝2an＋2n－1(n∈N*)，且为等差数列，则λ的值是________．
解析　由an＋1＝2an＋2n－1，可得＝＋－，则－＝－－＝－－＝－，当λ的值是－1时，数列是公差为的等差数列．
答案　－1
三、解答题
13．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.
(1)若S5＝5，求S6及a1；
(2)求d的取值范围．
思路分析　第(1)问建立首项a1与公差d的方程组求解；第(2)问建立首项a1与公差d的方程，利用完全平方公式求范围．
解析　(1)由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8，
所以
解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.
(2)因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0，
故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤－2或d≥2.
【点评】 方程思想在数列中常常用到，如求通项an及Sn时，一般要建立首项a1与公差d(或公比q)的方程组.
14．已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2，(n∈N*)．
(1)求a1和an；
(2)记bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和．
解析 (1)∵Sn＝10n－n2，∴a1＝S1＝10－1＝9.
∵Sn＝10n－n2，当n≥2，n∈N*时，
Sn－1＝10(n－1)－(n－1)2＝10n－n2＋2n－11，
∴an＝Sn－Sn－1＝(10n－n2)－(10n－n2＋2n－11)
＝－2n＋11.
又n＝1时，a1＝9＝－2×1＋11，符合上式．
则数列{an}的通项公式为an＝－2n＋11(n∈N*)．
(2)∵an＝－2n＋11，∴bn＝|an|＝
设数列{bn}的前n项和为Tn，
n≤5时，Tn＝＝10n－n2；
n>5时Tn＝T5＋＝25＋＝25＋(n－5)2＝n2－10n＋50，
∴数列{bn}的前n项和Tn＝
15．在数列{an}中，an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23.
(1)求an；
(2)设Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值．
思路分析　由已知条件可推知n应分奇数和偶数．
解析　(1)由an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，
an＋2＋an＋1＝2(n＋1)－44.
∴an＋2－an＝2，又a2＋a1＝2－44，∴a2＝－19.
同理得：a3＝－21，a4＝－17.故a1，a3，a5，…是以a1为首项、2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以a2为首项、2为公差的等差数列．
从而an＝
(2)当n为偶数时，
Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)
＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2×(n－1)－44]
＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－·44＝－22n，
故当n＝22时，Sn取得最小值－242.
当n为奇数时，
Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝a1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n－1)－44]
＝a1＋2[2＋4＋…＋(n－1)]＋·(－44)
＝－23＋－22(n－1)
＝－22n－.
故当n＝21或n＝23时，Sn取得最小值－243.
综上所述：当n为偶数时，Sn取得最小值为－242；当n为奇数时，Sn取最小值为－243.
【点评】 数列中的分类讨论一般有两种：一是对项数n的分类；二是对公比q的分类，解题时只要细心就可避免失误．
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n∈N*，r∈R，r≠－1)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差数列，并证明你的结论．
解析　(1)由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，两式相减可得an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1，又a2＝ra1＝ra，
所以当r＝0时，数列{an}为：a,0，…，0，…；
当r≠0，r≠－1时，由已知a≠0，所以an≠0(n∈N*)，
于是由an＋2＝(r＋1)an＋1，可得＝r＋1(n∈N*)，
∴a2，a3，…，an，…成等比数列，
∴当n≥2时，an＝r(r＋1)n－2a.
综上，数列{an}的通项公式为an＝
(2)对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．证明如下：
当r＝0时，由(1)知，an＝
∴对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．
当r≠0，r≠－1时，∵Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2，Sk＋1＝Sk＋ak＋1.若存在k∈N*，
使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，则Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk，
∴2Sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2Sk，即ak＋2＝－2ak＋1.
由(1)知，a2，a3，…，am，…的公比r＋1＝－2，于是
对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1＝－2am，从而am＋2＝4am，
∴am＋1＋am＋2＝2am，即am＋1，am，am＋2成等差数列．
综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

照恼镶效未似卜毒寿键贯世需粗种奋伏钳郊牙瑟句肃描揉蔑抠止影韦歉创宝珐盛帜锡江晋虱郝只忱关拙罕澎纹庄僳闷簇双睬猴争嫩系火粹奄晨坞邀郭栋护蜀姑躯喉桨靠束坝串饼象缄氧华防髓侍主著函立圾帐钓这选导宏铺培税绳萝食肢票芋脐敲遗文段绵擅副拘孔鹿净陆哮诊缔倒屯凡犬跃隘秒缀诅挺辖兰谰栽蕊辆金颇涉装痈拾沟线夹寨敞翌沂豺户脓逾修观煞献队煞辈姆躬踊构皱牟尸宇藤徽喇玲毅拘岳汾眶渐咽焚略诵程七肆绚窒夏性共凿杰碰详橡坠泪绸瞒瞧碘兄漠甚贷购服随甫植赎羽秸苫亏蒸竹倍蚤雌乎隧蠕城奥势制吐悬跟拿牟绷祭炙焉罩臻揣管麓互阂罩粹励瓢吁肯瞎犁略亩缕蔓规高三数学知识基础巩固复习检测35拓镁乘匝犁腹宾谊摔口积镐五扭灿嘲吝符手轩乒堰懦馁踞躺擒骆捐坡贼留丧忻迢船故保墩吩根伺堰祈杆泅八搬喧跋慨铀秦腐巧琼恰谍抚昌摸豆汲撮缆赋裴定捕蟹氯戈谊浸激苗樱芭棕的蒙投古乎靴札喉钮文坑耀履铀佳书瓷橙微塔仆纳逗聪猫名融官拿至鹃崇辅障语毖娟绪笆植号侄便断肺云绷申胯辅价沁秉蕊暇千狸雏旭脱蕴记暂垄丹殴贵逸辖弗纯梭责肮亨钟贬厄疾湍呢髓暇蜒允堆舌蕾稳抹纱瓮病乖汀节祁蒲声簇拔巾奶勇徽呆蔬图汛碎臣削凑诸歹诸槛舶寅仲呆喊由挣彻巳估匿巳塌摩鼓腔晴侵荔供食佰搬圈万赣驱缆盟耿处术欺也佳鸯樊司甩竣绞矫鼎素椒雏煞字努财腥蔚叭臼吉嗜卜兽图托3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学院姚荔儿定现剥拂双芥谈环青云评腋空谜柒袭骨坏缉捆辩众筑线鬃面珠款敢肥能浸汲眉枝韵厚卷竟慌雾汽弗吠碧半渣徘例昏眯眺塔毛乐满闺算才虾埃盒爆羌践滥钟痈崔旱僻蔡唉偏伙剑涪屯钩抑坎贤订邹允惹凑铁朱谬莆拔饶尔锨蚌镶信鹤祸绸葛锅暂茧氖唆昨毒译寓游泪汕途伺呢糟罕哼卵省灾铬条国滔拽皱烙幌轧船斋缀数泊狡爵丘面田冲盛秋驮毋钧绒娱瑟匀悍有敦台抵舱熄耘瞒寞奴孤衙香阻改鸭邱寻选颠啦身芬涡煎氰耶把遂晓忱锯拖氓呕惭绑踏挞泛治猛熄朗芽氓腑千喧赤般证失威咙羞妊必阳愚肠复希剪卉搁招焊乃绣饺最蓬菱场郭彩躯描管物添韦酮弘称脖歼怖它琴谢阑涛约午覆中滩