高中数学选修2-1-空间向量与立体几何.doc

空间向量与立体几何
一、知识网络：
空间向量与立体几何
空间向量及其运算
立体几何中的向量方法
空间向量的加减运算
空间向量的数乘运算
空间向量的数量积运算
空间向量的坐标运算
共线向量定理
共面向量定理
空间向量基本定理
平行与垂直的条件

向量夹角与距离
直线的方向向量与平面的法向量
用空间向量证平行与垂直问题
求空间角
求空间距离

二．典例解析
题型1：空间向量的概念及性质
例1、有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）。 ①② ①③ ②③ ①②③
题型2：空间向量的基本运算
例2、如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）

例3、已知：且不共面.若∥,求的值.

例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD.
（三）强化巩固导练
1、已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，求x－y的值.

2、在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是 ( )。
A．-a＋b＋c B．a＋b＋c C．a-b＋c D．-a-b＋c
3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大是 。

第二课时 空间向量的坐标运算

（一）、基础知识过关
（二）典型题型探析
题型1：空间向量的坐标
例1、（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（　　）
A. ：||=：||　　　　　　　　　B.a1·b1=a2·b2=a3·b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0　　　　　　　　　　　　D.存在非零实数k，使=k
（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（　　）
A. －3或1　　　　　 B.3或－1　　　　　 C. －3　　　　　 D.1
（3）下列各组向量共面的是（　　）
A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)
B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)
C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)
D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)
例2、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.

题型2：数量积
例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2－）·=_____.
（2）设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。

题型3：空间向量的应用
例4、（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：++≤4。
（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。

（三）、强化巩固训练
1、(07天津理，4)设、、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①（·）－（·）= ②||－||<|－| ③（·）－（·）不与垂直
④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
2、已知为原点，向量∥，求．

第三课时 空间向量及其运算强化训练
（一） 、基础自测
1.有4个命题：
①若p=xa+yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p=xa+yb；
③若=x+y，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则=x+y.
其中真命题的个数是（ ）。A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列命题中是真命题的是( )。
A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量，满足||＞||，且与同向，则＞
D.若两个非零向量与满足+=0，则∥
3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，则 （ ）。
A.x=1,y=1 B.x=，y=-
C.x=，y=- D.x=-，y=
4.已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是 . 5.在四面体O-ABC中，=a,=b, =c,D为BC的中点,E为AD的中点，则= (用a,b,c表示).
（二）、典例探析
例1、如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，
=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，
试用a，b，c表示以下各向量：
（1）；（2）；（3）+.

例2、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N
分别是AB、CD的中点.
（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求MN的长；
（3）求异面直线AN与CM夹角的余弦值.

例3、 （1）求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程a·x=-18的向量x的坐标；
（2）已知A、B、C三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P的坐标使得=（-）；
（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a·b；②a与b夹角的余弦值；
③确定，的值使得a+b与z轴垂直，且（a+b）·（a+b）=53.

（三）、强化训练：如图所示，正四面体V—ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
（1）求证：AO、BO、CO两两垂直；
（2）求〈,〉.

补充：1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点，则·的值为（ C ）A.a2 B. C. D.
2、已知A（4，1，3），B（2，-5，1），C为线段AB上一点，且=，则C点的坐标为( C )
A. B. C. D.
3、如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两
两夹角为60°. (1)求AC1的长；（2）求BD1与AC夹角的余弦值.

立体几何中的向量方法
-------空间夹角和距离
（三）、基础巩固导练
1、在平行六面体ABCD—中，设，则x+y+z=（A ）
A. B. C. D.
2、在正方体ABCD—中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则异面直线OP与AM所成角的大小为（ C ）
A. B. C. D. 与P点位置无关
3、如图，正方体ABCD—中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为（ B ）

A. B. C. D.
4、 如图所示，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。

（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B－AC－E的大小；
（3）求点D到平面ACE的距离。10、（1）略（2） （3）

第二课时 用向量法求空间夹角
——热点考点题型探析
（一）热点考点题型探析
题型1：异面直线所成的角
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
E
x
y
z
例1、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点。
求：D1E与平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示）

题型2：直线与平面所成的角
E
F
O
例2、（09年高考试题）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用余弦值表示）；

题型3：二面角
例3、（08年高考）在四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，E为BC中点。
（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小（用正切值表示）；
（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

第三课时 用向量法求空间的距离
A
B
C
D
O
S

图2
（一）热点考点题型探析
题型1：异面直线间的距离
例1、如图2，正四棱锥的高，
底边长。求异面直线和
之间的距离？

题型2：点面距离
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｇ
ＥＥ
Ｅ
ＦＥ
Ｏ
Ｈ
例2、如图，已知ＡＢＣＤ为边长是４的正方形，
Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于Ａ
ＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求点Ｂ到
平面ＥＦＧ的距离。

B
A
C
D

题型6：线面距离
例3、已知正三棱柱的底面边长为8，
对角线，D是AC的中点。（1）求点到
直线AC的距离。（2）求直线到平面的距离。

例4、如图，已知边长为的正三角形中， 、分别为和的中点，面，且，设平面过且与平行。 求与平面间的距离？

（二）、强化巩固训练
长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；
（3）M到平面AB1P的距离。

立体几何空间向量知识点总结
知识网络：

【典型例题】
例1. 已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心。求证：E、F、G、H四点共面。

例2. 如图所示，在平行六面体中，，，，P是CA'的中点，M是CD'的中点，N是C'D'的中点，点Q是CA'上的点，且CQ：QA'=4：1，用基底表示以下向量：
（1）；（2）；（3）；（4）。

例3. 已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC。M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点。求证：OG⊥BC。

例4. 已知空间三点A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）。
（1）求以为邻边的平行四边形面积；
（2）若，且垂直，求向量的坐标。
解：（1）由题中条件可知

∴
∴以为邻边的平行四边形面积：

（2）设由题意得

解得
∴

第二讲 直线的方向向量、平面的法向量及其应用
一、直线的方向向量及其应用
1、直线的方向向量
直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．
2、直线方向向量的应用
利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．
（1）若有直线l, 点A是直线l上一点，向量是l的方向向量，在直线l上取，则对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得，这样，点A和向量不仅可以确定l的位置，还可具体表示出l上的任意点．
（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是和，P为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得，这样，点O与方向向量、不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．

二、平面的法向量
1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．
2、在空间中，给定一个点A和一个向量，那么以向量为法向量且经过点A的平面是唯一确定的．

三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用
1、若两直线l1、l2的方向向量分别是、，则有l1// l2//，l1⊥l2⊥．
2、若两平面α、β的法向量分别是、，则有α//β//，α⊥β⊥．
若直线l的方向向量是，平面的法向量是，则有l//α⊥，l⊥α//

四、平面法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
1、设出平面的法向量为．
2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标
3、根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组
4、解方程组，取其中一个解，即得法向量

五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系
（一）用向量方法证明空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．
1、线线平行
设直线l1、l2的方向向量分别是、，则要证明l1// l2，只需证明//，即
2、线面平行
（1）设直线l的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即.
（2）根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
（3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
3、面面平行
（1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．
（2）若能求出平面α、β的法向量、，则要证明α//β，只需证明//
（二）用向量方法证明空间中的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．
1、线线垂直
设直线l1、l2的方向向量分别是、，则要证明l1⊥ l2，只需证明⊥，即
2、线面垂直
（1）设直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则要证l⊥α，只需证明//
（2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．
3、面面垂直
（1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．
（2）证明两个平面的法向量互相垂直．

六、用向量方法求空间的角
（一）两条异面直线所成的角
1、定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点O作直线，则与所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．
2、范围：两异面直线所成角θ的取值范围是
3、向量求法：设直线a、b的方向向量为、，其夹角为，则有
4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
（二）直线与平面所成的角
1、定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．
2、范围：直线和平面所成角θ的取值范围是
3、向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为，则有
（三）二面角
1、二面角的取值范围：
2、二面角的向量求法
（1）若AB、CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角（如图（a）所示）．
（2）设、是二面角的两个角α、β的法向量，则向量与的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b）所示）．

七、用向量的方法求空间的距离
（一）点面距离的求法
如图（a）所示，BO⊥平面α，垂足为O，则点B到平面α的距离就是线段BO的长度．若AB是平面α的任一条斜线段，则在Rt△BOA中，cos∠ABO=
。如果令平面α的法向量为，考虑到法向量的方向，可以得到B点到平面α的距离为。

因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：
1、求出该平面的一个法向量．
2、找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量．
3、求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
由于可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即．
另外，等积法也是点到面距离的常用求法．
（二）线面距、面面距均可转化为点面距离用求点面距的方法进行求解。
（三）两异面直线距离的求法
如图（b）所示，设l1、l2是两条异面直线，是l1与l2的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是l1、l2上的任意两点，则l1与l2的距离是。

【典型例题】
例1. 设分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系。
（1）=（2，3，－1），=（－6，－9，3）；
（2）=（5，0，2），=（0，4，0）；
（3）=（－2，1，4），=（6，3，3）
解：（1）∵，=（－6，－9，3）
∴，∴，∴l1//l2
（2）∵=（5，0，2），=（0，4，0）
∴，∴，∴l1⊥l2
（3）∵（－2，1，4，），=（6，3，3）
∴不共线，也不垂直
∴l1与l2的位置关系是相交或异面

例2. 设分别是平面α、β的法向量，根据下列条件判断α、β的位置关系：
（1）=（1，－1，2），=（3，2，）；
（2）=（0，3，0），=（0，－5，0）；
（3）=（2，－3，4），=（4，－2，1）。
解：（1）∵=（1，－1，2），=（3，2，）
∴ ∴α⊥β
（2）∵=（0，3，0），=（0，－5，0）
∴
（3）∵=（2，－3，4），=（4，－2，1）
∴既不共线、也不垂直，∴α与β相交
点评：应熟练掌握利用向量共线、垂直的条件。

例3. 已知点A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），求平面ABC的一个单位法向量。
解：由于A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），∴=（－3，4，0），=（－3，0，5）
设平面ABC的法向量为（x，y，z）
则有
即 取z=1，得，
于是=（），又
∴平面α的单位法向量是

例4. 若直线l的方向向量是=（1，2，2），平面α的法向量是=（－1，3，0），试求直线l与平面α所成角的余弦值。
分析：如图所示，直线l与平面α所成的角就是直线l与它在平面内的射影所成的角，即∠ABO，而在Rt△ABO中，∠ABO=∠BAO，又∠BAO可以看作是直线l与平面α的垂线所成的锐角，这样∠BAO就与直线l的方向向量a与平面α的法向量n的夹角建立了联系，故可借助向量的运算求出∠BAO，从而求出∠ABO，得到直线与平面所成的角。

解：∵=（1，2，2，），=（－1，3，0）
∴，，
∴
若设直线l与平面α所成的角是θ
则有
∵
∴
因此，即直线l与平面α所成角的余弦值等于。
例5. 如图（a）所示，在正方体中，M、N分别是、的中点。
求证：（1）MN//平面；
（2）平面。

（1）证法一：如图（b）所示，以D为原点，DA、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M（0，1，），N（，1，1，），D（0，0，0），（1，0，1），B（1，1，0），于是=（，0，）。
设平面的法向量是（x，y，z）
则，得
取x=1，得，，=（1，－1，－1）
又=（，0，）·（1，－1，－1）=0，∴
∴MN//平面
证法二：∵
∴，∴
证法三：∵

即线性表示，故是共面向量
∴//平面A1BD，即MN//平面A1BD。
（2）证明：由（1）求得平面的法向量为=（1，－1，－1）
同理可求平面B1D1C的法向量=（1，－1，－1）
∴
∴平面A1BD//平面B1D1C

例6. 如图，在正方体中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点。求证：A1O⊥平面GBD。

证明：设，则

而

∴

同理
∴，
又，∴面GBD。
例7. （2004年天津）如图（a）所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。
（1）证明：PA//平面EDB；
（2）求EB与底面ABCD所成角的正切值。

（1）证明：如图（b）所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点

设DC=a，连结AC，AC交BD于G，连结EG
依题意得A（a，0，0），P（0，0，a），E（0，，）
∵底面ABCD是正方形
∴G是此正方形的中心
故点G的坐标为（，，0）
∴=（a，0，－a），=（，0，）
∴，这表明PA//EG
而EG平面EDB，且PA平面EDB
∴PA//平面EDB
（2）解：依题意得B（a，a，0），C（0，a，0）
如图（b）取DC的中点F（0，，0），连结EF、BF
∵=（0，0， ），=（a，，0），=（0，a，0）
∴，
∴FE⊥FB，FE⊥DC。
∴tan∠EBF
∴EB与底面ABCD所成角的正切值为

例8. 正方体中，E、F分别是、的中点，求：
（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；
（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。
解：不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）
（1）由=（－1，0，2），=（1，－1，2），得，
∴=－1＋0＋4=3
又
∴，∴所求值为

（2）∵=（0，1，0）
∴=（－1，0，2）·（0，1，0）=0
∴AE⊥EF，过C作CM⊥AE于M
则二面角C—AE—F的大小等于
∵M在AE上，∴
则=（－m，0，2m），=（－2，2，0）－（－m，0，2m）=（m－2，2，－2m）
∵MC⊥AE
∴=（m－2，2，－2m）·（－1，0，2）=0
∴，∴，
∴=（0，1，0）·（，2，）=0＋2＋0=2
又
∴
∴二面角C—AE—F的余弦值的大小为
例9. 已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，H是EF与AC的交点，CG⊥面ABCD，且CG=2。求BD到面EFG的距离。
分析：因BD//平面EFG，故O到面EFG与BD到面EFG距离相等，证明OM垂直于面EFG即可。
解：如图所示，分别以CD、CB、CG所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系。

易证BD//面EFG，设=O，EF⊥面CGH，O到面EFG的距离等于BD到面EFG的距离，过O作OM⊥HG于M，易证OM⊥面EFG，可知OM为所求距离。另易知H（3，3，0），G（0，0，2），O（2，2，0）。
设，=（3，3，－2）
则
又，∴
∴，∴
∴
即BD到平面EFG的距离等于

【励志故事】
习惯
父子俩住山上，每天都要赶牛车下山卖柴。老父较有经验，坐镇驾车，山路崎岖，弯道特多，儿子眼神较好，总是在要转弯时提醒道：“爹，转弯啦！”
有一次父亲因病没有下山，儿子一人驾车。到了弯道，牛怎么也不肯转弯，儿子用尽各种方法，下车又推又拉，用青草诱之，牛一动不动。
到底是怎么回事？儿子百思不得其解。最后只有一个办法了，他左右看看无人，贴近牛的耳朵大声叫道：“爹，转弯啦！”
牛应声而动。
牛用条件反射的方式活着，而人则以习惯生活。一个成功的人晓得如何培养好的习惯来代替坏的习惯，当好的习惯积累多了，自然会有一个好的人生。
空间向量与立体几何
知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

;;
运算律：⑴加法交换律：
⑵加法结合律：
⑶数乘分配律：

3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。
当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。

4. 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。

6. 空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。
（3）空间向量的直角坐标运算律：
①若，，则，
，，
，
，
。
②若，，则。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（4）模长公式：若，，
则，
（5）夹角公式：。
（6）两点间的距离公式：若，，
则，
或

7. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。
（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。
（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。
（4）空间向量数量积的性质：
①。②。③。
（5）空间向量数量积运算律：
①。②（交换律）。
③（分配律）。

【典型例题】
例1. 已知平行六面体ABCD－，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。
⑴； ⑵；
⑶； ⑷。

例2. 对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式：
（其中）的四点是否共面？

例3. 已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量。

例4. 如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。

说明：由图形知向量的夹角易出错，如易错写成，切记！
例5. 长方体中，，为与的交点，为与的交点，又，求长方体的高。

【模拟试题】
1. 已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）；
（2）； （3）。

2. 已知平行四边形ABCD，从平面外一点引向量。
。
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面。
3. 如图正方体中，，求与所成角的余弦。

4. 已知空间三点A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）。
⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；
⑵若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标。

5. 已知平行六面体中，
，
，求的长。
[参考答案]
1. 解：如图，

（1）；
（2）。
；
（3）。
2. 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，

∴共面；
（2）解：∵，又∵，
∴。
所以，平面平面。
3.

解：不妨设正方体棱长为，建立空间直角坐标系，
则，，， ，
∴，，
∴，
。
。
4. 分析：⑴
∴∠BAC＝60°，
⑵设＝（x，y，z），则

解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝（1，1，1）或＝（－1，－1，－1）。
5. 解：

所以，。

专题四：立体几何
第三讲 空间向量与立体几何
【最新考纲透析】
1．空间向量及其运算
（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
2．空间向量的应用
（1）理解直线的方向向量与平面的法向量。
（2）能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的垂直、平行关系。
（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。
（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。
【核心要点突破】
要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系
考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。
2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。
考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。
2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。
例1：（2010·安徽高考理科·Ｔ18）如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点。
(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面；
(3)求二面角的大小。
【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。
【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。
【规范解答】

A
E
F
B
C
D
H
G
X
Y
Z

(1)

(2)
(3)

【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；
2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；
3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。
4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。
要点考向2：利用空间向量求线线角、线面角
考情聚焦：1．线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。
2．在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。
考向链接：1．利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为:
（1）异面直线所成角
设分别为异面直线的方向向量，则
（2）线面角
设是直线的方向向量，是平面的法向量，则
2．运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：
（1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。
例2：（2010·辽宁高考理科·Ｔ19）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。
【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标，
计算的数量积，写出答案；
求平面CMN的法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。
【规范解答】
设PA＝1，以A为原点，射线AB、AC、AP分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图。
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, )，N(,0,0)，S(1,,0)
（I）

【方法技巧】（1）空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。
（2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。
（3）线面角的范围是0°～90°，因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，要取绝对值。
要点考向3：利用空间向量求二面角
考情聚焦：1．二面角是高考命题的重点内容，是年年必考的知识点。
2．常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。
考向链接：求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。
其计算公式为：设分别为平面的法向量，则与互补或相等，

例3：（2010·天津高考理科·Ｔ１9）
如图，在长方体中，、分别是棱,
上的点，,
求异面直线与所成角的余弦值；
证明平面
求二面角的正弦值。
【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。
【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题。
【规范解答】方法一：以A为坐标原点，AB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴建立空间直角坐标系（如图所示），设,依题意得,,,

易得,，于是，
所以异面直线与所成角的余弦值为。
证明：已知,,
于是·=0，·=0.因此，,,又
所以平面
(3)解：设平面的法向量，则,即