人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何练习题及答案.doc

第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
§3.1.1空间向量及其加减运算
§3.1.2空间向量的数乘运算
1. 下列命题中不正确的命题个数是( )
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有++ +=；
②对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面；
③若、共线，则与所在直线平行。
A.1 B.2 C.3 D.4
2.设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若 =x+y+z，则（x，y，z）为( )
A.（，，） B.（，，） C.（，，） D.（，，）
3．在平行六面体ABCD－EFGH中，，
4.已知四边形ABCD中，=－2，=5+6－8，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则=_____________.
_
C
_
D
_
A
_
P
_

_
B
_
M
5.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分成定比2，N分成定比1，求满足的实数x、y、z的值.

§3.1.3空间向量的数量积运算
1.已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直线与所形成角的余弦值为( )

A. B. C. D.
2．如图，设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD的形状是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形

D．不确定的
3．已知ABCD－A1B1C1D1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．

4．如图，已知：平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°
（1）证明：C1C⊥BD；
（2）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．
§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
§3.1.5空间向量运算的坐标表示
1．已知向量，，且平行四边形OACB的对角线的中点坐标为M，则( )
A． B． C． D．
2．已知，，，则向量( )
A．可构成直角三角形 B．可构成锐角三角形
C．可构成钝角三角形 D．不能构成三角形
3．若两点的坐标是A（3cosα，3sinα，1），B（2cosθ，2sinθ，1），则||的取值范围是( )
A．[0，5] B．[1，5] C．（1，5） D．[1，25]

C1 B1
A1

B
A

4.设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）确定的平面上，则a的值为 .
5.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a，侧棱长为a.建立适当的坐标系，⑴写出A，B，A1，B1的坐标；⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角.

3.2立体几何中的向量方法

1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( )
A．
B．
C．
D．
D1
C1
B1
A1
D
A
B
C
C
2. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为( )
A．
B．
C．
D．
3. 已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知.
（1）求证：平面；
（2）求到平面的距离；
（3）求二面角余弦值的大小.

B
C
B
A
C1
B1
A1
4. 如图，在直三棱柱中， AB=1，，∠ABC=60°.
(1)证明：；
（2）求二面角A——B的大小.

_
C
_
D
_
A
_
S
_
F
_
B
5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，
使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；
若不存在，试说明理由.
参考答案
第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
§3.1.1空间向量及其加减运算
§3.1.2空间向量的数乘运算
1.A 2.A 3. 4.3+3－5
5.
_
C
_
D
_
A
_
P
_

_
B
_
M
_
E
如图所示，取PC的中点E，连结NE，则.
∵=，
=，
连结AC，则

∴
=，
∴.
§3.1.3空间向量的数量积运算
1.C 2.B 3. ③④ 4.（1）设，则，，所以，；
（2），
，，
设，，，

z C1 B1
A1 M

B y
A
x

令，则，解得，或（舍去），

§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示
1.A 2.D 3.B 4.16
5. （1）建系如图，则A（0，0，0） B（0，a，0）
A1（0，0，a)，C1（-a，)
(2)解法一：在所建的坐标系中，取A1B1的中点M，
于是M（0，），连结AM，MC1
则有
，，
∴，，
所以，MC1⊥平面ABB1A1.
因此，AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.
，，
，而|，
由cos<>=， <>=30°.
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
3.2立体几何中的向量方法 新 课 标 第 一网
1.A 2.C 3.
（1）如右图，取的中点，则，因为，
所以，又平面，
以为轴建立空间坐标系，
则，，，
，，
，，
，由，知，
又，从而平面.
（2）由，得.
设平面的法向量为，，，所以
，设，则，
所以点到平面的距离.
（3）再设平面的法向量为，，，
所以
，设，则，
故，根据法向量的方向，
可知二面角的余弦值大小为.
4.（1）三棱柱为直三棱柱，
，
，，
由正弦定理.
.
如右图，建立空间直角坐标系，
则
，
，
.
(2) 如图可取为平面的法向量，
设平面的法向量为，
则，
.
不妨取，
.
_
C
_
D
_
A
_
S
_
F
_
B
O
.
5. （1）连结，设交于于，
由题意知.以O为坐标原点，
分别为轴、轴、轴正方向，

建立坐标系如右图.
设底面边长为，则高.于是 ， ，，， ，故.从而 .
(2)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则，得所求二面角的大小为30°.
（3）在棱上存在一点使.由（2）知是平面的一个法向量，且 .
设 则，而 .即当时，.而不在平面内，故.
作 者 于华东
责任编辑 庞保军