2021-2022学年高中数学-1-空间向量与立体几何-1.4.2-第2课时-用空间向量研究夹角问题.doc

2021-2022学年高中数学 1 空间向量与立体几何 1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题课后素养落实新人教A版选择性必修第一册2021-2022学年高中数学 1 空间向量与立体几何 1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题课后素养落实新人教A版选择性必修第一册年级：姓名：课后素养落实(十)用空间向量研究夹角问题(建议用时：40分钟)一、选择题1若平面的一个法向量为n1(1,0,1)，平面的一个法向量是n2(3,1,3)，则平面与所成的角等于()A30B45C60D90D因为n1n2(1,0,1)(3,1,3)0，所以，即平面与所成的角等于90.2已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()ABCDA(2，2，1)，(2，3，3)，而cos，故直线AB和CD所成角的余弦值为.3如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，AA13，ABACBC2，则AA1与平面AB1C1所成角的大小为()A30B45 C60D90A取AB的中点D，连接CD，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，可得A(1,0,0)，A1(1,0,3)，故(0,0,3)，而B1(1,0,3)，C1(0，3)，设平面AB1C1的法向量为m(a，b，c)，根据m0，m0，解得m(3，2)，cosm，.故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30，故选A4已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，若PAAB，则平面PAB与平面PCD的夹角为()A30B45 C60D90B如图所示，建立空间直角坐标系设PAAB1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，(0,1,0)取PD的中点E，则E， 易知是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量，所以cos，故平面PAB与平面PCD的夹角为45.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为()AB CDA如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为2，则M(1,0,0)，N(0,1,2)，O(1,2,1)，D1(0,0,2)，(1,1,2)，(1，2,1)则cos，.异面直线MN与OD1所成角的余弦值为，故选A二、填空题6在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)和(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为_由，知这个二面角的余弦值为.7在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图设AA12AB2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则n，nDC1，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设直线CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.8在空间中，已知平面过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0，a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为45，则a_.平面xOy的一个法向量为n(0,0,1)设平面的法向量为u(x，y，z)，又(3,4,0)，(3,0，a)，则即即3x4yaz，取z1，则u.而cosn，u，又a0，a.三、解答题9.如图所示，在四面体ABCD中，CACBCDBD2，ABAD.求异面直线AB与CD所成角的余弦值解取BD的中点O，连接OA，OC由题意知OA，OC，BD两两垂直以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，(1,0,1)，(1，0)，cos，.异面直线AB与CD所成角的余弦值为.10四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上(1)求证：平面AEC平面PDB；(2)当PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小解(1)证明：如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设ABa，PDh，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，(a，a,0)，(0,0，h)，(a，a,0)，0，0，ACDP，ACDB，又DPDBD，DP，DB平面PDB，AC平面PDB，又AC平面AEC，平面AEC平面PDB(2)当PDAB且E为PB的中点时，P(0,0，a)，E，设ACBDO，O，连接OE，由(1)知AC平面PDB，AEO为AE与平面PDB所成的角，cosAEO，AEO45，即AE与平面PDB所成角的大小为45.1.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为()ABCDA不妨设CACC12CB2，所以以C为原点CA、CC1，CB为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，所以A(2,0,0)，C(0,0,0)，B(0,0,1)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，则(2,2,1)，(0，2,1)，所以cos，.所以所求角的余弦值为.2已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长相等，ABC60，则直线BC1与平面ABB1A1所成角的余弦值等于()AB CDB直四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长相等，ABC60，取BC中点E，以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB2，则B(，1,0)，C1(，1,2)，A(0,0,0)，A1(0,0,2)，(0,2,2)，(，1,0)，(0,0,2)，设平面ABB1A1的法向量n(x，y，z)，则取x1，得n(1，0)，设直线BC1与平面ABB1A1所成角为，则sin ，cos ，直线BC1与平面ABB1A1所成角的余弦值等于，故选B3已知菱形ABCD中，ABC60，沿对角线AC折叠之后，使得平面BAC平面DAC，则平面BCD与平面CDA夹角的余弦值为_如图，取AC的中点E，分别以EA，ED，EB为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设菱形ABCD的边长为2，则A(1,0,0)，C(1,0,0)，D(0，0)，B(0,0，)设平面BCD的法向量为n(x，y，z)，(1,0，)，(0，)，令z，则y，x3，即n(3，)平面ACD的法向量为m(0,0,1)，设平面BCD与平面CDA夹角为，则cos .4.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACAA12BC2，D为AA1上一点若二面角B1DCC1的大小为30，则AD的长为_如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0,0,0)，B1(0,1,2)，B(0,1,0)，(0,1,2)，(0,1,0)设ADa(0a2)，则点D的坐标为(2,0，a)，(2,0，a)设平面B1CD的法向量为m(x，y，z)，则令z1，得m.又平面C1DC的一个法向量为(0,1,0)，记为n，则由cos 30，解得a(负值舍去)，故AD.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD，BC2，PA2.(1)取PC的中点N，求证：DN平面PAB；(2)求直线AC与PD所成角的余弦值；(3)在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由解(1)证明：取BC的中点E，连接DE，交AC于点O，连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B(2，1,0)，C(0,1,0)，D(1,0,0)，P(0，1,2)点N为PC的中点，N(0,0,1)，(1,0,1)设平面PAB的一个法向量为n(x，y，z)，由(0,0,2)，(2,0,0)，可得n(0,1,0)，n0.又DN平面PAB，DN平面PAB(2)由(1)知(0,2,0)，(1,1，2)设直线AC与PD所成的角为，则cos .(3)存在设M(x，y，z)，且，01，M(，1,22)设平面ACM的一个法向量为m(x，y，z)，由(0,2,0)，(，22)，可得m(22，0，)，由图知平面ACD的一个法向量为n(0,0,1)，|cosm，n|，解得或2(舍去)M，m.设BM与平面MAC所成的角为，则sin |cos，m|，30.故存在点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45，此时BM与平面MAC所成的角为30.