2021-2022学年高中数学-第1章-空间向量与立体几何-1.1-1.1.1-空间向量及其线性运算.doc

2021-2022学年高中数学 第1章 空间向量与立体几何 1.1 1.1.1 空间向量及其线性运算学案 新人教A版选择性必修第一册

2021-2022学年高中数学 第1章 空间向量与立体几何 1.1 1.1.1 空间向量及其线性运算学案 新人教A版选择性必修第一册

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1.1　空间向量及其运算
1.1.1　空间向量及其线性运算
学 习 任 务
核 心 素 养
1.理解空间向量及相关概念．(重点)
2.掌握空间向量的线性运算．(重点)
3.掌握共线向量定理、共面向量定理及其推论的应用．(重点、难点)
1.通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养.
2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升直观想象和逻辑推理素养.

回忆平面向量的有关概念与约定，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，请说明理由．
知识点1　空间向量及相关概念
(1)空间向量的定义及表示
定义
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量
长度或模
空间向量的大小叫做空间向量的长度或模
表示方法
几何表示
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模
符号表示
空间向量常用一个小写字母表示．如：向量a，b，c…，其模分别记为|a|，|b|，|c|…
空间向量也可以用有向线段表示．如图所示，向量a也可记作，其模记为|a|或||
(2)几类常见的空间向量
名称
方向
模
记法
零向量
任意
0
0
单位向量

1

相反向量
相反
相等
a的相反向量：－a；
的相反向量：
相等向量
相同
相等
a＝b
1.若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，那么它们的起点、终点也相同吗？
[提示]　起点、终点未必相同．
单位向量、零向量都只规定了向量的模而没有规定方向．需注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与向量的长度相等． (　　)
(2)零向量没有方向． (　　)
[提示]　(1)√　对于任意向量和，都有||＝||成立．
(2)×　零向量有方向，它的方向是任意的．

回忆平面向量的加法、减法与数乘运算，思考如何定义空间向量的加法、减法与数乘运算，并尝试总结空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有何不同．
知识点2　空间向量的线性运算
空间向量的线性运算
加法
a＋b＝＋＝

减法
a－b＝－＝
数乘
当λ>0时，λa＝λ＝；
当λ<0时，λa＝λ＝；
当λ＝0时，λa＝0

运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
2.由λa＝0，可否得出λ＝0?
[提示]　不能．λa＝0⇔λ＝0或a＝0.
2.(1)已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A．a＋b－c　　　 B．c－a－b
C．c＋a－b D．c＋a＋b
(2)化简＋－＝________.
(1)B　(2)0　[(1)＝＋＋＝－b－a＋c＝c－a－b，故选B．
(2)＋－＝＋＝0.]
知识点3　共线向量
(1)定义：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
(3)共线向量定理：对于任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 a＝λb.
3.怎样利用向量共线定理证明空间A，B，C三点共线？
[提示]　只需证明向量，(不唯一)共线即可．
向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据．但必须注意在向量a(或b)所在直线上至少有一点不在b(或a)所在的直线上．
3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∥b，b∥c，则a∥c. (　　)
(2)若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a＝λb. (　　)
(3)若＝，则A，B，C三点共线． (　　)
[提示]　(1)×　当b＝0时，a∥c不一定成立．
(2)×　当a是非零向量，b＝0时，不存在实数λ，使得a＝λb.
(3)√　由＝知∥，且有公共点B，此时A，B，C三点共线．
知识点4　共面向量和共面向量定理
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y), 使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.
4.(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？
(2)设空间五点O，A，B，C，P，满足＝x＋y＋z，若x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点是否共面？
[提示]　(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．
(2)由x＋y＋z＝1，得＝x＋y＋z
＝(1－y－z)＋y＋z
＝＋y(－)＋z(－)，
即－＝y＋z，
即＝y＋z，
所以P，A，B，C四点共面．
共面向量定理可作为判定三条直线共面的依据，但要注意应用共面向量定理判定三条直线共面时，还需要其中一条直线上有一点在另外两条直线所确定的平面内．
4.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．
(　　)
(2)若点P，M，A，B四点共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y. (　　)
(3)对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是共面向量． (　　)
[提示]　(1)×　三条直线不一定在同一平面内．
(2)×　当与共线，与不共线时，x，y不存在．
(3)√　由2a－b＝2·a＋(－1)·b得2a－b与a，b共面．

类型1　空间向量的有关概念及简单应用
【例1】　给出下列结论：
①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等；
⑤在如图1所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有＝；

图1　　　　　　图2
⑥如图2所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′的所有棱对应的向量中，与相等的向量有3个．
其中正确的是________．(填序号)
③⑤⑥　[当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量不一定起点相同，终点也相同，故①错误；
要保证两向量相等，则需模相等且方向相同，要保证两向量是相反向量，则需模相等且方向相反，但②中仅给出向量a与向量b的模相等，所以这两个向量不一定为相等向量或相反向量，故②错误；
命题③是相等向量的传递性，显然正确；
空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故④错误；
在正方体ABCD­A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，所以＝，故⑤正确；
在平行六面体ABCD­A′B′C′D′的所有棱对应的向量中，与相等的向量分别为，，，故⑥正确．]

解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．
(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．

[跟进训练]
1.如图所示，以长方体ABCD­A1B1C1D1的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中：

(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
[解]　(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个．
(2)向量的相反向量为，，，.
(3)||＝＝＝＝3.
类型2　空间向量的线性运算
【例2】　(1)(多选题)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量的是(　　)
A．－－ B．＋－
C．－＋ D．－＋
(2)已知正四棱锥P­ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．
①＝＋y＋z；
②＝x＋y＋.
(1)CD　[－－＝－＝，A错；
＋－＝＋－＝＋＝，B错；
－＋＝＋＝，C对；
－＋＝－＋＝，D对．故选CD．]
(2)[解]　①如图，∵＝－＝－(＋)
＝－－，
∴y＝z＝－.
②法一：如图，＝＋＝＋2
＝＋2(－)
＝＋2－2
∴x＝2，y＝－2.
法二：由＝x＋y＋得
－＝x＋y，即＝x＋y
又＝2＝2(－)＝2－2
∴x＝2，y＝－2.

1．空间向量加法、减法运算的2个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．

[跟进训练]
2．在空间四边形ABCD中， G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式．
(1)＋＋；
(2)(＋－)．
[解]　(1)因为G是△BCD的重心，所以||＝||，
所以＝，又因为＝，
所以由向量的加法法则，可知＋＋＝＋＋＝＋＝.
从而＋＋＝.
(2)法一：由＋＝2，＝得
(＋－)＝－＝.
法二：如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，

连接PH，QH，
则四边形APHQ为平行四边形，
且有＝，＝，
而＋＝，＝，
所以(＋－)＝＋－＝－＝.
类型3　空间向量共线问题
【例3】　(1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.
(2)如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．

(1)1　[＝＋＋＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2.
设＝λ，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，
所以解得k＝1.]
(2)[证明]　∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
则＝－＝－＝
＝(－)＝＝(C－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形．

证明空间三点共线有哪些方法？
[提示]　对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．
(1)存在实数λ，使＝λ成立．
(2)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．

[跟进训练]
3．(1)已知空间中三个不共面的向量m，n，p，若a＝3m－2n－4p，b＝(x＋1)m＋yn＋2p，且a∥b，则x＝________，y＝________.
(2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.

求证：E，F，B三点共线．
(1)－　1　[由a∥b得，b＝λa(λ∈R)，
即(x＋1)m＋yn＋2p＝3λm－2λn－4λp.
因为向量m，n，p不共面．所以
解得]
(2)[证明]　设＝a，＝b，＝c，
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c，所以＝－＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，因为EF，EB有公共点E，所以E，F，B三点共线．
类型4　向量共面问题
【例4】　(对接教材P5例题)如图所示，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，在AC1上和BC上分别有一点M和N，且＝k，＝k，其中0≤k≤1.求证：，a，c共面．

如何判断空间中的三个向量是否共面？

[证明]　因为＝k＝kb＋kc，
＝＋＝a＋k
＝a＋k(－a＋b)
＝(1－k)a＋kb，
所以＝－＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc.
由共面向量定理可知，，a，c共面．

解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．

[跟进训练]
4．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断M是否在平面ABC内．
[解]　(1)∵＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋＝－－，
∴向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．

1．下列关于空间向量的命题中，正确的命题是(　　)
A．任一向量与它的相反向量都不相等
B．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
C．平行且模相等的两个向量是相等向量
D．若a≠b，则|a|≠|b|
B　[对于A，零向量与它的相反向量相等，故A错．
对于B，根据相等向量的定义知，B正确．
对于C，两向量平行，方向不一定相同，故C错．
对于D，a≠b，但可能两个向量的模相等而方向不同，故D错．因此选B．]
2.(多选题)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有(　　)

A．(＋)＋
B．(＋)＋
C．(＋)＋
D．(＋)＋
ABCD　[对于A，(＋)＋＝＋＝；对于B，(＋)＋＝＋＝；
对于C，(＋)＋＝＋＝；
对于D，(＋)＋＝＋＝.故选ABCD．]
3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D　　　　　 B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
A　[因为＋＝＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，所以A，B，D三点共线．]
4．已知点P和不共线的三点A，B，C四点共面且对于空间任意一点O，都有＝2＋＋λ，则λ＝________.
－2　[对于空间不共线的三点A，B，C和点P，若四点共面，则对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1，∴2＋1＋λ＝1，∴λ＝－2.]
5．已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于________．
　[若向量a，b，c共面，则存在x，y∈R，使得a＝xb＋yc，
∴2i－j＋3k＝x(－i＋4j－2k)＋y(7i＋5j＋λk)，
∴解得λ＝.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)平面向量的有关概念与约定推广到空间中后得到相应空间向量的有关概念与约定，它们有什么不同之处？
[提示]　适用范围不同，一个在平面内，一个在空间中．
(2)向量a与b共线，则一定存在λ使得a＝λb成立吗？
[提示]　当b＝0时，不一定存在λ值．
(3)共面向量定理是如何得到的？试叙述共面向量定理．
[提示]　根据平面向量基本定理得到共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(4)你是如何证明点P，A，B，C四点共面的？
[提示]　可转化为证明向量，，共面．