2021-2022学年高中数学-第1章-空间向量与立体几何-1.3-1.3.2-空间向量运算的坐标表.doc

2021-2022学年高中数学 第1章 空间向量与立体几何 1.3 1.3.2 空间向量运算的坐标表示学案 新人教A版选择性必修第一册

2021-2022学年高中数学 第1章 空间向量与立体几何 1.3 1.3.2 空间向量运算的坐标表示学案 新人教A版选择性必修第一册

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1.3.2　空间向量运算的坐标表示
学 习 任 务
核 心 素 养
1.掌握空间向量运算的坐标表示，并据此会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)
2.掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点)
1.通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养数学运算素养.
2.借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升数学运算及逻辑推理素养.

平面向量运算的坐标表示：
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)，
a·b＝a1b1＋a2b2.
你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？
知识点1　空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算
坐标表示
加法
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
1.空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？
[提示]　空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的．
1.已知空间向量m＝(1，－3,5)，n＝(－2,2，－4)，则m＋n＝________，3m－n＝________，(2m)·(－3n)＝________.
(－1，－1,1)　(5，－11,19)　168　[m＋n＝(1，－3,5)＋(－2,2，－4)＝(－1，－1,1)；
3m－n＝3(1，－3,5)－(－2,2，－4)＝(3，－9,15)－(－2,2，－4)＝(5，－11,19)；
(2m)·(－3n)＝(2，－6,10)·(6，－6,12)＝2×6＋(－6)×(－6)＋10×12＝168.]
知识点2　空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b)
a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔
垂直(a⊥b)
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)
模
|a|＝＝
夹角公式
cos〈a，b〉＝＝
2.若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b一定有＝＝成立吗？
[提示]　当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立．
2.已知a＝(1,0,1)，b＝(2，－2,0)，则〈a，b〉＝_______.
60°　[因为a·b＝1×2＋0×(－2)＋1×0＝2，
|a|＝＝，
|b|＝＝2，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
因此〈a，b〉＝60°.]
知识点3　向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；
(2)dAB＝||＝.
3.已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？
[提示]　OA＝||＝.
3.若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则＝__________，||＝________.
(1，－1，－1)　　[＝(1，－1，－1)，||＝＝.]

类型1　空间向量的坐标运算
【例1】　(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________.
(2)已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P的坐标，使＝(－)．
(1)2　[c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2.]
(2)[解]　＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)，
∴－＝(6,3，－4)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)，
∵(－)＝＝，
∴x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为.

进行空间向量的数量积坐标运算的技巧
利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧．
(1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等．
(2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可以求出2a，－b后，再求数量积；计算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算．

[跟进训练]
1．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝________，b＝________，a·b＝________.
(1，，)　(1,0，)　4　[∵a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，
∴2a＝(2,2，2)，2b＝(2,0,2)，
∴a＝(1，，)，b＝(1,0，)，
∴a·b＝1×1＋×0＋×＝4.]
类型2　利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题
【例2】　(1)已知a＝(3,2λ－1,1)，b＝(μ＋1,0,2μ)．
若a⊥b，则μ＝________；
若a∥b，则λ＋μ＝________.
(2)(对接教材P20例题)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点．求证：
①AB1∥GE，AB1⊥EH；
②A1G⊥平面EFD．
(1)－　　[由a⊥b，得a·b＝3(μ＋1)＋2μ＝0，
解得μ＝－.由a∥b，得＝，且2λ－1＝0，解得μ＝，λ＝，所以λ＋μ＝.]
(2)[证明]　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)．由中点坐标公式，得E，F，G，H.

①＝(1,0,1)，＝，＝.
因为＝2，·＝1×＋1×＝0，
所以∥，⊥，即AB1∥GE，AB1⊥EH.
②＝，＝，＝.
因为·＝－＋0＝0，
·＝＋0－＝0，
所以⊥，⊥，所以A1G⊥DF，A1G⊥DE，
因为DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD．

1．判断空间向量垂直或平行的步骤
(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；
(2)向量关系代数化：写出向量的坐标；
(3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2是否为0判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．
2．由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可．

[跟进训练]
2．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)．设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，c∥，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[解]　(1)∵＝(－2，－1,2)且c∥，
∴设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)．
∴|c|＝＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1.
∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)∵a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，
∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，
解得k＝2或k＝－.
类型3　利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题
【例3】　在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量的方法求解下列问题：
(1)求EF与C1G所成角的余弦值；
(2)求FH的长．
[解]　建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G，H.

(1)＝－＝，
＝－(0,1,1)＝，
∴||＝.
又·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝＝.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
(2)∵F，H，∴＝，
∴FH＝||＝＝.

用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？
[提示]　(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
(3)通过向量的坐标运算求夹角和距离.

[跟进训练]
3．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，Q为A1A的中点．
(1)求的长；
(2)求cos〈，〉，cos〈，〉，并比较〈，〉，〈，〉的大小．
[解]　建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由已知，得C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)．
∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)，＝(1，－1,2)．
(1)||＝＝.
(2)∵·＝0－1＋2＝1，||＝，
||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝.
∵·＝0－1＋4＝3，
||＝＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
∵0<<<1，∴〈，〉，〈，〉∈.
又y＝cos x在内单调递减，
∴〈，〉>〈，〉．

1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b＝(　　)
A．(2，－4,2)　　 B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
B　[b＝(a＋b)－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)，故选B．]
2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
C　[λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝＝，且λ>0，解得λ＝3.]
3．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若＝，则点B的坐标应为(　　)
A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)
C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)
B　[＝＝－，＝＋＝(9,1,1)．]
4．已知a＝(1，x,3)，b＝(－2,4，y)，若a∥b，则x－y＝________.
4　[由a∥b得a＝λb，所以解得
所以x－y＝4.]
5．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角的大小是________．
　[∵＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，
∴||＝，||＝，
·＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，
∴cos〈，〉＝＝＝－，
又〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉＝.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)如何用空间向量的坐标运算表示平行、垂直、模及夹角？
[提示]　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则当b≠0时 ，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝.
(2)你是如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离的？
[提示]　①根据条件建立适当的空间直角坐标系；
②求出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
③通过向量的坐标运算研究平行、垂直、夹角和距离．