余弦定理.ppt

活页规范训练活页规范训练【课标要求课标要求】1 1通过对任意三角形边长和角度的探索掌握余弦定理通过对任意三角形边长和角度的探索掌握余弦定理 2 2会借助余弦定理解决一些简单的三角形度量问题会借助余弦定理解决一些简单的三角形度量问题【核心扫描核心扫描】1 1应用余弦定理解三角形应用余弦定理解三角形(重点重点)2 2本节内容常与三角函数、三角恒等变换、正弦定理本节内容常与三角函数、三角恒等变换、正弦定理 等知识结合等知识结合(难点难点)3 3应用余弦定理判断三角形的形状应用余弦定理判断三角形的形状(易错点易错点)1.1.2 1.1.2 余弦定理余弦定理2024/5/8 周三1活页规范训练活页规范训练余弦定理余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的三角形中任何一边的平方等于其他两边的_减去这减去这两边与它们的夹角的两边与它们的夹角的_的积的的积的_，即，即a a2 2_，b b2 2 _ _，c c2 2 _.余弦定理的推论余弦定理的推论自学导引自学导引1 12 2余弦余弦平方的和平方的和两倍两倍b b2 2c c2 22 2bcbccos cos A Aa a2 2c c2 22 2acaccos cos B Ba a2 2b b2 22 2ababcos cos C C2024/5/8 周三2活页规范训练活页规范训练 ：若：若ABCABC为钝角三角形，且为钝角三角形，且A A9090，则，则a a，b b，c c三三边满足什么关系？边满足什么关系？提示提示：a a，b b，c c为为ABCABC的三边，且的三边，且A A9090，2024/5/8 周三3活页规范训练活页规范训练余弦定理及其推论的应用余弦定理及其推论的应用应用余弦定理及其推论可解决两类三角形问题：应用余弦定理及其推论可解决两类三角形问题：(1)(1)已知三角形的三边，求其已知三角形的三边，求其_(2)(2)已知已知_和和_，求第三边和其他两个角，求第三边和其他两个角3 3三个角三个角两边两边夹角夹角2024/5/8 周三4活页规范训练活页规范训练 ：余弦定理和勾股定理有什么联系？余弦定理和勾股定理有什么联系？提示提示：若：若ABCABC为直角三角形，且为直角三角形，且C C9090，则，则cos cos C C2024/5/8 周三5活页规范训练活页规范训练余弦定理的理解余弦定理的理解余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具三角形的重要工具(1)(1)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一观点，可以知三求一(2)(2)余弦定理也为求三角形的有关量余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切如面积、外接圆、内切圆等圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛更加广泛名师点睛名师点睛1 12024/5/8 周三6活页规范训练活页规范训练用坐标法证明余弦定理用坐标法证明余弦定理如图建立直角坐标系，则如图建立直角坐标系，则A A(0,0)(0,0)，B B(c,c,0)0)，C C(b bcos cos A A，b bsin sin A A)由两点间距离公式得由两点间距离公式得a a2 2|BCBC|2 2 (b bcos cos A Ac c)2 2(b bsin sin A A0)0)2 2 b b2 2(sin(sin2 2A Acoscos2 2A A)2 2bcbccos cos A Ac c2 2 b b2 2c c2 22 2bcbccos cos A A.同理可证同理可证b b2 2c c2 2a a2 22 2cacacos cos B B；c c2 2a a2 2b b2 22 2ababcos cos C C2 22024/5/8 周三7活页规范训练活页规范训练题型一题型一已知两边及一角解三角形已知两边及一角解三角形 在在ABCABC中，已知中，已知b b3 3，c c3 3，B B3030，求角，求角A A、角、角C C和边和边a a.思路探索思路探索 可先由正弦定理求出角可先由正弦定理求出角C C，然后再求其他的边和，然后再求其他的边和角，也可以由余弦定理列出关于边长角，也可以由余弦定理列出关于边长a a的方程，首先求出边的方程，首先求出边长长a a，再由正弦定理求角，再由正弦定理求角A A、角、角C C.【例例1 1】2024/5/8 周三8活页规范训练活页规范训练当当C C120120 时，时，A A3030，ABCABC为等腰三角形为等腰三角形a a3.3.2024/5/8 周三9活页规范训练活页规范训练 已知两边及一角解三角形有以下两种情况：已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解理列出关于另一边的一元二次方程求解(2)(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解2024/5/8 周三10活页规范训练活页规范训练 在在ABCABC中，已知中，已知a a5 5，b b3 3，角，角C C的余弦值是方的余弦值是方程程5 5x x2 27 7x x6 60 0的根，求第三边长的根，求第三边长c c.解解5 5x x2 27 7x x6 60 0可化为可化为(5(5x x3)(3)(x x2)2)0.0.【变式变式1 1】2024/5/8 周三11活页规范训练活页规范训练 思路探索思路探索 利用余弦定理的推论解题利用余弦定理的推论解题题型题型二二已知三边已知三边(三边关系三边关系)解三角形解三角形【例例2 2】2024/5/8 周三12活页规范训练活页规范训练 (1)(1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解(2)(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入质引入k k，从而转化为已知三边求解，从而转化为已知三边求解2024/5/8 周三13活页规范训练活页规范训练 在在ABCABC中，已知中，已知BCBC7 7，ACAC8 8，ABAB9 9，试求，试求ACAC边上的中线长边上的中线长解解由余弦定理和条件知：由余弦定理和条件知：【变式变式2 2】2024/5/8 周三14活页规范训练活页规范训练2024/5/8 周三15活页规范训练活页规范训练 思路探索思路探索 用余弦定理将已知等式转化为边之间的关系式，用余弦定理将已知等式转化为边之间的关系式，化简后判断三角形的形状也可用正弦定理将等式化成角化简后判断三角形的形状也可用正弦定理将等式化成角的三角函数关系式，进而判断三角形的形状的三角函数关系式，进而判断三角形的形状题型题型三三三角形形状的判定三角形形状的判定【例例3 3】2024/5/8 周三16活页规范训练活页规范训练b b2 2c c2 2a a2 22 2b b2 2，即，即a a2 2b b2 2c c2 2.ABCABC是直角三角形是直角三角形法二法二在在ABCABC中，设其外接圆半径为中，设其外接圆半径为R R，由正弦定理，由正弦定理，b b2 2R Rsin sin B B，c c2 2R Rsin sin C C，2024/5/8 周三17活页规范训练活页规范训练 (1)(1)法一是用余弦定理将等式转化为边之间的法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角关系式，法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式这两种方法是判断三角形形状的常的三角函数关系式这两种方法是判断三角形形状的常用手段然后，利用代数变形或三角函数变形对边的关用手段然后，利用代数变形或三角函数变形对边的关系或角的关系进行分析判断系或角的关系进行分析判断(2)(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用显，则要考虑两个定理都有可能用2024/5/8 周三18活页规范训练活页规范训练 在在ABCABC中，若中，若(a ac ccos cos B B)sin)sin B B(b bc ccos cos A A)sin)sin A A，判断，判断ABCABC的形状的形状a a2 2b b2 2c c2 20 0或或a a2 2b b2 2，故三角形为等腰三角形或直角三角形故三角形为等腰三角形或直角三角形【变式变式3 3】2024/5/8 周三19活页规范训练活页规范训练法二由正弦定理，原等式可化为法二由正弦定理，原等式可化为(sin(sin A Asin sin C Ccos cos B B)sin)sin B B(sin(sin B Bsin sin C Ccos cos A A)sin)sin A A，sin sin B Bcos cos B Bsin sin A Acos cos A A，sin 2sin 2B Bsin 2sin 2A A，2 2B B2 2A A或或2 2B B2 2A A，A AB B或或A AB B ，故故ABCABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形2024/5/8 周三20活页规范训练活页规范训练 如图所示，在四边形如图所示，在四边形ABCDABCD中，中，ADADCDCD，ADAD1010，ABAB1414，BDABDA6060，BCDBCD135135，求，求BCBC的长的长审题指导审题指导 规范解答规范解答 在在ABDABD中，中，ADAD1010，ABAB1414，BDABDA6060，设，设BDBDx x，据余弦定理：，据余弦定理：ABAB2 2ADAD2 2BDBD2 22 2ADAD BDBDcoscosBDABDA，(4(4分分)14142 210102 2x x2 22 2 1010 x xcos 60cos 60，(6(6分分)即即x x2 21010 x x96960 0，解得解得x x1 11616，x x2 26(6(舍去舍去)，BDBD16.(816.(8分分)ADADCDCD，BDABDA6060，CDBCDB3030.题型题型四四正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用【例例4 4】2024/5/8 周三21活页规范训练活页规范训练【题后反思题后反思】余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的，解三角形时，注意分析三角形中的条形进行边角互换的，解三角形时，注意分析三角形中的条件是否够用条件不够的三角形，要探索与其他三角形的件是否够用条件不够的三角形，要探索与其他三角形的关系，条件够时，注意选择是应用正弦定理，还是余弦定关系，条件够时，注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程理，必要时也可列方程(组组)求解同时，在有关三角形的求解同时，在有关三角形的题目中，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定题目中，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息理都要用，要抓住能利用某个定理的信息2024/5/8 周三22活页规范训练活页规范训练 在在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C的对边长分别为的对边长分别为a a，b b，c c，已知，已知a a2 2c c2 22 2b b，且，且sin sin A Acos cos C C3cos 3cos A Asin sin C C，求，求b b.解法一解法一在在ABCABC中，中，sin sin A Acos cos C C3cos 3cos A Asin sin C C，则由正弦定理及余弦定理有：则由正弦定理及余弦定理有：2(2(a a2 2c c2 2)b b2 2.又由已知又由已知a a2 2c c2 22 2b b，4 4b bb b2 2.解得解得b b4 4或或b b0(0(舍舍)【变式变式4 4】2024/5/8 周三23活页规范训练活页规范训练法二由余弦定理得：法二由余弦定理得：a a2 2c c2 2b b2 22 2bcbccos cos A A.又又a a2 2c c2 22 2b b，b b0.0.所以所以b b2 2c ccos cos A A2.2.又又sin sin A Acos cos C C3cos 3cos A Asin sin C C，sin sin A Acos cos C Ccos cos A Asin sin C C4cos 4cos A Asin sin C C，sin(sin(A AC C)4cos 4cos A Asin sin C C，即即sin sin B B4cos 4cos A Asin sin C C，由正弦定理得由正弦定理得sin sin B B sin sin C C，故，故b b4 4c ccos cos A A由由解得解得b b4.4.2024/5/8 周三24活页规范训练活页规范训练 设设2 2a a1 1，a,a,2 2a a1 1为钝角三角形的三边，求实数为钝角三角形的三边，求实数a a的的取值范围取值范围 错解错解 2 2a a1 1，a,a,2 2a a1 1是三角形的三边，是三角形的三边，误区警示误区警示误区警示忽略三角形三边关系导致出错误区警示忽略三角形三边关系导致出错【示例示例】2024/5/8 周三25活页规范训练活页规范训练 解题时，易忽略三角形的三边满足两解题时，易忽略三角形的三边满足两边之和大于第三边，而使某些字母的范围变大边之和大于第三边，而使某些字母的范围变大2024/5/8 周三26活页规范训练活页规范训练 正解正解 2 2a a1 1，a,a,2 2a a1 1是三角形的三边，是三角形的三边，2024/5/8 周三27活页规范训练活页规范训练 本题实质上是求本题实质上是求2 2a a1 1，a,a,2 2a a1 1能构能构成钝角三角形三边的充要条件，除了要保证三边成钝角三角形三边的充要条件，除了要保证三边长均为正数外，还应满足两边之和大于第三边长均为正数外，还应满足两边之和大于第三边2024/5/8 周三28活页规范训练活页规范训练2024/5/8 周三29