余弦定理(二).doc

1.1.2余弦定理（二）
知识梳理
1.在中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c，则有：
(1) , (2) , , (3) ,
2.正弦定理及其变形 (1) (2) , ,
(3) , (4)
3. 余弦定理及其推论（1） （2） (3)在中， ; ; .
自主探究
在中，已知两边及其中一边的对角，解三角形.一般情况下，先用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论三角形解的个数.对于这一类问题能否利用余弦定理来解三角形，请结合下面的例子加以探究.
例：在中，（1）若，求及的值；（2）若，求边c.
变式训练：在中，若,满足条件的三角形有几个？
对点讲练
一、利用正、余弦定理证明三角恒等式
例1：在中，求证：.
变式训练1：在中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c，求证：.

二、利用正、余弦定理判断三角形形状
例2：在中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c，如果,试判断三角形形状.
变式训练2：在中，已知，且,试判断三角形形状.

三、利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题
例3：在中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c，,且
(1)求的面积；（2）若，求角C.
变式训练3：在中，，已知.角A、B、C所对的边分别是a,b,c.
（1）求的值；（2）设,求的值.

课堂小结
1、解斜三角形常见题型及解法
在三角形的6个元素中要已知三个（至少有一边）才能求解，常见题型及解法见下表：
已知条件
应用
定理
一般解法
一边和两角
（如,）
正弦
定理
由求角A;由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解.
两边和夹角
（如,）
正弦
定理
余弦
定理
由余弦定理求出第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由求另一角.在有解时只有一解.
三边（）
余弦
定理
由余弦定理求出角A、B;再利用,求出角C.在有解时只有一解.
两边和其中一边的对角
（如,）
正弦
定理
余弦
定理
由正弦定理求出角B; 由,求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解.
2、根据所给条件确定三角形形状，主要有两种途径：
（1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
当堂练习
1、在四边形ABCD中，已知,,求BC的长.
2、在中，若,试判断三角形形状.
3、在中，若,试判断三角形形状.
4、在中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c，且满足.(1)求角B的值；（2）若求的值.
课时作业
1、在中，若,则三角形形状一定是（ ）
A、等腰直角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
2、在中，若，则B等于（ ）
A、60 B、45或135 C、120 D、30
3、在中，若,则三角形形状一定是（ ）
A、等腰直角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
4、在中，若，则A是（ ）A、锐角 B、钝角 C、直角 D、60
5、如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新的三角形的形状是（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、由增加的长度决定
6、已知的面积等于,则的周长是
7、在中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c，若，并且A为锐角，则为 三角形.
8、在中，,,则
9、在中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c，求证：.
10、在中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c且，判断三角形形状.
11、在中，.(1)求边BC的长；（2）记AB的中点为D,求中线CD的长.